一題多解的“度”

顧和桂

在數(shù)學(xué)課堂的例題教學(xué)中能夠一題多解的題目往往是教師所青睞的，這類題往往能促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展，活躍課堂氣氛，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.但并不是一題多解的解法越多越好，也不要一題多解好就每道題都追求解法多、全、新.下面我選取了日常教研工作中幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)說(shuō)如何把握例題教學(xué)中的一題多解的“度”，如何根據(jù)課堂教學(xué)的需要選取例題的典型的解法來(lái)講解例題.

例1一元一次方程的應(yīng)用—相遇問題

原題：西安站和武漢站相距1500 km，一列慢車從西安開出，速度為65 km/h，一列快車從武漢開出，速度為85 km/h，兩車同時(shí)相向而行幾小時(shí)相遇？

先讓學(xué)生回憶小學(xué)里面的解法： 相遇的時(shí)間等于總路程除以兩車速度的和即

1500÷（65+85）=10（小時(shí)）

再讓學(xué)生考慮用設(shè)未知數(shù)列方程來(lái)解決：

設(shè)兩車經(jīng)過(guò)x小時(shí)后相遇，分析題目中速度、時(shí)間和路程之間的關(guān)系

到這里我認(rèn)為應(yīng)該重點(diǎn)講如何分析題目，表格與線段圖的關(guān)系.可是這位教師為了突出一題多解，讓學(xué)生思考這一題還有其他解法嗎？并讓學(xué)生思考了兩分鐘，學(xué)生找不到思路.教師這里很著急，提示了一下：假如設(shè)慢車的行駛路程為y千米，應(yīng)該怎么列方程呢？（學(xué)生仍然沒有反應(yīng)）

設(shè)慢車的行駛路程為y千米，快車的行駛路程為（1500-y）千米，根據(jù)題意列方程得

y65=1500-y85.

先解出y=650，再求出時(shí)間為

y65=10（小時(shí)）

點(diǎn)評(píng)：這位教師所犯的問題是一題多解貪多.在七年級(jí)學(xué)生對(duì)列方程解應(yīng)用題尚不熟練的情況下，抓住一類常見的題型---相遇問題作為一元一次方程應(yīng)用的研究專題.本來(lái)是對(duì)七年級(jí)學(xué)生而言是一節(jié)有針對(duì)性、有實(shí)效性、有數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的好課.這位教師在講例題時(shí)，沒有重點(diǎn)抓住速度、路程和時(shí)間的關(guān)系給學(xué)生講用表格和線段圖分析題目中已知條件之間的關(guān)系的方法，以及如何運(yùn)用表格和線段圖找等量關(guān)系列方程，而是把重點(diǎn)放在找不同的解法我認(rèn)為是不妥的.而且例題中要求相遇的時(shí)間是多少？設(shè)慢車的行駛路程為y，也的確不是一種高明的方法.教師純粹為了一題多解而設(shè)慢車行駛路程為y的方法.不僅是方法的繁簡(jiǎn)問題，更重要的讓大多數(shù)學(xué)生對(duì)如何設(shè)未知數(shù)沒有頭緒.在新授課時(shí)，我們應(yīng)把重點(diǎn)放在通法的講解上，而不應(yīng)讓學(xué)生去思考特殊的解法.如果有學(xué)生提出來(lái)，也可講解但一個(gè)必不可少的步驟就是比較兩種方法的優(yōu)劣.讓學(xué)生學(xué)會(huì)解題時(shí)統(tǒng)籌考慮解法，一般方法和簡(jiǎn)捷的方法一直是我們優(yōu)先考慮的.

例2一節(jié)相交線平行線的復(fù)習(xí)課

在復(fù)習(xí)完成知識(shí)點(diǎn)后，教師講了這樣一道例題

教師先分析圖中A∥CD，但沒有相應(yīng)的平行線被第三條直線所截的基本圖形，可以考慮作輔助線構(gòu)造.再請(qǐng)學(xué)生說(shuō)出自己的解題的思路，然后讓兩位學(xué)生上黑板板演解題過(guò)程.最后教師補(bǔ)充其他方法.

方法1：如圖2過(guò)點(diǎn)E作EF∥A， 所以∠AE+∠EF=180°，∠EF=60°，因?yàn)锳∥CD，所以EF∥CD，所以∠CEF=∠ECD=35°，所以∠EC=∠EF+∠FEC=95°.

方法2：如圖3過(guò)點(diǎn)E作EF∥A，所以∠EF=∠AE=120°，因?yàn)锳∥CD，所以EF∥CD，所以∠CEF+∠ECD=180°，所以∠CEF=145°，所以∠EC=360°-∠EF-∠FEC=95°.

方法3：如圖4延長(zhǎng)A至點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作EF∥A，∠ME=180°-120°=60°，因?yàn)锳∥CD，A∥EF，所以EF∥CD，所以∠EF=∠ME=60°，∠FEC=∠ECD=35°，所以∠EC=∠EF+∠FEC=95°.

方法4：如圖5延長(zhǎng)E交CD于點(diǎn)F，因?yàn)锳∥CD，所以∠AE+∠EFC=180°，所以∠EFC=60°，在△EFC中，∠CEF=180°-∠C-∠EFC=85°，

所以∠EC=180°-∠EFC=95°.

方法5：如圖6延長(zhǎng)CE交A的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

因?yàn)锳∥CD，所以∠AFE=∠ECD=35°，∠FE=180°-∠AE=60°，

所以∠EF=180°-∠FE-∠AFE=85°，所以∠EC=180°-∠EF=180°-85°=95°.

點(diǎn)評(píng)：

1.方法3有必要介紹嗎？

這位教師講完方法1、2之后，難能可貴的是他沒有就此打住，而是提示學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)的基本圖形（圖7）中有結(jié)論∠AEC=∠AE+∠DCE.于是可以延長(zhǎng)A至M得圖4.

雖然這種解法不一定簡(jiǎn)捷，但這種解法讓學(xué)生體會(huì)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，化一般為特殊，把不熟悉的圖形轉(zhuǎn)化為熟悉的基本圖形解決問題是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法.我認(rèn)為在平時(shí)教學(xué)過(guò)程中要經(jīng)常運(yùn)用，讓學(xué)生熟悉這也是一種重要的解決問題的方法.

2.方法4和方法5超要求，要不要講？

我們知道在小學(xué)里學(xué)生就已經(jīng)學(xué)過(guò)了三角形的內(nèi)角和為180°的結(jié)論，只是沒有給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明.三角形的內(nèi)角和定理是初二的教學(xué)內(nèi)容，但小學(xué)里已經(jīng)有的數(shù)學(xué)結(jié)論是完全可以用于解題.初一的學(xué)生完全可以用初二、初三的定理公理來(lái)解題，同樣在中考中運(yùn)用高中的定理公理來(lái)解題也是可以.我們應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生鉆研探究知識(shí)的積極性，不宜加大學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，而應(yīng)該圍繞本課的復(fù)習(xí)重點(diǎn)展開教學(xué)活動(dòng).

例3九年級(jí)試卷講評(píng)課.

方法1：如圖9，可以通過(guò)證明DH上點(diǎn)D到AH和CH的距離相等來(lái)證明：過(guò)點(diǎn)D分別作DM⊥CH，DN⊥AH交HA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，通過(guò)證明三角形全等來(lái)證明DM=DN.

方法2：通過(guò)相似證明：如圖8，若∠DHC=∠AHD，則∠EHC=∠DHC，而∠HEC=∠HCD，所以可以通過(guò)證明△DCH∽△HCE來(lái)證.

方法3：如圖10構(gòu)造全等三角形證明，延長(zhǎng)HF至點(diǎn)G，使得AH=HG，因?yàn)椤螦HG=∠CHE=60°，所以△AHG為等邊三角形，易證△GAC≌△HAD，所以∠AHD=∠AGC=60°，所以∠CHD=∠AHD=60°.

點(diǎn)評(píng)：這位教師主要的問題把講解的重點(diǎn)放在學(xué)生不易懂的方法3和方法3上，而忽視了對(duì)學(xué)生能想到證明角相等的一般方法證明指導(dǎo).方法2和方法3雖然巧妙，但學(xué)生考試的時(shí)候不易想到，而方法1證明三角形的全等的困難應(yīng)該幫學(xué)生梳理清楚和重點(diǎn)講解，不能一帶而過(guò).方法 2和方法3我們應(yīng)從不同的角度來(lái)分析和處理問題方面給學(xué)生指導(dǎo)，所以可以略講，可以把方法2和方法3的具體的證明過(guò)程作為課后探究的內(nèi)容.

教學(xué)中應(yīng)該注意的幾個(gè)問題：

1.重解法種數(shù)，輕通法指導(dǎo)

有不少教師講解一道有多種解法的題時(shí)，往往挖空心思想它有多少種解法.卻不知學(xué)生在具體解題時(shí)只采用一種方法，所以我們應(yīng)當(dāng)圍繞符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律和結(jié)合學(xué)生知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)去把學(xué)生講懂.要讓學(xué)生會(huì)找方法，指導(dǎo)學(xué)生去根據(jù)題目中的已知條件圖形去尋找有用的信息，找到解決問題的突破口才是我們課上應(yīng)該重點(diǎn)花時(shí)間的地方.

2.重解法的列舉，輕解法總結(jié)

對(duì)于一題多解的題目，教師各種解法的講解后往往沒有必要的小結(jié)，特別是對(duì)各種解法的比較.只有對(duì)各種不同的解法進(jìn)行具體的分析和指導(dǎo)之后，才能讓學(xué)生在作業(yè)和考試過(guò)程中能快速找到最佳的解題途徑.

3.重解法的講解，輕學(xué)生對(duì)解法的領(lǐng)悟

課堂教學(xué)應(yīng)該讓學(xué)生說(shuō)出不同的解法，而不是只講自己課前準(zhǔn)備的解法，這樣學(xué)生聽課被你牽著鼻子走，但課堂效率往往不高.如果讓學(xué)生先思考后再回答，我們教師的講解應(yīng)該圍繞學(xué)生來(lái)展開，更何況有時(shí)學(xué)生的回答會(huì)有意想不到的妙法.教師通過(guò)學(xué)生的回答，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在分析解決問題中存在的共性問題，然后有針對(duì)性的講解才是提高學(xué)生解題能力的根本方法.

因此在平時(shí)的課堂教學(xué)中，教師要把握一題多解的“度”，要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平和能力水平來(lái)綜合考慮，千萬(wàn)不能只求多、求全浪費(fèi)課堂教學(xué)時(shí)間.一題多解，絕不僅僅是要訓(xùn)練學(xué)生的思維，更重要的是鞏固、消化、和復(fù)習(xí)所學(xué)知識(shí).鼓勵(lì)學(xué)生多思考解法，教師課前要充分備課，對(duì)個(gè)別學(xué)生的特殊解法應(yīng)根據(jù)情況，如確是巧解妙解，可以在課堂上講解，對(duì)于較繁、不易的方法宜個(gè)別指導(dǎo).例題的講解應(yīng)把重點(diǎn)放在指導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題方法的指導(dǎo)和小結(jié)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)取舍，能根據(jù)題目的具體特點(diǎn)合理選擇解題方法.只有這樣的例題講解才是有效的，能動(dòng)的，才能讓大多數(shù)學(xué)生學(xué)得輕松，走出題海.