數(shù)形結合思想

數(shù)與形是數(shù)學發(fā)展中兩個最古老的，也是最基本的研究對象，它們在一定的條件下可以相互轉化，如某些代數(shù)問題、三角問題往往都有幾何背景，而借助其背景圖形的性質，可使那些抽象的概念、復雜的數(shù)量關系變得直觀具體，以便于探求解題思路或找到問題的結論.可見數(shù)形結合，不僅是一種重要的解題方法，也是一種重要的思維方法.

作為一種數(shù)學思想方法，數(shù)形結合的應用大致可分為以下兩種情形：第一，借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，即“以數(shù)解形”；第二，借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間的某種關系，即“以形助數(shù)”.

■ 以數(shù)解形

當我們探究幾何問題的解題思路受阻，或雖有辦法但很艱難時，我們常?？紤]能否將其轉化為代數(shù)問題，而轉化的常用方法是解析法即建立坐標系；還可引進復平面用復數(shù)的有關知識解決，綜合使用三角法、向量法等代數(shù)方法，?？傻玫胶啙嵉慕夥? 其典型代表是在立體幾何與解析幾何中的應用.

■ 如圖1，四邊形ABCD內接于圓E，E為圓心，AC⊥BD，AC，BD交于點O，G為CD邊上的中點，EF⊥AB，垂足為F，求證：OG=EF.

■

圖1

思路點撥 本題用幾何的方法證明不易，可考慮用解析法，適當建立坐標系，將“形”的問題轉化為“數(shù)”的問題. 由于“數(shù)”具有精確性的特征，所以巧妙利用這一性質就可以闡明“形”的某些屬性，從而準確澄清“形”的模糊，使問題得以解決.

破解 以兩條對角線所在直線為坐標軸建立直角坐標系，如圖2.

設點A，B，C，D的坐標分別為（-a，0），（0，-b），（c，0），（0，d）. 由F，G分別為AB，CD的中點，知F-■，-■，G■，■.

■

圖2

又E同時在AC，BDlSes6GrLmCqH6ZV/SWBSuA==的垂直平分線上，所以E■，■.

由兩點間的距離公式可得EF=OG=■.

■ 如圖3，已知平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點，AC=16，PA=PC=10.

■

圖3

（1）設G是OC的中點，證明：FG∥平面BOE；

（2）證明：在△ABO內存在一點M，使FM⊥平面BOE.

思路點撥 用空間向量法解立體幾何問題的一般步驟：

（1）建立合理的空間直角坐標系.

①當圖形中有三條兩兩垂直且共點的直線時，通常分別以這三條直線為坐標軸建立坐標系.

②當圖形中沒有現(xiàn)成的兩兩垂直的三條直線時，可根據(jù)實際情況構造出滿足條件的三條直線，如圖形中有直線與平面垂直時，可選擇這條直線與這個平面的兩條互相垂直的直線為坐標軸.

（2）求出相關點的坐標. 求出圖形中與題目條件和結論相關的所有點的坐標.

（3）求出相關平面的一個法向量. 所有與平面相關的問題都是通過它的一個法向量來實現(xiàn)的.

（4）通過合理運算得到所需結論.

破解 連結PO，由題意可得OB，OC，OP兩兩垂直. 如圖4，以O為原點，射線OB，OC，OP為坐標軸的正半軸建立空間直角坐標系，則O（0，0，0），B（8，0，0），A（0，-8，0），C（0，8，0），P（0，0，6），E（0，-4，3），F(xiàn)（4，0，3），G（0，4，0）.

■

圖4

（1）■=（4，-4，3），■=（0，-4，3），■=（8，0，0）.

設n=（a，b，1）是平面BOE的一個法向量，則n·■=8a=0及n·■=-4b+3=0，所以a=0，b=■，n=0，■，1，所以n·■=0.

直線FG不在平面BOE內，所以FG∥平面BOE.

（2）設△ABO內滿足條件的點M的坐標為M（x，y，0），則■=（x-4，y，-3），由于FM⊥平面BOE，由■·■=0，■·■=0得-4y+3×（-3）=0，8（x-4）=0，即x=4，y=-■. 所以在△ABO內存在點M4，-■使FM⊥平面BOE.

■ 已知m>1，直線l：x-my-■=0，橢圓C：■+y2=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點.設直線l與橢圓C交于A，B兩點，△AF1F2，△BF1F2的重心分別為G，H. 若原點O在以線段GH為直徑的圓內，求實數(shù)m的取值范圍.

■

圖5

思路點撥 題設所描述的語言都非常形象直觀，同學們很容易就能畫出對應的圖形，但是要求出實數(shù)m的范圍，卻不是靠看圖就能看出來的，這需要我們把圖形語言轉換成代數(shù)語言，然后通過嚴謹?shù)拇鷶?shù)運算來求得m的精確范圍.

破解 不妨設A（x1，y1），B（x2，y2），由于F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），則重心G的坐標為■，■，重心H的坐標為■，■，則GH2=■+■. 設M是GH的中點，則M■，■.

由題知原點O在以線段GH為直徑的圓內，我們可將此“形”的信息翻譯為“數(shù)”的不等式：2MO

即可得4■■+■■<■+■，也即x1x2+y1y2<0（？鄢）.

從（？鄢）式我們聯(lián)想到了韋達定理，于是聯(lián)立方程x=my+■，■+y2=1，消去x得2y2+my+■-1=0. 因為Δ=m2-8■-1=-m2+8>0，解得m2<8，且有y■+y■=-■，y■y■=■-■，所以x1x2+y1y2=my1+■my2+■+y1y2=（m2+1）■-■.

將其代入（？鄢）式得■-■<0，解得m2<4. 又因為m>1且Δ>0，所以1

■

1.一個平面封閉區(qū)域內任意兩點距離的最大值稱為該區(qū)域的“直徑”，封閉區(qū)域邊界曲線的長度與區(qū)域直徑之比稱為區(qū)域的“周率”，下面四個平面區(qū)域（陰影部分）的周率從左到右依次記為τ1，τ2，τ3，τ4，則下列關系中正確的為（ ）

■

圖6

A. τ1>τ4>τ3 B. τ3>τ1>τ2

C. τ4>τ2>τ3 D. τ3>τ4>τ1

2. 如圖7，在三棱錐P-ABC中，AB=AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2.

■

圖7

（1）證明：AP⊥BC.

（2）在線段AP上是否存在點M，使得二面角A-MC-B為直二面角？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由.

3. 如圖8，過橢圓■+■=1的右焦點M任作一條直線l與橢圓相交于A，B兩點，設N（2■，0），連結AN，BN. 求證：∠ANM=∠BNM.

■

圖8

■ 以形解數(shù)

由于圖形具有生動性和直觀性的特點，恰當?shù)乩脠D形就能使得復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而使問題靈活、簡潔、準確地獲解.說白了，就是將代數(shù)問題轉化為幾何問題，將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來，把數(shù)量關系轉化為圖形的性質來研究，思路與方法便在圖形中直觀顯示出來，不僅可以加深對數(shù)量關系的理解，而且還能簡化運算過程，起到事半功倍的效果.

1. 利用圖形研究方程或不等式的解

解方程或不等式時，如果方程或不等式兩邊表達式有明顯的幾何意義，或通過某種方式可與圖形建立聯(lián)系，則可設法構造圖形，將方程或不等式所表達的抽象數(shù)量關系直接在圖形中得以直觀形象地展現(xiàn). 美國數(shù)學家斯蒂恩說：“如果一個特定的問題，可以被轉化為一個圖形，那么思想就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法.”

■ 解不等式3x-2+3x+1≤6（x∈R）.

思路點撥 本題如果直接解不等式，需要進行分類討論，而考慮幾何意義，其解法極為簡潔.

破解 設z=3x，則在數(shù)軸上z-2+z+1≤6的圖形是以■為中點，長度為6的一條線段，兩端點分別為-■，■，所以-■≤3x≤■，即原不等式的解集為-■，■.

■ 解關于x的不等式■≥a-x.

思路點撥 本題若試圖化無理不等式為有理不等式，可能會有很多同學弄不清分類的標準；而若能轉變思路，運用數(shù)形結合的思想則可以幫助我們明確分類標準，從而簡化討論.

破解 在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)y=■和y=a-x的圖象，即一個半圓（x-1）2+y2=4（y≥0）和一條直線（如圖9）.

■

圖9

a為直線在y軸上的截距，直線和半圓相切時，算得a=1+2■，根據(jù)直線與半圓的交點情況，結合a的取值范圍，得

①當a≤-1時，有-1≤x≤3.

②當-1

③當3

④當a>1+2■時，不等式無解.

■ 若已知關于x的方程■=kx+2只有一個實數(shù)根，則k的取值范圍為（ ）

A. k=0

B. k=0或k>1

C. k>1或k<-1

D. k=0或k>1或k<-1

思路點撥 本題用代數(shù)知識求解，不僅復雜、煩瑣，而且很容易出錯，結果是花費了大量的時間和精力，仍然無法得出正確答案. 充分利用方程兩邊式子所具有的幾何意義，結合圖形，答案便一目了然.

破解 關于x的方程■=kx+2只有一個實數(shù)根，等價于函數(shù)y=■，y=kx+2的圖象只有一個公共點，作出函數(shù)圖象，如圖10. 由圖象可知，直線與半圓只有一個公共點時，k=0或k>1或k<-1，故選D.

■

圖10

■ 方程x2+■x-1=0的解可視為函數(shù)y=x+■的圖象與函數(shù)y=■的圖象交點的橫坐標. 若方程x4+ax-4=0的各個實根x1，x2，…，xk（k≤4）所對應的點x1，■（i=1，2，…k）均在直線y=x的同側，則實數(shù)a的取值范圍是______.

思路點撥 根據(jù)題中條件自然想到把方程x4+ax-4=0變形為x3+a=■，從而把問題轉化為函數(shù)y=x3+a與函數(shù)y=■的圖象交點的橫坐標，再利用圖象求解.

■

圖11

破解 方程x4+ax-4=0的各個實根可視為函數(shù)y=x3+a和函數(shù)y=■的圖象交點的橫坐標. 在同一坐標系內，畫出y=x，y=■，y=x3+a的圖象，如圖11所示，A（2，2），B（-2，-2）.

當y=x3+a的圖象分別過B，A時，a等于6和-6. 由圖象上、下平移可知，當a<-6或a>6時交點均在直線y=x的同側.

■

1. 若定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），且當x∈[0，1]時， f（x）=x，則函數(shù)y=f（x）-log4x的零點個數(shù)為（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

2. 函數(shù)y=■的圖象與函數(shù)y=2sinπx（-2≤x≤4）的圖象所有交點的橫坐標之和等于_______.

3. 若關于x的不等式x2<2-x-a至少有一個負數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是_______.

2. 利用圖形求最值（值域）

數(shù)學問題中一些最值（值域）問題，若數(shù)量關系可賦予幾何意義的，考慮采用數(shù)形結合的方法，?？蓱{借特殊位置、圖形性質等直觀的優(yōu)勢而簡潔求解.

■ 求函數(shù)y=■的值域.

思路點撥 求解此題的常規(guī)方法是將其變形為2y=sinx-ycosx，然后將等式右邊合成一個三角函數(shù)，再利用三角函數(shù)的有界性求得y的取值范圍. 除此之外，我們也可用數(shù)形結合的思想求解.

破解 由已知，原函數(shù)可變形為y=■，其幾何含義是過點A（cosx，sinx）和B（-2，0）的直線的斜率，而A是單位圓x2+y2=1上的動點.

■

圖12

由圖12可知，當過B（-2，0）作圓的切線時，直線AB的斜率到達最大或最小.容易算得ymax=■，ymin= -■，所以y∈-■，■.

■ 求函數(shù)y=■+■的最大值.

思路點撥 本題易想到的是用換元法去掉根式，得y=u+v，注意到根式中兩式的關系得新元的關系式，此關系式具有明顯的幾何意義.

破解 令u=■（u≥0），v=■（v≥0），則y=u+v.

由5-2x=u2，x-2=v2，■得u2+2v2=1，且u≥0，v≥0. 問題轉化為求直線y=u+v與橢圓u2+2v2=1有公共點時，直線的縱截距y的最大值.

由圖13可知，當直線與橢圓相切時，相應的縱截距最大，此時y=■，故函數(shù)y的最大值為■.

■

圖13

注：數(shù)學中的最值問題是比較常見的，有的最值問題若用一般的方法很難奏效，這種情況下可根據(jù)數(shù)學問題中的條件或結論，構造出相應的圖形來“幫忙”，利用圖形的特征來優(yōu)化解題過程，從而使問題迎刃而解.

■

1. 求函數(shù)f（x）=■（0≤x≤π）的值域.

2. 求函數(shù)f（x）=■+■的值域.

3. 函數(shù)f（x）=■（0≤x≤2π）的值域為______.

3. 數(shù)形滲透

數(shù)形結合的思想方法，不僅是幾何問題用代數(shù)方法思考，或是代數(shù)（包括三角）問題由圖形去思考，而是密切聯(lián)系，相互滲透的統(tǒng)一整體.解題時尤其是解較為綜合的題目，請注意靈活使用.

■ 已知向量a≠e，e=1滿足對任意t∈R，恒有a-te≥a-e，則（ ）

A. a⊥e B. a⊥（a-e）

C. e⊥（a-e） D. （a+e）⊥（a-e）

思路點撥 此題如果用代數(shù)方法強行演算的話，雖然也能得到答案，但是運算“成本”太大，而且復雜的代數(shù)運算也會增加出錯的概率. 考慮到這是一道選擇題，不需要詳細的推導過程，因此我們不妨“投機取巧”，利用向量的幾何意義，縮短“戰(zhàn)線”.

破解 我們首先畫出向量a和向量e，然后再畫出與向量e共線的向量te，這樣，根據(jù)向量的減法法則，我們可以得到向量a-e和向量a-te. 因為a-te≥a-e對任意的t恒成立，所以向量a-e是所有形如a-te的向量中模長最短的，這說明向量a-e必定非常特殊. 事實上，a-e與向量e是垂直的，即有e⊥（a-e），故選C.

■ 若實數(shù)x，y滿足不等式組x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-my+1≥0，且x+y的最大值為9，則實數(shù)m=______.

思路點撥 這是個線性規(guī)劃問題，常規(guī)的方法是通過畫出約束條件所表示的幾何圖形來解決，但是約束條件x-my+1≥0中含有字母m，這就使得其圖象不能準確地被畫出，該怎么辦呢？仔細觀察后我們發(fā)現(xiàn)，直線x-my+1=0必過定點（-1，0），但是仍無法確定此直線的傾斜程度，因此確定直線的傾斜程度就成為解決此題的突破口.

破解 不妨設z=x+y，則y=-x+z， 結合圖象知，當直線x-my+1=0繞著（-1，0）旋轉的時候，只有當斜率■∈（0，2）時，才能讓函數(shù)y=-x+z的截距能取到最大值，如圖14所示.

我們發(fā)現(xiàn)，當目標函數(shù)y=-x+z經過點A時，z取到最大值9.

聯(lián)立直線y=-x+9，2x-y-3=0，解得A（4，5），代入x-my+1=0中，得m=1.

■

圖14

■

1.在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是邊BC上一點，DC=2BD，則■·■=_______.

2. 已知動點P（a，b）在不等式組x+y-2≤0，x-y≥0，y≥0表示的平面區(qū)域內部及其邊界上運動，則w=■的取值范圍是__________.

3. 設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S4≥10，S5≤15，求a4的最大值.

■ 參考答案

1 以數(shù)解形

1. 準確理解區(qū)域“直徑”“周率”概念的含義是求解本題的突破口.

第一個區(qū)域：先補成一個長方形，如圖15甲所示，設長為a，寬為b，則周率τ1=■=■≤2■. 第二個區(qū)域：設大圓半徑為2，則周率τ2=■=π. 第三個區(qū)域：將原圖補成一個三角形，如圖15乙所示，設邊長為a，則周率τ3=■=3. 第四個區(qū)域：如圖15丙所示，設此區(qū)域外接正六邊形邊長為a，則周率τ4=■=2■，故選C.

■

甲 乙 丙

圖15

2. （1）因為AB=AC，D為BC的中點，所以AD⊥BC，又因PO⊥平面ABC，因此PO⊥BC，所以BC⊥平面POA，則AP⊥BC.

（2）不妨以AD所在直線為y軸，OP為z軸，O為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖16所示，則由題意得O（0，0，0），A（0，-3，0），D（0，2，0），B（4，2，0），C（-4，2，0），P（0，0，4）. 設■=λ■，■=（0，3，4）.

■

圖16

設平面AMC的法向量為n1=（x1，y1，z1），■=（-4，5，0），■=（0，3λ，4λ）. 因為n1·■=0，n1·■=0，所以-4x1+5y1=0，3λy1+4λz1=0，則n1=（5，4，-3）.

設平面BMC的法向量為n2=（x2，y2，z2），■=（8，0，0），■=■+■=（-4，-5，0）+（0，3λ，4λ）=（-4，-5+3λ，4λ）.

因為n2·■=0，n2·■=0，所以x2=0，-4x2+（-5+3λ）y2+4λz2=0，則可得n2=（0，4λ，5-3λ）. 若二面角A-MC-B為直二面角，則16λ-3（5-3λ）=0，得λ=■，此時AM=λAP=■×5=3.

3. 易得M（■，0），所以可設直線AB的方程為x=ty+■，A（x1，y1），B（x2，y2），則x1=ty1+■，x2=ty2+■. 把x=ty+■代入橢圓方程x2+2y2-4=0可得（t2+2）y2+2■ty-2=0，所以y■+y■=■，y■y■=■. 所以直線AN的斜率kNA=■=■，直線BN的斜率kNB=■=■，所以由此得kNA+kNB=■+■=■[2ty■y■-■·（y■+y■）]=■·2t■-■■=0，所以直線AN和BN的傾斜角互補，即∠ANM=∠BNM成立.

2 以形解數(shù)

1. 利用圖形研究方程或不等式的解

1. 偶函數(shù)f（x）的周期為2，且x∈[0，1]時，f（x）=x，作出函數(shù)f（x）的部分圖象如圖17所示，而函數(shù)y=f（x）-log■x的零點即為函數(shù)y=f（x）與y=log■x的圖象的交點橫坐標. 由圖象可知，交點有6個，故函數(shù)y=f（x）-log■x的零點有6個，故選D.

■

圖17

2. 由題意知y=■=■的圖象是雙曲線，且關于點（1，0）成中心對稱. 又y=2sinπx的周期為T=■=2，也關于點（1，0）成中心對稱，因此兩圖象的交點也一定關于點（1，0）成中心對稱，如圖18所示. 可知兩個圖象在[-2，4]上有8個交點，因此8個交點的橫坐標之和x1+x2+…+x8=2×4=8.

■

圖18

3. 不等式x2<2-x-a至少有一個負數(shù)解，即x-a<2-x2有負數(shù)解. 在同一坐標系中作出函數(shù)y=x-a和y=2-x2的圖象，如圖19所示. 當y=x-a與y=2-x2相切時，求得a=-■，將y=x-a右移到圖中位置時，不等式剛好無負數(shù)解，此時a=2，所以實數(shù)a的取值范圍是-■，2.

■

圖19

2. 利用圖形求最值（值域）

1. f（x）的幾何意義是單位圓上的部分點（cosx，sinx）（-1≤cosx≤1，0≤sinx≤1）與點（4，2■）確定的直線斜率，如圖20所示，得k■=■，kPA=■，所以函數(shù)f（x）的值域為■，■.

■

圖20

2. 令u=■，v=■，則u2+v2=2（u≥0，v≥0）.

它表示以原點為圓心，■為半徑的一段圓?。ㄔ诘谝幌笙迌龋? 又y=f（x）=■u+v，即v=-■u+y. 所以函數(shù)y的值域可以看成直線v=-■u+y與這段圓弧有交點時，直線在v軸上截距的取值范圍. 結合圖21，易知此取值范圍為[■，■]，故所求函數(shù)f（x）的值域為[■，■].

■

圖21

3. 當x=■時， f（x）=0；當x≠■時，可知f（x）=■= -■= -■.

其中■表示單位圓上的點P（sinx，cosx）與點Q（1，1）連線的斜率.

如圖22所示：■∈[0，+∞），則f（x）∈[-1，0）. 綜上，f（x）∈[-1，0].

■

圖22

3. 數(shù)形滲透

1. 建立如圖23所示的坐標系，則A（0，0），B（-1，■），C（1，0），設點D的坐標為（x，y），則■=（x+1，y-■），■=（1-x，-y）.

■

圖23

因為D是邊BC上一點，DC=2BD，所以1-x=2x+2，-y=2y-2■，解得x=-■，y=■.

所以■=-■，■，■=（2，-■），所以■·■=-■.

2. w=■=1+■=1+k，k為定點（1，2）與可行域上動點連線的斜率，由數(shù)形結合得斜率k的取值范圍為（-∞，-2]∪[2，+∞），所以w的取值范圍是（-∞，-1]∪[3，+∞）.

3. 由題意得2a1+3d≥5，a1+2d≤3，a4=a1+3d，則問題轉化為：已知實數(shù)x，y滿足約束條件2x+3y≥5，x+2y≤3，求z=x+3y的最大值.

作出約束條件2x+3y≥5，x+2y≤3對應的平面區(qū)域（如圖24），將目標函數(shù)z=x+3y變形為y=-■x+■，它表示斜率為-■，在y軸上的截距為■的直線. 平移直線y=-■x+■，當直線經過點A（1，1）時，直線在y軸上的截距最大，對應的z最大，此時，zmax=1+3=4，所以a4的最大值為4. ■

■

圖24