方向?qū)?shù)的解法分析與探索＊

章麗娜，唐榮榮

（湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州313000）

方向?qū)?shù)是研究多元函數(shù)性態(tài)的有效手段［1～3］，在自然科學(xué)的許多領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用［4～6］.許多實際問題的探討歸結(jié)到數(shù)學(xué)上，往往不但要考慮函數(shù)沿各個軸向的變化率即偏導(dǎo)數(shù)，還必須研究函數(shù)沿任意指定方向的變化率，即對指定方向的方向?qū)?shù).

在方向?qū)?shù)這部分內(nèi)容的教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)指定方向以某一曲線的切線正方向、內(nèi)法線方向以及外法線方向等形式給出時，學(xué)生屢屢因?qū)街械姆较蛳蛄勘磉_(dá)式把握不準(zhǔn)而造成計算失誤，且求解方向?qū)?shù)的方法比較單一.因此探討相關(guān)概念內(nèi)涵、解決問題的不同方法和途徑，提升學(xué)生的思維能力，提高解決問題的靈活性，是這部分內(nèi)容課堂教學(xué)中的重點.

1 問題的提出

對于方向?qū)?shù)，高等數(shù)學(xué)課本上的相關(guān)例題通常是直接利用方向?qū)?shù)的公式進(jìn)行計算［7］.一般來說，當(dāng)方向向量的坐標(biāo)已知時，利用公式直接計算的確方便.但在探討具體問題時，方向往往通過某些條件來給定，相應(yīng)的方向向量的坐標(biāo)需要根據(jù)條件來確定.這種情況下，直接利用公式進(jìn)行計算方向?qū)?shù)較容易出錯.如文獻(xiàn)［7］中有以下典型題目：

于是

法線斜率為：

故內(nèi)法線方向l＝（－b，－a）.于是由公式得到所求的方向?qū)?shù)為：

表面看來，此解答好像無誤，但仔細(xì)推敲，卻發(fā)現(xiàn)存在問題.事實上，在求方向?qū)?shù)的計算公式中，內(nèi)法線方向的坐標(biāo)表示是一個關(guān)鍵.從橢圓曲線的圖像容易知道，當(dāng)點P位于第一、三象限時，解法中的結(jié)論正確，此時l＝（－b，－a）；而當(dāng)點P位于第二、四象限時，解法中的結(jié)論錯誤，此時內(nèi)法線方向l應(yīng)為（b，a），因此所得的方向?qū)?shù)錯誤.那么問題究竟出在哪里？思考上述解答過程，不難發(fā)現(xiàn)以上求得的k僅僅是切線的斜率，因此相應(yīng)的k′僅是法線的斜率.斜率和方向向量確有關(guān)系，但當(dāng)時，內(nèi)法線的方向向量究竟是取（－b，－a）還是（b，a）？在上述解法中從直接將內(nèi)法線的方向向量取為（－b，－a），顯然缺少理論依據(jù).事實上這需要根據(jù)點P所在象限進(jìn)一步探討，因此以上從法線斜率切入，直接應(yīng)用方向?qū)?shù)公式進(jìn)行計算容易出錯.

2 問題的探討

怎樣避免上述錯誤的發(fā)生？從理論上說是要解決在點P處內(nèi)法線方向向量的確定問題.

2.1 利用向量值函數(shù)的導(dǎo)向量求方向?qū)?shù)

向量值函數(shù)及其導(dǎo)向量是學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的內(nèi)容，我們可利用這部分內(nèi)容來解決以上問題.

假設(shè)曲線Γ上的點

對應(yīng)的參數(shù)，θ＝θ0，則向量函數(shù)（θ）在點P處的切向量為＝（－.

注意到如下事實：曲線方程在向量形式下，其切向量總是指向參數(shù)增大的方向，且例中曲線Γ的內(nèi)法線l的方向向量為切向量逆時針旋轉(zhuǎn)角（見圖1）.由向量旋轉(zhuǎn)公式，將向量繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角θ，得到的向量

圖1 內(nèi)法線的方向向量與切向量的關(guān)系Fig. 1 The relationship between the direction vector of interior normal and the tangent vector.

因此切向量逆時針旋轉(zhuǎn)角得到的內(nèi)法向量為.又由條件知：

本方法利用向量值函數(shù)具有導(dǎo)向量總是指向參數(shù)增大方向的幾何特性，先求得曲線在點P處的切向量，再借助向量旋轉(zhuǎn)公式求得曲線在點P處的內(nèi)法線的方向向量.無論是切向量，還是內(nèi)法線方向向量，其方向都是唯一的.減少了利用切線斜率求解時還須借助曲線圖形，根據(jù)點P所在的象限分類探討切線的方向向量以及內(nèi)法線的方向向量這一過程，避免了因中間討論過程繁瑣而發(fā)生錯誤.特別使我們感興趣的是，以上給出的利用向量值函數(shù)的導(dǎo)向量來求方向?qū)?shù)的方法適用范圍更寬泛，因無需借助曲線圖形，所以對于更一般的曲線在定點處可順利求得指定方向的方向?qū)?shù).

2.2 利用函數(shù)在一點處的梯度求方向?qū)?shù)

回顧上述（1），我們利用向量值函數(shù)導(dǎo)向量的幾何特性給出了求定點處方向?qū)?shù)的方法，這種解法思路簡單，涉及的知識較淺顯，學(xué)生易于接受.但是采用的仍然是迂回戰(zhàn)術(shù)，即先對向量函數(shù)求導(dǎo)向量，再利用向量旋轉(zhuǎn)公式求內(nèi)法線的方向向量.仔細(xì)分析，這種方法雖然避免了按點P點所在的象限分類討論，但在求解的過程中仍有一個問題需要判定，即需要判定曲線隨著參數(shù)增加的方向，因為該方向確定了導(dǎo)向量的方向，從而確定了求內(nèi)法線方向時到底是由切向量逆時針旋轉(zhuǎn)角還是順時針旋轉(zhuǎn)角.為此我們給出如下一種求得方向?qū)?shù)更直接的方法.

由梯度定義知，如果函數(shù)f（x，y）在點P（x，y）可微＝（cosα，cosβ）是與方向l同向的單位向量，則其方向?qū)?shù)為：

這里▽f（x，y）＝（fx（x，y），fy（x，y））是函數(shù)z＝f（x，y）在點P（x，y）處的梯度，θ是梯度向量與方向l的夾角.由此不難得出如下結(jié)論：

函數(shù)f（x，y）在一點的梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的模為方向?qū)?shù)的最大值.

考慮曲面z＝f（x，y）上的曲線在xOy面上的投影曲線f（x，y）＝c，其中c為常數(shù)，于是得到了一族等值線.

易知，點P（x，y）處的法線的斜率為：

由梯度的定義可知，當(dāng)函數(shù)f（x，y）在點P處可微時，函數(shù)f（x，y）在點P的梯度的方向即過點P的等值線f（x，y）＝c在這點處的法線的方向向量，且從數(shù)值較低的等值線指向數(shù)值較高的等值線，而梯度的模就等于函數(shù)在這個方向的方向?qū)?shù)（見圖2）.因此，可利用函數(shù)在一點處的梯度方便地求得方向?qū)?shù).

圖2 梯度示意圖Fig. 2 The gradient diagram

本方法利用梯度的幾何解釋以及梯度和方向?qū)?shù)之間的聯(lián)系簡捷地求得了曲線在定點處的方向?qū)?shù).

綜上所述，筆者給出了文獻(xiàn)［2］之外的兩種求方向?qū)?shù)的方法.從以上探討，我們看到高等數(shù)學(xué)課程中概念和計算方法通常不是孤立的.在適當(dāng)?shù)那疤嵯?，從不同的切入點與應(yīng)用知識點之間的聯(lián)系往往能獲得解決問題的有效途徑，能鞏固和加深對知識的掌握，從而能靈活地解決問題.因此，在教學(xué)中深化概念內(nèi)涵、剖析知識點間的聯(lián)系、提煉方法是值得我們不斷探索的課堂教學(xué)環(huán)節(jié).

［1］沈永紅，高忠社.多元函數(shù)微分學(xué)中幾個基本概念之間的關(guān)系［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2009，12（2）：33－36.

［2］陳朝輝.利用方向?qū)?shù)探討多元函數(shù)的單調(diào)性與極值［J］.宜賓學(xué)院學(xué)報，2010，10（6）：23－25.

［3］邵琛，陳東彥.非光滑函數(shù)的凸性［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2002，32（1）：75－78.

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［5］余國林.方向?qū)?shù)和廣義錐——預(yù)不變凸集值優(yōu)化問題［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報，2011（5）：875－880.

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［7］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊）［M］.北京：高等教育出版社，2007：101－108.

［8］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南（下冊）［M］.北京：高等教育出版社，2007：65－66.