維修時(shí)間受限的單部件系統(tǒng)幾何過(guò)程維修模型

王冠軍 張?jiān)?/p>

(東南大學(xué)數(shù)學(xué)系,南京 210096)

可靠性系統(tǒng)發(fā)生故障時(shí),通過(guò)維修可以恢復(fù)其工作狀態(tài).通常情況下,逐次維修后系統(tǒng)的性能會(huì)逐漸下降,最終老化不能使用.同樣由于系統(tǒng)老化,維修變得困難,維修時(shí)間越來(lái)越長(zhǎng).Lam[1-2]使用幾何過(guò)程維修模型來(lái)描述可靠性系統(tǒng)狀態(tài)隨故障次數(shù)增加逐漸衰減這一現(xiàn)象,并提出了故障次數(shù)N和總工作時(shí)間T兩種更換策略.Zhang[3]推廣了幾何過(guò)程模型,研究了二元更換策略(T,N).近10年來(lái),幾何過(guò)程維修的研究取得了很大進(jìn)展,如文獻(xiàn)[4-5]研究了系統(tǒng)在外部沖擊下的幾何過(guò)程維修模型,文獻(xiàn)[6-7]分別研究了幾何過(guò)程維修下的貯備系統(tǒng)的預(yù)防維修問(wèn)題和多狀態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)維修更換策略問(wèn)題,文獻(xiàn)[8]討論了具有2種故障的系統(tǒng)的最優(yōu)更換問(wèn)題.文獻(xiàn)[9]則對(duì)幾何過(guò)程近20年的研究和發(fā)展做了全面的介紹.

系統(tǒng)故障后,由于時(shí)間、經(jīng)濟(jì)等原因不能一直修下去,所以需要對(duì)維修時(shí)間進(jìn)行限制,超出這個(gè)時(shí)間時(shí)放棄維修,系統(tǒng)被更換.維修時(shí)間受限的維修模型較早由Nakagawa和Osaki[10]提出.Wang[11]對(duì)維修時(shí)間受限問(wèn)題研究進(jìn)行了綜述,介紹了退化系統(tǒng)下基于維修時(shí)間受限的幾個(gè)維修更換模型.Dohi 等[12]研究了不完全維修下的最優(yōu)維修時(shí)間受限閾值,并應(yīng)用Lorenz變換給出了閾值的非參數(shù)估計(jì).

本文提出了維修時(shí)間受限下的幾何過(guò)程維修模型.逐次維修時(shí)間隨機(jī)遞增,構(gòu)成幾何過(guò)程.當(dāng)維修時(shí)間超出給定閾值時(shí)放棄維修,系統(tǒng)被更換.系統(tǒng)維修次數(shù)達(dá)到N時(shí)不再維修,下一次發(fā)生故障時(shí)系統(tǒng)被更換.在這些假設(shè)下,研究了系統(tǒng)的一些可靠性指標(biāo)和維修更換策略問(wèn)題.利用一個(gè)數(shù)值例子對(duì)理論結(jié)果進(jìn)行了模擬,并分析了維修時(shí)間閾值對(duì)最優(yōu)策略的影響.

1 幾何過(guò)程的定義

下面給出幾何過(guò)程的定義:

定義1設(shè){Xn,n≥1}是一個(gè)獨(dú)立的非負(fù)隨機(jī)變量序列,如果Xn的分布函數(shù)為Fn(t)=F(an-1t),n=1,2,…,其中a>0為常數(shù),F(t)為一分布函數(shù),則稱{Xn,n≥1}為一個(gè)幾何過(guò)程,常數(shù)a稱為幾何過(guò)程的比率.

顯然,如果a>1,則幾何過(guò)程{Xn,n≥1}隨機(jī)遞減;如果0

2 模型假設(shè)

單部件系統(tǒng)中包含一個(gè)維修工,系統(tǒng)發(fā)生故障時(shí),由維修工對(duì)其進(jìn)行維修.對(duì)模型作如下假設(shè):

1) 系統(tǒng)逐次維修后工作時(shí)間序列{Xn,n≥1}隨機(jī)遞減,構(gòu)成遞減的幾何過(guò)程.記X1的分布函數(shù)為F(x),Xn的分布函數(shù)為Fn(x)=F(an-1x), 其中a>1,n=1,2,….數(shù)學(xué)期望E[X1]=λ,λ>0為常數(shù).

2) 首次維修時(shí)間Y1服從指數(shù)分布e(1/μ),μ>0為常數(shù).逐次維修時(shí)間序列{Yn,n≥1}構(gòu)成遞增幾何過(guò)程,即第n次維修時(shí)間Yn服從指數(shù)分布e(bn-1/μ),其中0

3) 維修時(shí)間的上限閾值為θ,θ>0為常數(shù).若維修時(shí)間達(dá)到θ還未修好,則不再繼續(xù)維修,更換新系統(tǒng).

4) 工作時(shí)間序列{Xn,n≥1}和維修時(shí)間序列{Yn,n≥1}是相互獨(dú)立的.

5) 系統(tǒng)維修N次之后不再維修,在發(fā)生第N+1次故障時(shí)被更換.

6) 系統(tǒng)的更換費(fèi)用為CR,系統(tǒng)的維修費(fèi)用CM(Y)是維修時(shí)間Y的線性函數(shù),即CM(Y)=C0+C1Y,其中,C0為基本維修費(fèi)用,C1為與時(shí)間有關(guān)的費(fèi)用率.

3 模型分析

本節(jié)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行中的一些變量進(jìn)行分析,并給出一些數(shù)量指標(biāo).

系統(tǒng)首次更換的時(shí)間記為τ1,第n次更換的時(shí)間記為τn,則更新時(shí)間序列{τn,n≥1}生成一個(gè)更新過(guò)程,τn-τn-1為更新過(guò)程的一個(gè)更新周期.在上述假設(shè)下,一個(gè)更新周期中系統(tǒng)的總工作時(shí)間可表示為

U(θ,N)=X1+X2I{Y1<θ}+

X3I{Y1<θ,Y2<θ}+…+

XN+1I{Y1<θ,…,YN<θ}

(1)

式中,I{·}為示性函數(shù).則一個(gè)更新周期中的平均工作時(shí)間為

E[U(θ,N)]=E[X1]+E[X2I{Y1<θ}]+…+

E[XN+1I{Y1<θ,…,YN<θ}]=

(2)

在一個(gè)更新周期中,系統(tǒng)的總維修時(shí)間可表示為

V(θ,N)=η1+η2I{Y1<θ}+

η3I{Y1<θ,Y2<θ}+…+

ηNI{Y1<θ,…,YN-1<θ}

(3)

其中,ηk=min{Yk,θ}.ηk的數(shù)學(xué)期望經(jīng)計(jì)算可得

(4)

于是平均維修時(shí)間為

E[V(θ,N)]=E[η1]+E[η2I{Y1<θ}]+…+

E[ηNI{Y1<θ,…,YN-1<θ}]=

(5)

用ξ(θ,N)表示一個(gè)更新周期中的維修次數(shù),則有

p(ξ(θ,N)≥1)=1

p(ξ(θ,N)≥k)=P(Y1<θ,Y2<θ,…,

Yk-1<θ)=G(θ)…G(bk-2θ)=

(6)

進(jìn)一步可以求得一個(gè)更新周期內(nèi)的平均維修次數(shù)為

(7)

由交替更新定理可得系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行平均可用度為

(8)

系統(tǒng)在一個(gè)更換周期中的故障次數(shù)記為δ(θ,N),顯然有δ(θ,N)=ξ(θ,N)+1.于是系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行單位工作時(shí)間平均故障頻度為

(9)

當(dāng)θ→+∞時(shí),極限平均可用度和極限平均故障頻度分別為

(10)

(11)

系統(tǒng)在一個(gè)更新周期中總的費(fèi)用為

w(θ,N)=(C0+C1η1)+(C0+

C1η2)I{Y1<θ}+…+(C0+

C1ηN)I{Y1<θ,…,YN-1<θ}+CR

(12)

一個(gè)更新周期中的維修次數(shù)ξ(θ,N)還可表示為

ξ(θ,N)=1+I{Y1<θ}+

I{Y1<θ,Y2<θ}+…+

I{Y1<θ,…,YN-1<θ}

(13)

因此,費(fèi)用W(θ,N)的表達(dá)式為

w(θ,N)=C0ξ(θ,N)+C1V(θ,N)+CR

(14)

于是一個(gè)更新周期中總平均費(fèi)用為

E[W(θ,N)]=C0E[ξ(θ,N)]+C1E[V(θ,N)]+CR=

(15)

由更新報(bào)酬定理[13]可得系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行平均費(fèi)用率為

(16)

當(dāng)θ→+∞時(shí)可得

(17)

這正是文獻(xiàn)[1]中策略N下系統(tǒng)平均費(fèi)用率的表達(dá)式.

4 數(shù)值例子

假定模型參數(shù)的取值分別為:λ=50,μ=10,a=1.05,b=0.9,θ=40,C0=30,C1=5,CR=500. 將上述參數(shù)值代入式(7)、(8)、(12),可算出在策略N下系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行平均費(fèi)用率函數(shù)C(θ,N)、平均可用度A(θ,N)和平均維修次數(shù)ξ(θ,N)的數(shù)值結(jié)果,如表1所示.可以看出,當(dāng)N=9時(shí)系統(tǒng)平均費(fèi)用率達(dá)到最小值2.856 6,所以N*=9是以平均運(yùn)行費(fèi)用率為優(yōu)化目標(biāo)時(shí)的最優(yōu)更換策略.此時(shí),系統(tǒng)平均可用度為0.763 4,一個(gè)更換周期中平均維修次數(shù)為7.445 0.從表1還可看出,隨著更換策略N的增加,平均可用度A(θ,N)逐漸降低,平均維修數(shù)ξ(θ,N)逐漸增大.

表1 平均費(fèi)用率函數(shù)、平均可用度和平均維修次數(shù)的數(shù)值結(jié)果

圖1和圖2分別給出了系統(tǒng)平均運(yùn)行費(fèi)用率和平均可用度關(guān)于更換策略N的曲線.這2條曲線與表1中的數(shù)值是相對(duì)應(yīng)的.從圖1和圖2中也可看出,當(dāng)N較大時(shí) (如N>20), 平均費(fèi)用率函數(shù)C(θ,N)和平均可用度A(θ,N)幾乎不再變化,這是由于在給定參數(shù)和維修時(shí)間限制下,當(dāng)N很大時(shí),系統(tǒng)很少是按計(jì)劃更換的,多數(shù)情況下系統(tǒng)是由于維修時(shí)間限制策略產(chǎn)生更換.本文對(duì)不同的N也計(jì)算了一個(gè)更換周期中的平均維修數(shù)ξ(θ,N),當(dāng)N很大時(shí),ξ(θ,N)變化甚微,這也表明更換行為由維修時(shí)間限制策略所主導(dǎo).

圖1 平均費(fèi)用率函數(shù)C(θ,N)關(guān)于N的曲線(θ=40)

圖2 平均可用度A(θ,N)關(guān)于N的曲線(θ=40)

表2給出了維修時(shí)間限制θ變化時(shí)系統(tǒng)的最優(yōu)更換策略和相應(yīng)的平均費(fèi)用率.從數(shù)值結(jié)果可看出,隨著閾值θ的減小,最優(yōu)策略N*的值逐漸增大.這是因?yàn)楫?dāng)閾值變小時(shí),根據(jù)給定維修策略系統(tǒng)更容易被更換掉,作為一種補(bǔ)償,當(dāng)維修時(shí)間不超過(guò)閾值時(shí),盡量多修幾次以平衡嚴(yán)苛的更換規(guī)則.

表2 不同維修時(shí)間閾值下的最優(yōu)更換策略和平均費(fèi)用率

5 結(jié)語(yǔ)

本文研究了一個(gè)維修時(shí)間受限的單部件系統(tǒng)的維修更換問(wèn)題,系統(tǒng)工作時(shí)間和維修時(shí)間分布分別服從遞減和遞增的幾何過(guò)程.對(duì)于給定的維修時(shí)間上限閾值,當(dāng)系統(tǒng)維修時(shí)間大于閾值時(shí),停止維修并且更換新系統(tǒng).通過(guò)模型分析,不僅給出了一些重要的可靠性指標(biāo),如系統(tǒng)平均可用度、平均故障頻度等,并且基于平均費(fèi)用率函數(shù)研究了系統(tǒng)的最優(yōu)維修更換策略.數(shù)值模擬表明在給定參數(shù)范圍內(nèi)存在唯一最優(yōu)策略.此外,隨著維修時(shí)間閾值的增大,最優(yōu)更換策略N*有減小的趨勢(shì).

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[1] Lam Y. Geometric processes and replacement problem [J].ActaMathematicaApplicandaeSinica, 1988,4(4): 366-377.

[2] Lam Y. A note on the optimal replacement problem [J].AdvancesinAppliedProbability, 1988,20(2): 479-482.

[3] Zhang Yuanlin. A bivariate optimal replacement policy for a repairable system [J].JournalofAppliedProbability, 1994,31(4):1123-1127.

[4] 王冠軍,張?jiān)?δ_沖擊模型及其最優(yōu)更換策略[J]. 東南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2001,31(5):121-124.

Wang Guanjun, Zhang Yuanlin.δ_shock model and the optimal replacement policy [J].JournalofSoutheastUniversity:NaturalScienceEdition, 2001,31(5):121-124. (in Chinese)

[5] 王冠軍,張?jiān)? 一般δ_沖擊模型及其最優(yōu)更換策略[J]. 運(yùn)籌學(xué)學(xué)報(bào), 2003, 7(3):75-82.

Wang Guanjun, Zhang Yuanlin. Generalδ_shock model and its optimal replacement policy [J].ORTransactions,2003,7(3):75-82. (in Chinese)

[6] Wang Guanjun, Zhang Yuanlin. A bivariate optimal replacement policy for a cold standby repairable system with preventive repair [J].AppliedMathematicsandComputation, 2011,218(7):3158-3165.

[7] Zhang Yuanlin, Wang Guanjun. An extended replacement policy for a deteriorating system with multi-failure modes [J].AppliedMathematicsandComputation, 2011,218(5): 1820-1830.

[8] Wang Guanjun, Zhang Yuanlin. Optimal repair-replacement policies for a system with two types of failures [J].EuropeanJournalofOperationalResearch, 2013,226(3): 500-506.

[9] Lam Y.Thegeometricprocessanditsapplications[M]. Singapore: World Scientific, 2007: 37-40.

[10] Nakagawa T, Osaki S. The optimum repair limit replacement policies [J].OperationalResearchQuarterly, 1974,25(2): 311-317.

[11] Wang H. A survey of maintenance policies of deteriorating systems [J].EuropeanJournalofOperationalResearch, 2002,139(3):249-489.

[12] Dohi T, Ashioka A. Replacement policy with imperfect repair: Lorenz transform approach [J].MathematicalandComputerModelling, 2003,38(11): 1169-1176.

[13] Ross S M.Stochasticprocesses[M]. New York: Wiley, 1996:132-140.