一維射影變換及其性質(zhì)

王 燕

王燕/鎮(zhèn)江高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校中學(xué)一級(jí)教師（江蘇鎮(zhèn)江212000）。

公元前200年左右，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中把二次曲線作為正圓錐面的截線來(lái)研究。公元4世紀(jì)，帕波斯在《數(shù)學(xué)匯編》中記載了射影幾何學(xué)的一些基本概念，如對(duì)合、非調(diào)和比（即交比）等，還得到“帕波斯定理”。文藝復(fù)興時(shí)期，意大利數(shù)學(xué)家阿爾貝蒂于1435年發(fā)表《論繪畫(huà)》一書(shū)，闡述了最早的數(shù)學(xué)透視法思想，他引入投影線和截景概念，提出在同一投影線下和景物的情況下，任意兩個(gè)截景間有何種數(shù)學(xué)關(guān)系或何種共同的數(shù)學(xué)性質(zhì)等問(wèn)題，這些問(wèn)題是射影幾何發(fā)展的起點(diǎn)。意大利學(xué)者、藝術(shù)巨匠達(dá)·芬奇 （1452－1519）在《繪畫(huà)專(zhuān)論》（1651年出版）中堅(jiān)信，數(shù)學(xué)的透視法可以將實(shí)物精確地體現(xiàn)在一幅畫(huà)中，它是繪畫(huà)的舵輪和準(zhǔn)繩。意大利另一位畫(huà)家、數(shù)學(xué)家弗蘭切斯卡約于1478年著有《透視畫(huà)法論》，推進(jìn)了阿爾貝蒂的投影線和截景的思想，把透視法的數(shù)學(xué)原理以相當(dāng)完整的形式表述出來(lái)。

17世紀(jì)數(shù)學(xué)家們重新研究古希臘的圓錐面截線問(wèn)題和文藝復(fù)興時(shí)期的透視法原理，積累了射影幾何的原始素材，同時(shí)開(kāi)始進(jìn)行系統(tǒng)的綜合整理工作。1604年德國(guó)天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開(kāi)普勒在 《天文學(xué)的光學(xué)部分》中提出平行線的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)概念。1636——1639年法國(guó)數(shù)學(xué)家德扎格先后出版《論透視截線》的小冊(cè)子和《圓錐曲線論稿》。德扎格論述了“德扎格定理”，即如果兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)，則它們對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)共線，反之亦然，這已成為射影幾何學(xué)的基本定理。法國(guó)數(shù)學(xué)家彭色列在復(fù)興射影幾何方面做出了杰出貢獻(xiàn)，他構(gòu)思的巨著《論圖形的射影性質(zhì)》是幾何學(xué)上的一個(gè)里程碑，給射影幾何的研究以巨大的動(dòng)力，開(kāi)創(chuàng)了射影幾何史上的黃金時(shí)代。同時(shí)以彭色列為首的一大批幾何學(xué)家的共同努力，迎來(lái)了19世紀(jì)射影幾何蓬勃發(fā)展的春天。射影幾何以其直觀優(yōu)美、宏偉深刻的新姿獨(dú)領(lǐng)風(fēng)騷，一朵頹萎了200多年的蓓蕾終于開(kāi)出了艷麗之花！

一、透視對(duì)應(yīng)(中心射影)

定義1.1以下三種對(duì)應(yīng)稱(chēng)為一維基本形的透視對(duì)應(yīng)

推論1.1

(1)透視對(duì)應(yīng)是兩個(gè)一維基本形之間的一個(gè)一一對(duì)應(yīng),保持任意四對(duì)對(duì)應(yīng)元素的交比不變.

(2)連續(xù)兩次透視對(duì)應(yīng)的結(jié)果顯然不一定仍是透視對(duì)應(yīng) .透視對(duì)應(yīng)不滿(mǎn)足“傳遞性”，所以透視對(duì)應(yīng)不是一維基本形之間的等價(jià)關(guān)系.

二、一維射影對(duì)應(yīng)的綜合法定義

1.Poncelet定義

設(shè)[π],[π']為兩個(gè)一維基本形.若存在n個(gè)一維基本形

[πi](i=1,2,…,n), 使得

則稱(chēng)由此決定的[π]到[π']的一一對(duì)應(yīng)為一個(gè)射影對(duì)應(yīng),記作

推論2.1

（1）透視對(duì)應(yīng)是射影對(duì)應(yīng)，反之不一定成立.

（2）射影對(duì)應(yīng)是一維基本形集合上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.

（3）射影對(duì)應(yīng)是雙射，且保持任意四對(duì)對(duì)應(yīng)元素的交比不變.

2.Steiner定義

如果兩個(gè)一維基本形之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)φ:[π]-〉[π']滿(mǎn)足

(1)φ為一個(gè)雙射；

(2)φ使得任意四對(duì)對(duì)應(yīng)元素的交比相等；

則稱(chēng) φ 為[π]到[π']的一個(gè)射影對(duì)應(yīng),記作[π]∧=[π']

定理2.1

Poncelet定義?Steiner定義.

定理2.2

兩個(gè)一維基本形間的射影對(duì)應(yīng)可由已知相異的三雙對(duì)應(yīng)元素唯一確定.

三、射影對(duì)應(yīng)成為透視對(duì)應(yīng)的條件

定理3.1

兩個(gè)同類(lèi)的一維基本形之間的射影對(duì)應(yīng)成為透視對(duì)應(yīng)?公共元素自對(duì)應(yīng).

定理3.2(Pappus定理)

在共面的相異二直線li上各取相異三點(diǎn)Ai,Bi,Ci(i=1,2).設(shè)

B1C2×B2C1=L

C1A2×C2A1=M，則 L，M，N 三點(diǎn)共線.

A1B2×A2B1=N

四、射影對(duì)應(yīng)的代數(shù)定義

定義4.1

設(shè)在兩個(gè)點(diǎn)列上各取定齊次坐標(biāo)系.稱(chēng)由非奇異線性對(duì)應(yīng)

決定的兩點(diǎn)列間的對(duì)應(yīng)為射影對(duì)應(yīng).其中(x1,x2)與(x1',x2')為任一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的齊次坐標(biāo),ρ為非零比例常數(shù).

定理4.1

代數(shù)定義?Steiner定義.

五、一維射影變換

1.定義5.1

兩個(gè)重疊的一維基本形之間的射影對(duì)應(yīng)稱(chēng)為一維射影變換.

2.代數(shù)表示

(1)坐標(biāo)表示

設(shè)φ稱(chēng)為一維基本形[π]上的一個(gè)射影變換，(x1,x2)與(x1',x2')為任一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的齊次坐標(biāo).則

其中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)于一維基本形[π]上的同一坐標(biāo)系取得的.

(2)參數(shù)表示

定義 形如 axx′+bx+cx′+d=0 (ad-bc≠0)的方程稱(chēng)為關(guān)于x,x'的雙線性方程.

定理5.1

一維基本形上的一個(gè)變換為射影變換?其對(duì)應(yīng)元素的參數(shù)λ,λ'滿(mǎn)足一個(gè)雙線性方程

3.一維射影變換的分類(lèi)

設(shè)有射影變換

若存在 λ0∈,使 aλ20+(b+c)λ0+d=0,則稱(chēng) A+λ0B 為 φ 的一個(gè)不變?cè)?

定理5.2

在實(shí)復(fù)射影平面上,任一個(gè)一維射影變換至少有一個(gè)不變?cè)?非恒同的一維射影變換至多有兩個(gè)相異的不變?cè)?證明.在(2.13)中,令λ=λ'.則有一維射影變換的不變?cè)匠?/p>

立刻可得結(jié)論.據(jù)此可得一維射影變換的分類(lèi)：

(1)雙曲型、橢圓型射影變換

定理5.3

對(duì)于雙曲、橢圓型射影變換,任一對(duì)相異的對(duì)應(yīng)元素與兩個(gè)不變?cè)氐慕槐葹槌?shù).稱(chēng)此為射影變換的特征不變量.

證明.設(shè)X,Y為兩個(gè)不變?cè)?P≠P'為任一對(duì)相異的對(duì)應(yīng)元.設(shè)X,Y,P,P'的坐標(biāo)依次為x,y,x+y,x+μy.則這四點(diǎn)的參數(shù)依次為0,∞,1,μ.于是

(2)拋物型射影變換

定理5.4

拋物型射影變換的不變?cè)獏?shù)α與任一對(duì)相異的對(duì)應(yīng)元素的參數(shù)λ,λ'滿(mǎn)足

[1]方德植,陳奕培.射影幾何[M].北京：高等教育出版社，1983

[2]周興和.高等幾何[M].北京：科學(xué)出版社，2003