實(shí)施“變異理論”，完善教學(xué)設(shè)計(jì)

一、研究的緣起與目的

“組合圖形面積”這一內(nèi)容旨在讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用已學(xué)基本圖形面積公式和轉(zhuǎn)化方法求解組合圖形的面積，具體包括三個(gè)意義：其一，這一內(nèi)容是對(duì)已學(xué)幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用；其二，這一內(nèi)容為今后求解復(fù)雜和不規(guī)則圖形面積奠定基礎(chǔ)；其三，這一內(nèi)容要求學(xué)生初步理解和掌握“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，并在組合圖形和基本圖形之間有效轉(zhuǎn)化?；诖耍浴白儺惱碚摗睘橹笇?dǎo)，在分析教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情的基礎(chǔ)上，厘清要點(diǎn)，設(shè)計(jì)、完善教學(xué)環(huán)節(jié)，并通過(guò)“審辨——變異”的變異圖式，最終突出教學(xué)重點(diǎn)和破解教學(xué)難點(diǎn)。

二、教學(xué)要點(diǎn)與學(xué)情分析

1.教學(xué)要點(diǎn)

“變異理論”強(qiáng)調(diào)，精細(xì)分析教學(xué)內(nèi)容，厘清教學(xué)要點(diǎn)，根據(jù)需要學(xué)生審辨的內(nèi)容，明確教學(xué)目標(biāo)。針對(duì)“組合圖形面積”這一內(nèi)容，其教學(xué)要點(diǎn)有三個(gè)。其一，“組合圖形面積”求解的基本思想是“轉(zhuǎn)化”，即將組合圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形。其二，“有效轉(zhuǎn)化”包括“圖形有效”和“數(shù)據(jù)有效”?！皥D形有效”即將組合圖形轉(zhuǎn)化為已知計(jì)算方法的基本圖形，具體方法包括：分割法、添補(bǔ)法和割補(bǔ)法?！皵?shù)據(jù)有效”，即將組合圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形后，無(wú)法有效解決問(wèn)題，還需相應(yīng)的數(shù)據(jù)支持計(jì)算。其三，“組合圖形面積”求解的方法多種多樣，有繁簡(jiǎn)之分，這就需要分析和比較，最終選擇簡(jiǎn)潔的計(jì)算方法。

2.學(xué)情分析

在教學(xué)“組合圖形面積”這一內(nèi)容之前，教師應(yīng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行前測(cè)，以了解他們是否具備必要的知識(shí)基礎(chǔ)。前測(cè)結(jié)果表明三點(diǎn)：其一，有75%的學(xué)生對(duì)梯形、平行四邊形等基本圖形面積公式基本掌握，并能正確運(yùn)用；其二，有52%的學(xué)生在面積計(jì)算和單位轉(zhuǎn)化等方面仍有困難，使得解題的錯(cuò)誤率較高；其三，有50%的學(xué)生能把簡(jiǎn)單組合圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形，并準(zhǔn)確地計(jì)算出面積。

通過(guò)分析可知，在教學(xué)“組合圖形面積”這一內(nèi)容時(shí)，其學(xué)情有四個(gè)特點(diǎn)：一是學(xué)生能在教師引導(dǎo)下，通過(guò)自主探索與合作交流的方式，探究多樣化的解題方法；二是對(duì)解題方法的歸類、分析與擇優(yōu)，還須教師的進(jìn)一步指點(diǎn)；三是學(xué)生對(duì)圖形的數(shù)據(jù)條件關(guān)注不夠，時(shí)常不顧數(shù)據(jù)而轉(zhuǎn)化圖形，最后導(dǎo)致無(wú)效轉(zhuǎn)化；四是學(xué)生不能靈活運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”思想。

三、教學(xué)過(guò)程與教學(xué)心得

“變異理論”強(qiáng)調(diào)，學(xué)生在掌握教學(xué)內(nèi)容的要點(diǎn)時(shí)，須圍繞教學(xué)要點(diǎn)提供有序變異的學(xué)習(xí)情景。只有有序的變異，才能使教學(xué)要點(diǎn)成為學(xué)生關(guān)注的對(duì)象，才能達(dá)成審辨。有序變異的策略主要包括：“類比”“對(duì)比”“分離”與“融合”等。

1.教學(xué)過(guò)程

“組合圖形面積”這一內(nèi)容的教學(xué)包括兩個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：一是探索、歸納方法，二是運(yùn)用方法與拓展。

（YDAcuXYHysSu52O0Dirw/omObuoeCLyc/a6iLctuYF0=1）探索歸納方法

在“探索歸納方法”這一教學(xué)環(huán)節(jié)，其教學(xué)過(guò)程分三步：一是通過(guò)“類合”策略，歸納組合圖形的含義；二是創(chuàng)設(shè)求解“組合圖形面積”的教學(xué)情景（小華家客廳地面要鋪木地板，請(qǐng)幫小華算出客廳的面積）。可先讓學(xué)生獨(dú)立思考，再進(jìn)行全班交流；三是展示問(wèn)題情景的有序變化，提出引導(dǎo)性問(wèn)題，使學(xué)生逐步關(guān)注和理解不同要點(diǎn)——“轉(zhuǎn)化”思想、“轉(zhuǎn)化”方法、優(yōu)選方法和“轉(zhuǎn)化”要素。

具體教學(xué)步驟分五個(gè)階段。其一，展示組合圖形，提出問(wèn)題（這些圖形有什么共同特點(diǎn)），并進(jìn)行全班交流，須明確審辨的關(guān)鍵屬性（組合圖形，即由基本圖形組成；其形狀各異）。在此，采用“變異理論”中“類合”（歸納）的策略。其二，小華家客廳的地面由若干組合圖形構(gòu)成，解題思路是加輔助線，提出問(wèn)題（為什么加這些輔助線，它們的作用是什么），并進(jìn)行全班交流，須明確審辨的關(guān)鍵屬性（基本思路，即將組合圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形；由于組合圖形不同，因此，所加輔助線不同）。在此，采用“變異理論”中“類合”（歸納）的策略。其三，要求學(xué)生采用多種方法添加輔助線，提出問(wèn)題（這些添加輔助線的方法，其不同點(diǎn)和相同點(diǎn)分別是什么），并進(jìn)行全班交流，須明晰審辨的關(guān)鍵屬性（“轉(zhuǎn)化”方法，即分割法、添補(bǔ)法和割補(bǔ)法；“轉(zhuǎn)化”方法因教學(xué)情景和圖形的不同而不同）。在此，采用“變異理論”中的“對(duì)比”和“類合”策略。其四，要求學(xué)生審視不同的添加輔助線的方法，提出問(wèn)題（哪種添加輔助線的方法比較簡(jiǎn)便），并進(jìn)行全班交流，須明晰審辨的關(guān)鍵屬性（通過(guò)對(duì)比，選取最佳方法；“轉(zhuǎn)化”思想的運(yùn)用以簡(jiǎn)便為本）。在此，采用“變異理論”中的“對(duì)比”策略。其五，展示已添加輔助線的圖形，提出問(wèn)題（為什么有些圖形添加的輔助線有效，有些圖形添加的輔助線無(wú)效）并進(jìn)行全班交流，須明晰審辨的關(guān)鍵屬性（將組合圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形，有效轉(zhuǎn)化的要素有兩個(gè)，即圖形有效和數(shù)據(jù)有效。只有將有效圖形和有效數(shù)據(jù)相結(jié)合，才能運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”思想有效解題）。在此，采用“變異理論”中的“對(duì)比”和“分離”策略。

（2）運(yùn)用方法和拓展

在“運(yùn)用方法和拓展”這一教學(xué)環(huán)節(jié)，通過(guò)從易到難的不同例題的練習(xí)、分析和交流，使學(xué)生掌握根據(jù)各種組合圖形的條件，有效添加輔助線，將組合圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形，標(biāo)出隱含數(shù)據(jù)，選擇計(jì)算方法，并進(jìn)行正確解答。為了選擇典型變異的題目作為例題，教師可對(duì)各類相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行分析，并仔細(xì)歸納它們的難度（其難度主要取決于四個(gè)因素：基本圖形的個(gè)數(shù)和形狀、是否已添加輔助線、數(shù)據(jù)是否隱含或需要推算以及是否涉及其他知識(shí)背景），這四個(gè)因素構(gòu)成了主要的變異維度。因此，教師在設(shè)計(jì)例題時(shí)，應(yīng)盡量兼顧各種主要的變異維度，使例題難度由簡(jiǎn)到繁，逐漸加大，最終使學(xué)生在各種問(wèn)題變式中審辨情景的變化和方法的變通。

2.教學(xué)心得

（1）靈活掌握

在教學(xué)了“組合圖形面積”這一內(nèi)容后，一些學(xué)生傾向于把某個(gè)基本圖形（例如，梯形）當(dāng)成組合圖形，采用“轉(zhuǎn)化”方法求解。此時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生采用基本圖形的相應(yīng)公式（梯形的面積公式）求解。因此，教師應(yīng)提醒學(xué)生在采用“轉(zhuǎn)化”方法解題之前，須先判定圖形的屬性，以靈活掌握所學(xué)知識(shí)。

（2）促進(jìn)作用

運(yùn)用“變異理論”對(duì)“組合圖形面積”這一內(nèi)容的教學(xué)過(guò)程進(jìn)行精細(xì)調(diào)整，對(duì)教學(xué)成效具有一定的促進(jìn)作用。其一，使學(xué)生較好地掌握“轉(zhuǎn)化”方法，以確保大多數(shù)學(xué)生較好地解決中等難度的問(wèn)題；其二，根據(jù)變異維度設(shè)計(jì)不同問(wèn)題，使學(xué)生解決問(wèn)題的靈活性和遷移性獲得較大提升。

（3）存在的問(wèn)題

在運(yùn)用“變異理論”指導(dǎo)“組合圖形面積”這一內(nèi)容的教學(xué)中存在三個(gè)問(wèn)題。其一，在將組合圖形轉(zhuǎn)化成基本圖形時(shí)，須考慮數(shù)據(jù)有效，應(yīng)提醒學(xué)生避免完全憑借直覺(jué)分割圖形。其二，組合圖形的“轉(zhuǎn)化”仍有拓展空間。其三，涉及“組合圖形面積”這一內(nèi)容的題目屬于綜合性較強(qiáng)的題目，計(jì)算錯(cuò)誤成為不少學(xué)生存在的問(wèn)題，因此，亟待彌補(bǔ)此薄弱環(huán)節(jié)。

（作者單位：1.北京海淀區(qū)六一小學(xué) 2.北京師范大學(xué)教育學(xué)部）

（責(zé)任編輯：梁金）