抽象不等式的一類(lèi)解法

摘 要：對(duì)抽象不等式的解法作了系統(tǒng)研究，從培養(yǎng)學(xué)生的觀察聯(lián)想能力入手著重分析了解這類(lèi)題型的通性通法。

關(guān)鍵詞：抽象不等式；單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)；聯(lián)想；構(gòu)造

在高中階段，解抽象不等式是一種常見(jiàn)題型。本人就上學(xué)期的教學(xué)實(shí)踐，略談一下我對(duì)這種題型的看法。

一、觀察目標(biāo)，化異為同

解不等式的主要依據(jù)是利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)目標(biāo)式坐標(biāo)是函數(shù)，右邊為常數(shù)時(shí)，需要我們將目標(biāo)不等式化為統(tǒng)一形式，才能借助函數(shù)的單調(diào)性解決。

例1.已知f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)，f（xy）=

f（x）+f（y），且f（2）=1，則不等式f（x）+f（x-3）≤2的解集為_(kāi)____。

解析：∵f（x）+f（x-3）=f（x2-3x），2=f（2）+f（2）=f（4）

∴ f（x2-3x）≤f（4）

∴x>0

x-3>0

x2-3x≤4

故解集為（3，4]。

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)抽象不等式左右不統(tǒng)一時(shí)，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃位癁橥瑯?gòu)，再利用某個(gè)函數(shù)f（x）的單調(diào)性脫去對(duì)應(yīng)法則這層抽象的外衣，同時(shí)解抽象不等式時(shí)還要注意等價(jià)變形，特別是函數(shù)的定義域

問(wèn)題。

二、仔細(xì)審題，主抓函數(shù)性質(zhì)

有些題目，并未完整地給出函數(shù)的單調(diào)性，這時(shí)需要我們認(rèn)真審題，弄清函數(shù)的性質(zhì)?？赏ㄟ^(guò)奇偶性、對(duì)稱(chēng)性等得出另一半?yún)^(qū)間的單調(diào)性，從而在整體上把握函數(shù)的圖象特征，再利用數(shù)形結(jié)合思想快速解題。

例2.已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），設(shè)其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），當(dāng)x∈（-∞，0]時(shí)，恒有

xf′（x）

F（2x-1）的實(shí)數(shù)x的取值范圍是__________。

分析：很顯然是要弄清F（x）的單調(diào)性才能解不等式。

由題意知，①F（x）=xf（x）為R上的偶函數(shù)；②當(dāng)x∈（-∞，0]時(shí)，恒有xf′（x）

經(jīng)化簡(jiǎn)，即xf′（x）+f（x）<0恒成立，即當(dāng)x∈（-∞，0]時(shí)，（xf（x））′<

0恒成立。

即F（x）在（-∞，0]上單調(diào)減，

結(jié)合①知，F(xiàn)（x）在（-∞，0]上單調(diào)增。

由F（x）圖像知2x-1<3，

解得x∈（-1，2）。

點(diǎn)評(píng)：本題借助奇偶性將F（x）另一半的單調(diào)性進(jìn)行了順利轉(zhuǎn)化，再借助圖像簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程。

三、條件結(jié)論聯(lián)系看，聯(lián)想對(duì)比構(gòu)造新函數(shù)

當(dāng)函數(shù)的單調(diào)性不是很明確，目標(biāo)不等式又不能輕易化為統(tǒng)一形式時(shí)，可以先抓單調(diào)性（往往以含有導(dǎo)數(shù)的不等式出現(xiàn)），再將目標(biāo)式化為同構(gòu)形式，有時(shí)這兩者需要聯(lián)想去看，推理和驗(yàn)證構(gòu)造的新函數(shù)是否合理有效。

例3.函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（-1）=2，對(duì)任意的x∈R，f′（x）>2，則f（x）>2x+4的解集為_(kāi)____。

解析：∵f′（x）>2 ∴f′（x）-2>0

可構(gòu)造F（x）=f（x）-2x，則F（x）在R上單調(diào)增

由目標(biāo)f（x）>2x+4可將其變形為f（x）-2x>4；而F（-1）=f（-1）-2×（-1）

∴F（x）>F（-1）

∴x∈（-1，+∞）

當(dāng)然，構(gòu)造的新函數(shù)不唯一，關(guān)鍵取決于目標(biāo)式如何化簡(jiǎn)。比如，將目標(biāo)式化為f（x）-2x-4>0，則可以構(gòu)造這樣的新函數(shù)G（x）=

f（x）-2x-4。

例4.設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x），f（1）=2，f（x）<1，則不等式 的解集為_(kāi)_________。

解析：∵f′（x）<1

∴f′（x）-1<0

猜想需構(gòu)造的函數(shù)可能為F（x）=f（x）-x

驗(yàn)證新函數(shù)的過(guò)程如下：目標(biāo)式f（x2）

令t=x2，則f（t）

故確定的新函數(shù)為F（x）=f（x）-x，從而F（t）

又∵F（x）在R上單調(diào)減

∴t<1即x2<1，所以原不等式的解集為（-∞，-1）∪（1，+∞）

例5.設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x），滿(mǎn)足f（1）=1，f（x）ex-1的解集為_(kāi)____。

解析：由題意得f（x）-f′（x）<0猜不出需要構(gòu)建的新函數(shù)，再結(jié)合目標(biāo)式，區(qū)別于以往不等式的右邊不是常數(shù)，所以這時(shí)我們需要將不熟悉的轉(zhuǎn)化為熟悉的，即可以將不等式的右邊先化為常數(shù)，左邊為關(guān)于x的函數(shù)，即很明顯，我們需要構(gòu)造

F（x）= ，同時(shí)還要研究F（x）的單調(diào)性。

∵F′（x）

∴F（x）在R上單調(diào)增。

上述三題在構(gòu)造新函數(shù)時(shí)，可先根據(jù)導(dǎo)數(shù)式的變形推測(cè)原函數(shù)的結(jié)構(gòu)，如果行不通，可從目標(biāo)不等式出發(fā)，將一邊化為x的函數(shù)，另一邊化為常數(shù)的形式，再將常數(shù)化為與左邊同構(gòu)，從而構(gòu)建新函數(shù)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)不斷啟發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、思考問(wèn)題，教會(huì)他們解決問(wèn)題的方法。在條件和問(wèn)題之間尋找和諧統(tǒng)一，鼓勵(lì)學(xué)生細(xì)心觀察，聯(lián)系推理，培養(yǎng)學(xué)生合情推理和嚴(yán)格論證的思維能力。

（作者單位 江蘇省如皋市薛窯中學(xué)）

編輯 司 楠