不等式恒成立與有解

重點難點

不等式恒成立與有解是有明顯區(qū)別的，切不可混為一團. 例如，若sinx（sinx）max=1；若sinx（sinx）min=-1. 不等式恒成立問題的描述中常出現(xiàn)“所有的”“一切”“都有”“恒成立”等全稱量詞，而不等式有解問題的描述中常出現(xiàn)“至少存在一個”“有些”等存在量詞. 解題時應(yīng)細心思考，甄別差異，找準所要轉(zhuǎn)化的等價問題.

重點：掌握不等式恒成立和有解問題的常見方法（如參數(shù)分離、數(shù)形結(jié)合、變換主元、構(gòu)造函數(shù)等）.

難點：不等式恒成立與有解問題的區(qū)別及等價轉(zhuǎn)化，準確使用其成立的充要條件.

方法突破

解決不等式恒成立與有解問題的基本策略是構(gòu)作輔助函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性、最值（或上、下界）、圖象求解，其中涉及分類討論、數(shù)形結(jié)合、參數(shù)分離、變換主元等數(shù)學(xué)思想方法.

1. 不等式恒成立

（1）不等式f（x）

（2）不等式f（x）>k在x∈I時恒成立？圳f（x）min>k，或f（x）的下界大于或等于k.

2. 不等式有解

（1）不等式f（x）

（2）不等式f（x）>k在x∈I時有解？圳f（x）max>k，或f（x）的上界大于k.

3. 不等式恒成立與有解的綜合

若函數(shù)f（x）和g（x）在相應(yīng)的定義域If，Ig上有最大值和最小值，則

（1）任意x1∈If，任意x2∈Ig，不等式f（x1）

（2）任意x1∈If，存在x2∈Ig，不等式f（x1）

（3）存在x1∈If，存在x2∈Ig，不等式f（x1）

（4）存在x1∈If，任意x2∈Ig，不等式f（x1）

在學(xué)習(xí)中，我們常常會碰到上述不等式恒成立與有解問題的等價轉(zhuǎn)化，這類問題常與函數(shù)的最大值或最小值有關(guān)，下面通過例題來揭示其解題規(guī)律.

典例精講

已知不等式ax2-3x+a≥0.

（1）當x∈[1，2]時不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）在x∈[1，2]內(nèi)有不等式的解，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）當a∈[1，2]時不等式恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.

思索 首先，我們要弄清題目中不等式恒成立與有解的區(qū)別，這是本題的考查意圖之一；其次，我們?nèi)ニ伎急绢}的解題策略，可以充分應(yīng)用函數(shù)的思想方法解題，即通過構(gòu)作輔助函數(shù)或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解. 當然，其中蘊涵著分類討論、數(shù)形結(jié)合、參數(shù)分離等思想方法，而對第（3）問采用變換主元的思想方法更加奏效.

破解 （1）法一（分類討論）：設(shè)f（x）=ax2-3x+a，只需f（x）min≥0.

①當a≤0時，x∈[1，2]，ax2-3x+a=a（x2+1）-3x<0，不滿足題意；

法二（數(shù)形結(jié)合）：原不等式化為a（x2+1）≥3x在x∈[1，2]上恒成立，只有a>0有可能.

（2）對應(yīng)第（1）問，同樣有以下三種解法.

評注 在某些特定的條件下，若能變更主元，轉(zhuǎn)換思考問題的角度，不僅可以避免分類討論，而且可以輕松解決恒成立問題.

設(shè)a∈R，若x>0時均有[（a-1）x-1]（x2-ax-1）≥0，則a的值為__________.

思索 若本題按照思維習(xí)慣求解，可能會分為以下兩種情況：當x>0時，（a-1）x-1≤0，x2-ax-1≤0恒成立；或x>0時，（a-1）x-1≥0，x2-ax-1≥0恒成立，而這兩種情況都無解.

因為受到經(jīng)驗的影響，會認為本題可能是錯題或者解不出本題，這是對兩個乘積函數(shù)恒成立問題的錯誤認識.

法二（構(gòu)造函數(shù)）：設(shè)f（x）=[（a-1）x-1]（x2-ax-1）. 若a=1，則f（x）= -x2+x+1，顯然不能滿足題意；若a<1，則f（x）是三次項系數(shù)小于0的三次函數(shù)，它不可能對

思索 解決此類抽象函數(shù)的不等式恒成立問題的突破點是通過變形，把式子兩邊整理成結(jié)構(gòu)相同的形式，將所研究的問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值的大小問題來解決，利用函數(shù)的單調(diào)性脫去函數(shù)的外衣“f”.

原不等式轉(zhuǎn)化為a2+a≥x2-x對任意x∈[1，2]都成立，即a2+a≥2，解得a≤-2或a≥1②.

綜合①②兩式可得，實數(shù)a存在，所求的值為1.

已知兩個函數(shù)f（x）=8x2+16x-k，g（x）=2x3+5x2+4x，其中k為實數(shù).

（1）對任意x∈[-3，3]，都有f（x）≤g（x）成立，求k的取值范圍；

（2）存在x∈[-3，3]，使f（x）≤g（x）成立，求k的取值范圍；

（3）對任意x1，x2∈[-3，3]，都有f（x1）≤g（x2）成立，求k的取值范圍；

（4）存在x1，x2∈[-3，3]，使f（x1）≤g（x2）成立，求k的取值范圍.

思索 本題的4個小題，是含有“任意”“存在”量詞的容易混淆又較難理解的問題，表面形式非常相似，但其本質(zhì)卻大相徑庭. 審題時應(yīng)細心思考，注意甄別；解題時應(yīng)深入思考，找準到底是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值還是最小值問題，平時應(yīng)多加訓(xùn)練，準確使用其成立的充要條件.

破解 （1）設(shè)h（x）=g（x）-f（x）=2x3-3x2-12x+k，問題轉(zhuǎn)化為x∈[-3，3]時，h（x）≥0恒成立，故h（x）min≥0. 令h′（x）=6x2-6x-12=0，得x=-1或2. 由h（-1）=7+k，h（2）=-20+k，h（-3）= -45+k，h（3）=-9+k，得h（x）min=-45+k≥0，得k≥45.

（2）存在x∈[-3，3]，使f（x）≤g（x）成立，即h（x）≥0在x∈[-3，3]有解，故h（x）max≥0，由（1）得h（x）max=7+k≥0，于是得k≥-7.

（4）存在x1，x2∈[-3，3]，使f（x1）≤g（x2）成立的充要條件是f（x）min≤g（x）max，x∈[-3，3]，而f（x）min=f（-1）= -8-k，g（x）max=g（3）=111，于是-8-k≤111，得k≥-119.

變式練習(xí)

1. 已知命題p：存在x∈R，mx2+1≤0；命題q：對任意x∈R，x2+mx+1>0，若“p或q”為假，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）

A. m≤-2或0≤m<2

B. m≥2

C. m≤-2或m≥2

D. -2≤m≤2

3. 若關(guān)于實數(shù)x的不等式x-5+x+3

參考答案

1. B 2. B 3. （-∞，8]

4. -4

5. 根據(jù)g（x）=2x-2<0，可解得x<1. 由于題目中條件①？坌x∈R， f（x）<0或g（x）<0成立的限制，導(dǎo)致在x≥1時必須有f（x）<0，故m<0. f（x）作為二次函數(shù)，其開口只能向