基本不等式

重點(diǎn)難點(diǎn)

掌握基本不等式，能利用基本不等式求最大（?。┲祮栴}；能應(yīng)用基本不等式證明不等式的問題；能應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問題；能應(yīng)用基本不等式解決相關(guān)綜合性問題；突出對(duì)基本不等式取等號(hào)的條件及運(yùn)算能力的強(qiáng)化訓(xùn)練；訓(xùn)練過程中注意對(duì)等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論及邏輯推理能力的培養(yǎng).

方法突破

1. 一個(gè)技巧

2. 兩個(gè)變形

這兩個(gè)不等式鏈用處很大，注意掌握它們.

3. 三個(gè)注意

（1）使用基本不等式求最值，失誤的主要原因是對(duì)其存在的前提“一正、二定、三相等”的忽視. 要利用基本不等式求最值，這三個(gè)條件缺一不可.

（2）在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件.

（3）連續(xù)使用公式時(shí)取等號(hào)的條件很嚴(yán)格，要求同時(shí)滿足任何一次的字母的取值存在且一致.

典例精講

思索 解決問題（1），關(guān)鍵在于利用基本不等式求出p的取值范圍；解決問題（2），關(guān)鍵在于恰當(dāng)應(yīng)用基本不等式的變形形式.

評(píng)注 本題（2）中的結(jié)論是由基本不等式簡單推導(dǎo)而來的一個(gè)不等式鏈，可作為結(jié)論使用.

評(píng)注 在利用基本不等式“和式≥積式”求最值時(shí)要注意三點(diǎn)：一是各項(xiàng)為正；二是尋求定值，求和式最小值時(shí)應(yīng)使積為定值，求積式最大值時(shí)應(yīng)使和式為定值；三是考慮等號(hào)成立的條件.

思索 先局部運(yùn)用基本不等式，再利用不等式的性質(zhì)相加得到.

評(píng)注 利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理轉(zhuǎn)化為需要證明的問題.

已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x+y+3=xy，若對(duì)任意滿足條件的x，y，都有（x+y）2-a（x+y）+1≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.

評(píng)注 當(dāng)不等式一邊的函數(shù)（或代數(shù)式）的最值較易求出時(shí)，可直接求出這個(gè)最值（最值可能含有參數(shù)），然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式求解.

某房地產(chǎn)開發(fā)公司計(jì)劃在一樓區(qū)內(nèi)建造一個(gè)長方形公園ABCD，公園由長方形A1B1C1D1的休閑區(qū)和環(huán)公園人行道（陰影部分）組成. 已知休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為4000 m2，人行道的寬分別為4 m和10 m（如圖1所示）.

（2）要使公園所占面積最小，則休閑區(qū)A1B1C1D1的長和寬該如何設(shè)計(jì)？

思索 用長寬比x表示出面積，利用基本不等式求最值即可. 還應(yīng)注意定義域，函數(shù)取最小值時(shí)x是否在定義域內(nèi)，若不在定義域內(nèi)，則不能用基本不等式求最值，此時(shí)就考慮運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求解.

計(jì)為長100米，寬40 m.

評(píng)注 利用基本不等式解實(shí)際問題時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：①設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)；②根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值；③在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域（使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍）內(nèi)求解.

變式練習(xí)

7. 為響應(yīng)國家擴(kuò)大內(nèi)需的政策，某廠家擬在2014年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷費(fèi)用t（t≥0）萬元滿足x=4-■（k為常數(shù)）. 如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件. 已知2014年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入12萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分）.

（1）將該廠家2014年該產(chǎn)品的利潤y（萬元）表示為年促銷費(fèi)用t（萬元）的函數(shù)；

（2）該廠家2014年的年促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家利潤最大？

參考答案

1. B 2. C 3. C