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    MATLAB對(duì)靜電場(chǎng)等勢(shì)線的最小二乘描繪

    2013-12-24 06:39:48劉雅彬魯曉東
    大學(xué)物理實(shí)驗(yàn) 2013年2期
    關(guān)鍵詞:等勢(shì)線電場(chǎng)線靜電場(chǎng)

    劉雅彬,魯曉東

    (浙江海洋學(xué)院,浙江 舟山 316000)

    在靜電場(chǎng)描繪實(shí)驗(yàn)中,通常采用的方法是用一對(duì)電極產(chǎn)生的恒定電流模擬一對(duì)等量異種電荷產(chǎn)生的靜電場(chǎng)。直接測(cè)電流場(chǎng)有一定的困難,而借助電壓表可直接測(cè)出電場(chǎng)中的一系列等勢(shì)點(diǎn)進(jìn)而畫出等勢(shì)線,再根據(jù)等勢(shì)線和電場(chǎng)線正交關(guān)系便可直接畫出電場(chǎng)線[1-2]。由于在電勢(shì)的探測(cè)過(guò)程中,介質(zhì)分布的不穩(wěn)定性以及操作時(shí)探針的抖動(dòng)都會(huì)造成記錄點(diǎn)的不準(zhǔn),使手繪的等勢(shì)線具有較大的不確定度性,增大了電場(chǎng)線描繪畸變的可能性[3]。提高儀器的精度是解決問(wèn)題的一種方法,但效果往往不明顯,原因是流體介質(zhì)的穩(wěn)定性不好控制,操作時(shí)呈現(xiàn)出較大的隨機(jī)性,因此可以運(yùn)用最小二乘的方法去擬合這些點(diǎn)的曲線,使測(cè)量誤差得到最大的弱化。而使用MATLAB則可以直接利用它提供的優(yōu)化工具箱,簡(jiǎn)化編程過(guò)程,并使處理的結(jié)果能以圖形方式直觀地表達(dá)[4]。

    1 最小二乘曲線擬合原理

    實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常根據(jù)許多組觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)確定它們的函數(shù)曲線,這就是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中的曲線擬合問(wèn)題。曲線擬合的目的是就是要把數(shù)據(jù)點(diǎn)的固有規(guī)律表現(xiàn)出來(lái),但誤差的存在會(huì)使擬合產(chǎn)生一定程度的失真,所以必須考慮通過(guò)怎樣的途徑使誤差影響程度最小[5]。

    最小二乘準(zhǔn)則就是使實(shí)驗(yàn)值與擬合值的殘差平方和達(dá)到最小的條件下進(jìn)行函數(shù)參數(shù)的估計(jì)。不妨設(shè)數(shù)據(jù)(xi,yi),估計(jì)參數(shù)為(α,β),擬合的函數(shù)為y=Φ(x,α,β),最小二乘法就是使誤差yi-Φ(xi,α,β)的平方和最小,即

    實(shí)際上是使擬合的曲線與各數(shù)據(jù)點(diǎn)的距離最均勻,以此達(dá)到弱化誤差對(duì)結(jié)果的影響,達(dá)到優(yōu)化曲線的目的[6]。

    2 Matlab等勢(shì)線的描繪

    2.1 等勢(shì)點(diǎn)的輸入

    當(dāng)實(shí)驗(yàn)的等勢(shì)點(diǎn)數(shù)據(jù)記錄到坐標(biāo)紙后,必須把數(shù)據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)值(x,y)存儲(chǔ)到矩陣中以便于MATLAB的讀取及處理。為區(qū)分不同的等勢(shì)線或不同的等勢(shì)線采集的點(diǎn)數(shù)量可能不一樣,每條等勢(shì)線的采集點(diǎn)坐標(biāo)必須存儲(chǔ)到一個(gè)獨(dú)立的二維矩陣。

    2.2 等勢(shì)線的擬合

    MATLAB軟件提供了很多基于最小二乘準(zhǔn)則的曲線擬合函數(shù),若曲線形狀是確定的,則可以用Lsqcur vefit()。它是一個(gè)非線性最小二乘擬合函數(shù),本質(zhì)上是求解目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題。其使用典型格式為 [z,resnor m]= lsqcur vefit(f un,beta0,xdata,ydata)其中f un是要擬合的非線性函數(shù),簡(jiǎn)單的形式可以用inline函數(shù)進(jìn)行定義,如f(x,y)=a*sin(b*x+y),f=inline('a*sin(b*x+y)','a','b,'x','y')。如復(fù)雜可以寫成m文件,具體參考相關(guān)書籍[7];beta0是估計(jì)參數(shù)初始值,xdata,ydata是擬合點(diǎn)的數(shù)據(jù)即實(shí)驗(yàn)測(cè)得數(shù)據(jù),z是返回的系數(shù)矩陣,即擬合的曲線特性參數(shù),resnor m為殘差平方和[8]。

    對(duì)于曲線未定得的可用多項(xiàng)式最小二乘擬合,其命令是A=polyfit(x,y,m)其中x表示函數(shù)中的自變量矩陣,y表示因變量矩陣,A是輸出的系數(shù)矩陣,即多項(xiàng)式的系數(shù)。多項(xiàng)式在自變量x處的擬合值y可用以下命令計(jì)算:y=polyval(A,x),進(jìn)而算得擬合曲線的殘差平方和。

    3 應(yīng)用例子及效果分析

    圖1 手工描繪等勢(shì)點(diǎn)及電場(chǎng)線

    以同軸圓柱體水槽模型形成的模擬場(chǎng)為例,對(duì)其進(jìn)行處理。首先看由傳統(tǒng)方法描繪的靜電場(chǎng),各環(huán)分布不均勻圖1并且比較毛躁。由Matlab處理時(shí),則先根據(jù)模型得到擬合方程形式并寫為:這樣把坐標(biāo)輸入點(diǎn)(x,y)看作函數(shù)的自變量,而f(x,y)=0就是擬合值f(x,y,a,b,r)的目標(biāo)值,優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)就簡(jiǎn)化為 ∑[f(x,y,a,b,r)-0]2。當(dāng)把這些坐標(biāo)紙上的數(shù)據(jù)點(diǎn)轉(zhuǎn)存到matlab后,可直接調(diào)用函數(shù)Lsqcurvefit(),就得到擬合方程的估計(jì)參數(shù)(具體程序見附錄),方程的圖形化結(jié)果如圖2。為比較他們的準(zhǔn)確性,可以計(jì)算它們的百分差分布,其中理論值[9]的計(jì)算按(1)

    VA,a,b為實(shí)驗(yàn)所測(cè)量的值,r為點(diǎn)到圓心的距離,百分差計(jì)算結(jié)果如表1,可以看出最小二乘法比手工方法估計(jì)的參數(shù)更接近實(shí)驗(yàn)值。

    圖2 matlab等勢(shì)點(diǎn)描繪及電場(chǎng)線

    表1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

    4 結(jié) 論

    從示例中看出利用Matlab擬合靜電場(chǎng)的曲線非常方便,也適合其他實(shí)驗(yàn)曲線的擬合。使用時(shí)要注意的是Matlab提供的最小二乘工具都是在一定范圍內(nèi)尋找擬合函數(shù)的局部最優(yōu)解,所以一定要結(jié)合實(shí)驗(yàn)條件對(duì)搜索區(qū)間、初始值等加以約束,提高最佳參數(shù)的命中率和程序運(yùn)行速度。

    程序附錄:(擬合一個(gè)圓方程,其他等勢(shì)點(diǎn)與此類同)

    L1=[-0.95 0;-0.6 0.6;0 0.85;0.7 0.6;0.9 0;0.6-0.65;0-0.9;-0.6-0.65];%數(shù)據(jù)由坐標(biāo)紙上讀得

    plot(L1(:,1),L1(:,2),'o');grid on;%打印記錄點(diǎn)

    axis([-5,5,-5,5]);hol d on;%坐標(biāo)紙大小

    beta0=[0,0,1];%在圓心為(0,0),半徑為1附近搜索參數(shù)

    z=zeros(size(L1,1),1);

    %寫出擬合方程形式

    myf uncircle=inline('(L1(:,1)-beta(1)).^2+(L1(:,2)-beta(2)).^2-beta(3)^2','beta','L1');[beta,resnor m]=lsqcurvefit(myf uncircle,beta0,L1,z);%最小二乘擬合

    a=beta(1);b=beta(2);r=beta(3);%返回?cái)M合參數(shù)

    h=ezplot(@(x,y)(x-a)^2+(y-b)^2-r^2,[-5 5-5 5]);%打印擬合圓

    hold on;set(h,'Color','r','linestyle','--','linewidt h',2);

    [1]張雅男,徐飛,葉影.Matlab模擬靜電場(chǎng)與模擬靜電實(shí)驗(yàn)的比較[J].物理與工程,2008,18(2):35-37.

    [2]羅明海,韓亞萍,等.最小二乘法在伏安法測(cè)電阻實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn),2012,25(2):88-90.

    [3]馮君,呂軍.最小二乘法與作圖法在物理實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用研究[J].黑龍江大學(xué):自然科學(xué)版,1996,13(4):83-87.

    [4]葛一兵,王紀(jì)俊,卜敏.基于 MATLAB語(yǔ)言的靜電場(chǎng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn),2002,15(3):70-71.

    [5]陳敏.應(yīng)用Matlab擬合傳感器特征曲線[J].南京師范大學(xué)學(xué)報(bào):工程技術(shù)版,2003,3(1):45-49.

    [6]齊寶權(quán).采用中心化最小二乘法進(jìn)行測(cè)井曲線擬合[J].測(cè)井技術(shù),2007,31(4):331-334.

    [7]趙靜,但琦.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].3版.北京:高等教育出版社,2008.

    [8]王廣斌,劉義倫,金曉宏等.基于最小二乘原理的趨勢(shì)處理以及 Matlab的實(shí)現(xiàn)[J].有色設(shè)備,2005(4):4-7.

    [9]竺江峰,魯曉東,夏雪琴.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)[M].北京:中國(guó)水電水利出版社,2011.

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