證明費(fèi)馬大定理

皮埃爾·德·費(fèi)馬無(wú)疑是數(shù)學(xué)史上最令人著迷的家伙之一. 他出生于17世紀(jì)法國(guó)一個(gè)商人家庭，仕途一帆風(fēng)順，以至于有資格在姓氏中使用“de”這個(gè)代表貴族身份的前綴.費(fèi)馬把所有的業(yè)余時(shí)間都用在了數(shù)學(xué)上，卻被《業(yè)余大數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)》一書(shū)的作者排除在外，“他那么杰出，應(yīng)該算專業(yè)數(shù)學(xué)家”.

古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖所著的《算術(shù)》跟隨了費(fèi)馬一生，他在這本書(shū)上簡(jiǎn)單潦草地記下了48個(gè)評(píng)注.費(fèi)馬說(shuō)過(guò)，他對(duì)每個(gè)評(píng)注都有一個(gè)證明，所以它們是定理，但他對(duì)此要么根本沒(méi)有解釋，要么僅僅給出一點(diǎn)點(diǎn)證明提示.

后人前赴后繼去求證費(fèi)馬潦草筆記的正確性. 例如：大于2的任意質(zhì)數(shù)可以表示為4n+1或4n-1兩種形式，其中n是某個(gè)整數(shù). 例如：第一類質(zhì)數(shù)總是兩個(gè)平方數(shù)之和，而第二類質(zhì)數(shù)永遠(yuǎn)不能表示成這種形式. 證明這種性質(zhì)對(duì)每一個(gè)質(zhì)數(shù)都成立非常困難，大數(shù)學(xué)家歐拉經(jīng)過(guò)7年的努力，幾乎是在費(fèi)馬去世整整一個(gè)世紀(jì)后才成功證明.

實(shí)際上，在后人證明這些評(píng)注之前，它們應(yīng)該叫猜想而非定理. 但是隨著時(shí)間流逝，費(fèi)馬猜想一個(gè)個(gè)被證明——除了“費(fèi)馬大定理”，因此它也常被叫做“費(fèi)馬最后定理”.

讀《算術(shù)》第二卷時(shí)，費(fèi)馬觀察著畢達(dá)哥拉斯定理——也叫勾股定理，它有幾十種證明方法. 如果將畢達(dá)哥拉斯方程x2+y2=z2中x、y、z的2次冪升級(jí)到3次冪會(huì)怎樣？他發(fā)現(xiàn)方程將沒(méi)有整數(shù)解. 他試著將其變?yōu)?次冪、5次冪……結(jié)果都沒(méi)有整數(shù)解. 在數(shù)的無(wú)限世界里，竟沒(méi)有“費(fèi)馬三元組”的位置，這似乎是不可能的. 費(fèi)馬在這個(gè)結(jié)論后面，寫(xiě)下了令一代又一代數(shù)學(xué)家為之苦惱的一段話：“我有一個(gè)對(duì)這個(gè)命題的十分美妙的證明，這里空白太小，寫(xiě)不下.”

這個(gè)問(wèn)題困擾人類長(zhǎng)達(dá)3個(gè)多世紀(jì). 費(fèi)馬十分滿意自己對(duì)數(shù)學(xué)界的挑戰(zhàn). 他并非與數(shù)學(xué)界毫無(wú)接觸，事實(shí)上，他與他們通信，在信中他敘述自己的最新定理，卻不提供證明. 這種明顯的挑釁叫他人無(wú)法忍受，有人叫他“那個(gè)該詛咒的法國(guó)佬”. 費(fèi)馬僅有的一次與他人探討數(shù)學(xué)的通信是同帕斯卡，他們探討了概率論. 當(dāng)帕斯卡催促費(fèi)馬發(fā)表他的某個(gè)成果時(shí)，這個(gè)喜歡惡作劇的數(shù)學(xué)家說(shuō)：“不管我的哪個(gè)工作被確定值得發(fā)表，我不想其中出現(xiàn)我的名字.”我們不能希求費(fèi)馬改變個(gè)性，只能埋怨當(dāng)時(shí)的出版商為何不將書(shū)籍的頁(yè)邊弄得更大一些.

歐拉只證明了3次冪的形式. “數(shù)學(xué)家之王”高斯雖然沒(méi)有研究過(guò)費(fèi)馬大定理，但當(dāng)他得知女?dāng)?shù)學(xué)家熱爾曼對(duì)證明費(fèi)馬大定理有突破性進(jìn)展時(shí)，一反常態(tài)，顯得驚喜萬(wàn)分. 1825年，兩位年紀(jì)相差一代的數(shù)學(xué)家在熱爾曼的基礎(chǔ)上同時(shí)獨(dú)立證明了5次冪. 14年后，法國(guó)人拉梅證明了7次冪. 在熱爾曼的研究取得突破性進(jìn)展后，法國(guó)科學(xué)院為費(fèi)馬大定理設(shè)立了專項(xiàng)獎(jiǎng)勵(lì)，但此后每一次有人聲稱成功證明了費(fèi)馬大定理，最終都被發(fā)現(xiàn)存在致命漏洞.

數(shù)學(xué)與物理、化學(xué)等學(xué)科不同，這些學(xué)科由假設(shè)開(kāi)始，然后再在自然界或?qū)嶒?yàn)室進(jìn)行進(jìn)一步驗(yàn)證，而數(shù)學(xué)則一開(kāi)始就要求唯真.或許，這也正是數(shù)學(xué)的迷人之處.

1908年的某一天，數(shù)學(xué)愛(ài)好者、德國(guó)人沃爾夫斯基凱爾因失戀?zèng)Q定自殺. 自殺前他在圖書(shū)館看到了費(fèi)馬大定理并為之著迷，他活了下來(lái). 后來(lái)，他立下遺囑，以2007年為限，獎(jiǎng)勵(lì)第一個(gè)證明費(fèi)馬大定理的人10萬(wàn)馬克. 全世界都為此瘋狂，以至于負(fù)責(zé)管理這筆錢(qián)的哥廷根皇家科學(xué)協(xié)會(huì)不得不印刷大量的退稿卡片來(lái)應(yīng)付來(lái)自各地的信件.

最終，358年之后，英國(guó)人安德魯·懷爾斯于1995年證明了費(fèi)馬大定理，那時(shí)費(fèi)馬大定理已轉(zhuǎn)換為證明谷山—志村猜想. 毫不夸張地說(shuō)，懷爾斯動(dòng)用了人類發(fā)明數(shù)學(xué)以來(lái)幾乎所有的知識(shí)，匯集了20世紀(jì)有關(guān)數(shù)論的所有突破性工作. 他的證明寫(xiě)了滿滿200頁(yè)，被分成6章，由6位世界頂級(jí)數(shù)學(xué)家獨(dú)立審核.懷爾斯的證明即使?jié)饪s到最短，也有100頁(yè)之多，這與費(fèi)馬留在頁(yè)邊的那段話格格不入. 包括很多著名數(shù)學(xué)家在內(nèi)的人認(rèn)為，一定有以17世紀(jì)數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)的簡(jiǎn)潔巧妙的證明費(fèi)馬大定理的方法. 從這個(gè)意義上說(shuō)，費(fèi)馬大定理至今仍沒(méi)有被完美證明. ■