線性代數(shù)課堂教學(xué)初探

王敬童

(湖南商學(xué)院信息學(xué)院，湖南長沙410205)

線性代數(shù)課堂教學(xué)初探

王敬童

(湖南商學(xué)院信息學(xué)院，湖南長沙410205)

針對線性代數(shù)課程的自身特點(diǎn)，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，從概念教學(xué)、命題教學(xué)、解題教學(xué)等幾個方面，對線性代數(shù)課堂教學(xué)進(jìn)行了初步探討。

線性代數(shù);概念教學(xué);命題教學(xué);解題教學(xué)

線性代數(shù)是討論代數(shù)學(xué)中線性關(guān)系經(jīng)典理論的課程，是高等院校理工類、經(jīng)管類等各專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)理論課，它對于培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力、抽象思維能力、邏輯推理能力和工程實(shí)踐能力有著不可忽視的作用。由于線性代數(shù)內(nèi)容抽象、形式化程度高，而且教材中理論多、應(yīng)用少，學(xué)生在學(xué)習(xí)這門課程時普遍感到有一定的難度。本文根據(jù)線性代數(shù)課程的特點(diǎn)，并結(jié)合筆者多年的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，從概念教學(xué)、命題教學(xué)、解題教學(xué)等幾個方面，對線性代數(shù)課堂教學(xué)進(jìn)行研究和探討。

一 概念教學(xué)

概念是思維的細(xì)胞，是濃縮的知識點(diǎn)。在基本概念的教學(xué)中，教師如果能巧妙地引入重要概念，就會淡化數(shù)學(xué)概念的高度抽象性，充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)造熱情。課堂教學(xué)中，應(yīng)充分展現(xiàn)概念的發(fā)生發(fā)展過程——展示概念的發(fā)生和發(fā)展的實(shí)際背景，引導(dǎo)學(xué)生充分運(yùn)用已有的知識結(jié)構(gòu)弄清概念的來龍去脈，認(rèn)識概念的本質(zhì)屬性，明確和理解概念的內(nèi)涵與外延，從而構(gòu)建起相應(yīng)的概念。在概念教學(xué)實(shí)踐中，可以通過類比、聯(lián)想概念之間的異同，找出每個概念的特點(diǎn)，以挖掘出每個概念的關(guān)鍵點(diǎn)。

如n階行列式概念的引入。在現(xiàn)行的大多數(shù)線性代數(shù)教材中，行列式是學(xué)生接觸的第一個概念，也是非常抽象的一個概念。在教學(xué)中，我們一般由初等數(shù)學(xué)中常見的二(三)元線性方程組的簡潔公式解入手引入二(三)階行列式。對于含有n個方程n個未知量的線性方程組:

這類方程總可以用消元法來求解，但是消元法沒有一個統(tǒng)一的公式，而解的統(tǒng)一公式在很多情況下有很重要的意義(就像一元二次方程公式解的作用)，因而有必要尋求該類線性方程組的公式解。我們一般會考慮，通過定義一般的n階行列式，來給出它的公式解，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生，不難發(fā)現(xiàn):二(三)階行列式有如下共同特征:(1)二階是2!=2項(xiàng)的代數(shù)和，三階是3!=6項(xiàng)的代數(shù)和;(2)它們的每一項(xiàng)都是不同行不同列元素的乘積，并且包含了所有可能的不同行不同列元素的乘積。除符號外，二階的項(xiàng)可寫成:a1j1a2j2，三階的項(xiàng)可寫成:a1j1a2j2a3j3。這樣學(xué)生就不難發(fā)現(xiàn)，從二(三)階行列式推廣至n階行列式唯一的障礙就是乘積項(xiàng)的符號，從而順理成章地引入排列及逆序數(shù)等概念，進(jìn)而通過逆序數(shù)歸納定義n階行列式。在教學(xué)中，還可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生從二(三)階行列式及其展開式的結(jié)構(gòu)入手探尋其共同規(guī)律，通過引入余子式和代數(shù)余子式的概念，進(jìn)而導(dǎo)出用低階行列式定義高一階行列式的思想，即從行列展開的角度定義n階行列式。這是現(xiàn)行線性代數(shù)教材中常用的2種n階行列式的定義，它們在不同情況下有不同的作用。這樣，學(xué)生通過自己循序漸進(jìn)的探究，極大地激發(fā)了探求新知識的欲望，同時也為Cramer法則以及矩陣的引入做好了鋪墊。

再如矩陣運(yùn)算的引入。矩陣?yán)碚撌蔷€性代數(shù)的核心內(nèi)容之一，而矩陣的運(yùn)算是矩陣?yán)碚摰闹鲃用}。所以如何巧妙地引入矩陣的運(yùn)算是非常關(guān)鍵的。在教學(xué)中，為加深學(xué)生對矩陣運(yùn)算性質(zhì)的理解，可引導(dǎo)學(xué)生將矩陣與數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)作類比。例如定義了矩陣的加法、減法與乘法之后，學(xué)生理所當(dāng)然地就會思考能不能像數(shù)的運(yùn)算那樣定義矩陣的除法運(yùn)算呢?即這樣定義呢?在肯定學(xué)生類比意識的同時，我們可以與學(xué)生一起探究，在數(shù)的運(yùn)算中，除法可以看成是乘法的逆運(yùn)算，b÷a=，因?yàn)閿?shù)的乘法滿足交換律，因此有確切的含義。但在矩陣運(yùn)算中，因?yàn)槌朔ú粷M足交換律，BA－1=A－1B往往不成立，因而B÷A=沒有確切的含義，因此不能定義矩陣的除法。進(jìn)一步指出，數(shù)的運(yùn)算里邊，通過倒數(shù)的引入實(shí)現(xiàn)了除法通過乘法來實(shí)現(xiàn)，可以把這種通過倒數(shù)來實(shí)施除法的思想延拓到矩陣中來。若記b=a－1，則數(shù)的倒數(shù)由ab=ba=1唯一確定，而矩陣乘法中單位矩陣E相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算中的1，從而水到渠成地引入逆矩陣的概念，進(jìn)一步指出，可逆矩陣是一類最重要的矩陣，應(yīng)用非常廣泛，如Cramer的證明、求解矩陣方程等。在教學(xué)中，將要學(xué)習(xí)的知識與學(xué)生以前掌握的知識聯(lián)系起來再深入講解，這樣，一方面使陌生的、抽象的、晦澀難懂的知識在學(xué)生心中建立起熟悉、親切、能學(xué)易學(xué)的形象;另一方面，可激發(fā)學(xué)生的知識創(chuàng)造力。

又如線性相關(guān)概念的引入。線性相關(guān)概念是線性代數(shù)課程的一個難點(diǎn)，又是重點(diǎn)，對它的理解如何將直接決定著對該課程中心內(nèi)容的掌握及應(yīng)用的程度，這個概念是提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力的一個很好憑借。而線性相關(guān)性概念的抽象性使得學(xué)生對這些概念缺乏感性認(rèn)識，難以把握概念的本質(zhì)。因而簡短而頻繁地返回主題能更好地幫助學(xué)生深刻理解，所以在教學(xué)內(nèi)容安排上可以交叉重疊，層層推進(jìn)。在教學(xué)中，可結(jié)合二維與三維向量線性相關(guān)性的幾何直觀加深理解，其效果較直接給出定義要好。

二 命題教學(xué)

在課堂教學(xué)中，應(yīng)充分展現(xiàn)命題的探究過程——通過實(shí)際問題或數(shù)學(xué)問題的情景展示，使學(xué)生在實(shí)驗(yàn)觀察、主動探索和討論中獲得關(guān)于命題的直覺認(rèn)識，并形成關(guān)于命題的猜想，感受命題的發(fā)展演變和形成的過程。問題的設(shè)計(jì)是學(xué)生理解和接受新概念的關(guān)鍵點(diǎn)，以及學(xué)生學(xué)習(xí)新內(nèi)容的興奮點(diǎn)，從而能達(dá)到引發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生提問題，進(jìn)一步促使學(xué)生很自然地得出并理解結(jié)論的目的。

如講解初等矩陣與初等變換的關(guān)系時，可舉例用三類初等矩陣左乘與右乘矩陣，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察結(jié)果總結(jié)出定理的內(nèi)容。

再如在講解矩陣乘法的三大特征時，可舉例:

容易算得:

如矩陣的秩是矩陣的一個非常重要的不變量，是討論向量組的線性相關(guān)性、深入研究線性方程組等問題的重要工具。學(xué)習(xí)了其基本性質(zhì)，以及用初等變換求具體矩陣的秩之后，結(jié)合n階矩陣A可逆的充分必要條件是A可以表示為若干初等矩陣的乘積，引導(dǎo)學(xué)生從初等變換的角度去看待可逆矩陣左(右)乘矩陣，不難發(fā)現(xiàn)下面的重要性質(zhì):

設(shè)P、Q為滿秩矩陣，則r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)。

課堂中讓學(xué)生思考:

三 解題教學(xué)

在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生普遍反應(yīng)課聽得懂，但解題卻力不從心，沒有一把解題的萬能鑰匙。這是因?yàn)閷W(xué)生還不習(xí)慣線性代數(shù)的高度抽象性，同時這方面的基本思維訓(xùn)練缺失。在教學(xué)中，教師應(yīng)充分展現(xiàn)解題思路的獲得過程——不僅要展示如何從題設(shè)、結(jié)論的等價條件出發(fā)，做出具體分析，如何聯(lián)想、探索、猜想、推理、轉(zhuǎn)化，如何挖掘易被忽視的語義信息及處于隱蔽狀態(tài)下的已知條件的思維過程，還要展示在解題思路受阻時，如何合理變換策略，另辟蹊徑，從而達(dá)到目的的思維過程。只有這樣，才可以使數(shù)學(xué)結(jié)論生動、鮮活和充實(shí)，成為學(xué)生易于理解和接受的東西。也只有這樣，才能使學(xué)生領(lǐng)會到數(shù)學(xué)的思想內(nèi)涵，才能使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到培養(yǎng)，才能使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的樂趣，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的美和內(nèi)在魅力。如初等變換法求矩陣的逆。問題提出:《淺性代數(shù)》在第二章第三節(jié)中給出了矩陣A可逆的充要條件的同時，也給出了利用伴隨矩陣求逆矩陣A－1的一種方法，即A－1=該方法稱為伴隨矩陣法。但當(dāng)矩陣A的階數(shù)較大時，求A* 很繁瑣，此方法不實(shí)用，而分塊思想只適應(yīng)于某些特殊的高階矩陣，不具普遍性。那么如何找到一種簡單的方法呢?由矩陣的分塊乘法有:

可以發(fā)現(xiàn):n階矩陣A可逆的充分必要條件是A可以表示為若干初等矩陣的乘積。因此，由初等矩陣與初等變換的關(guān)系可知，求矩陣A的逆矩陣A－1時，可構(gòu)造矩陣n×2n矩陣(A E)，然后對其施以初等行變換將矩陣A化為單位矩陣E，則上述初等變換同時也將其中的單位矩陣E化為 A－1，即

這就是求逆矩陣的初等行變換法。當(dāng)然也可以利用初等列變換，事實(shí)上

進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生:A行等價于其行最簡形F，則存在可逆矩陣P，使得PA=F，如何求這個可逆矩陣P?(提示:(這個可逆矩陣P唯一嗎?)隨著問題的解決，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)初等行變換求逆矩陣是其一特殊情況。

進(jìn)一步鋪設(shè)問題:求逆矩陣的初等變換法能否求解矩陣方程AX=B、XA=B?

問題分析:其實(shí)推導(dǎo)求逆矩陣方法的過程就是求解矩陣方程的過程，因?yàn)榍驛－1就是求解矩陣方程AX=E的解，而對一般的矩陣方程AX=B只要將(A E)中的E換成B，然后利用初等行變換即可。事實(shí)上A－1(A B)=(E A－1B)即

這樣就給出了用初等行變換求解矩陣方程AX=B的方法。

同理，求解矩陣方程XA=B，等價于計(jì)算矩陣BA－1，亦可利用初等列變換求矩陣BA－1．即?

在教學(xué)中，可讓學(xué)生課后思考:①能用初等行變換求解矩陣方程XA=B嗎?②能用初等變換求解矩陣方程AXB=C嗎?

四 結(jié) 語

在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，線性代數(shù)教學(xué)有著非常重要的基礎(chǔ)地位，課堂教學(xué)所涉及的細(xì)節(jié)太多，舉凡綱要之本，則是課堂教學(xué)設(shè)計(jì)。教師應(yīng)在鉆研教材的同時，精心設(shè)計(jì)和組織教學(xué)內(nèi)容，巧妙引入概念，有目的地設(shè)計(jì)聚合式的問題情景，充分展示知識的發(fā)生發(fā)展過程，挖掘其思想內(nèi)涵，引導(dǎo)學(xué)生主動獲取、發(fā)現(xiàn)問題，從有關(guān)的概念、定理及其證明的過程中尋找方法、挖掘本質(zhì)、領(lǐng)悟思想，不僅要關(guān)注結(jié)果，更要關(guān)注過程，從而有效提高學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

［1］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室．工程數(shù)學(xué)－－線性代數(shù)(第五版)［M］．北京:高等教育出版社，2007．

［2］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室小組．高等代數(shù)(第三版)［M］．北京:高等教育出版社，2003．

［3］陳維新．線性代數(shù)(第二版)［M］．北京:科學(xué)出版社，2008．

［4］梁曉毅．線性代數(shù)—題型與方法［M］．西安:西安電子科技大學(xué)出版社，2003．

［5］張禾瑞，郝炳新．高等代數(shù)(第四版)［M］．北京:高等教育出版社，1999．

［6］趙慧斌．問題驅(qū)動是線性代數(shù)有效的教學(xué)法之一［J］．高等數(shù)學(xué)研究，2008(4)．

G642．0

A

1674－5884(2012)04－0085－03

2012－03－04

王敬童(1973－)，男，湖南雙峰人，講師，博士，主要從事代數(shù)學(xué)與信息安全研究。

(責(zé)任編校 晏小敏)