等差、等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

重點(diǎn)難點(diǎn)

這部分內(nèi)容由等差（比）數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式組成，主要考查運(yùn)算能力，公式和性質(zhì)的靈活運(yùn)用能力以及遞推轉(zhuǎn)化能力. 在客觀題中，突出考查基本量（首項(xiàng)、公差或公比、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和）的求解；在解答題中，常以等差（比）數(shù)列（或可以化歸為等差（比）數(shù)列的關(guān)系式）為背景，重點(diǎn)考查其證明、通項(xiàng)、求和以及與函數(shù)、方程、不等式等其他知識(shí)的交匯問(wèn)題，難度一般為中等或中等偏下.

重點(diǎn)：理解并掌握等差（比）數(shù)列的定義，能判斷或證明等差（比）數(shù)列；熟記等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)、求和及其變形公式和相關(guān)性質(zhì).

難點(diǎn)：等差（比）數(shù)列的定義的理解和判斷；等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)、求和及其變形公式和相關(guān)性質(zhì)的記憶與靈活運(yùn)用.

方法突破

1. 等差（比）數(shù)列及其前n項(xiàng)和的基本解題思路

（1）方程法：將an與Sn統(tǒng)一表示為a1和d（或q）的方程（組），以求其基本量（五個(gè)基本量中，通常先求出a1和d（或q），然后再求其他的基本量）.

（2）函數(shù)法：利用函數(shù)的思想解決數(shù)列問(wèn)題，如等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和公式可分別表示成an=kn+b（一次函數(shù)），Sn=An2+Bn（不帶常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)）（n∈N？鄢）等.

（3）性質(zhì)法：運(yùn)用等差（比）數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)解題，?？烧w代換，回避單個(gè)求值. 較為常用的如：若a，b，c成等差，則2b=a+c；若a，b，c成等比，則b2=ac；若m+n=p+q，則am+an=ap+aq（或aman=apaq）（n，m，p，q∈N？鄢），Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…仍成等差（比）數(shù)列. 需要指出的是，等差、等比數(shù)列的性質(zhì)具有對(duì)稱(chēng)性，因此可用類(lèi)比的思想理解和記憶. 等差數(shù)列和等比數(shù)列可以相互轉(zhuǎn)化，等比數(shù)列的性質(zhì)可以用等差數(shù)列的性質(zhì)來(lái)推導(dǎo)、理解和記憶.

2. 等差（比）數(shù)列及其前n項(xiàng)和的基本解題策略

（1）通項(xiàng)公式的拓展應(yīng)用：若數(shù)列{an}為等差（比）數(shù)列，則an=am+（n-m）d（an=amqn-m）.

（4）求最值的方法有：①函數(shù)法（作圖觀察）；②分界法（如在等差數(shù)列中，若a1>0且d<0，則當(dāng)n滿(mǎn)足an≥0且an+1≤0時(shí)，Sn最大；相反，若a1<0且d>0，則當(dāng)n滿(mǎn)足an≤0且an+1≥0時(shí)，Sn最小）；③單調(diào)法（當(dāng)n滿(mǎn)足an≥an-1且an≥an+1時(shí)，an最大；當(dāng)n滿(mǎn)足an≤an-1且an≤an+1時(shí)，an最?。┑?

典例精講

（1）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1+a5=3a3，a10=14，則S12=______.

（2）（2013年北京高考）若等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足a2+a4=20，a3+a5=40，則公比q=______；前n項(xiàng)和Sn=________.

思索 這是高考等差（比）數(shù)列中最基本的一類(lèi)題型（求基本量），通常用方程法求解，但用等差（比）數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化常常更為簡(jiǎn)便. 因此，解題時(shí)首先要看能否利用性質(zhì)，如若不能，再考慮普通方法.

（1）（2013年浙江金華十校聯(lián)考）已知數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，若S8是數(shù)列{Sn}中的唯一最小項(xiàng)，則數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1的取值范圍是____.

（2）（2013年新課標(biāo)Ⅱ高考）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S10=0，S15=25，則nSn的最小值為_(kāi)_____.

思索 本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值的處理方法. （1）由前面所述解題策略第四點(diǎn)中的分界法可求得，亦可用二次函數(shù)的方法來(lái)處理. （2）由等差數(shù)列基本量的關(guān)系可求得nSn的表達(dá)式，可利用導(dǎo)數(shù)的方法求解最值，這是一道比較新穎的數(shù)列的最值問(wèn)題，充分體現(xiàn)了數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系和差別.

破解 （1）法一：由題意可知a8<0，a9>0，即a1+7<0，a1+8>0，解得-8

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及Sn；

思索 （1）將等差數(shù)列中的項(xiàng)a1，a2，a4均用a1和d來(lái)表示，結(jié)合等比中項(xiàng)公式建立方程，解出a1和d，即可求出其通項(xiàng). （2）在有關(guān)前n項(xiàng)和的問(wèn)題中，有兩個(gè)新數(shù)列的前n項(xiàng)和的問(wèn)題，分清數(shù)列的類(lèi)型和基本量尤為關(guān)鍵，并且問(wèn)題中穿插了一點(diǎn)放縮的技巧. 它是一個(gè)考查知識(shí)點(diǎn)全面，但難度不大的數(shù)列問(wèn)題.

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=2，nan+1=Sn+n（n+1）.

（1）證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

思索 （1）證明數(shù)列為等差（比）數(shù)列是高考中的常見(jiàn)題型，通常由需要被證明數(shù)列的“暗示”，將關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用定義法或中項(xiàng)法證明. （2）題中涉及離散型數(shù)列的單調(diào)性，由單調(diào)性求最值.

破解 （1）令n=1，則1·a2=a1+1·2，即a2-a1=2.

由nan+1=Sn+n（n+1），？搖（n-1）an=Sn-1+（n-1）n可得nan+1-（n-1）an=an+2n，即有an+1-an=2（n≥2）.

變式練習(xí)

1. 若等差數(shù)列{an}的前6項(xiàng)和為23，前9項(xiàng)和為57，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=_____.

2. 若f（1，1）=1， f（m，n）∈N？鄢（m，n∈N？鄢），對(duì)任意的m，n∈N？鄢都有f（m，n+1）=f（m，n）+2， f（m+1，1）=2f（m，1），則f（2013，2014）=________.

（1）求a2的值；

（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

4. 已知正項(xiàng)數(shù)列{an}，{bn}滿(mǎn)足：對(duì)任意正整數(shù)n，都有an，bn，an+1成等差數(shù)列，bn，an+1，bn+1成等比數(shù)列，且a1=10，a2=15.

（2）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；

參考答案

2. 22012+4026.