高速高精度三軸并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)建模?

吳冬敏，芮延年，馬明智，沈 銘，張 攀，楊 業(yè)

（1.蘇州大學(xué)，江蘇 蘇州 215021；2.南京鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210015）

0 引言

并聯(lián)機(jī)器人屬于空間多環(huán)結(jié)構(gòu)，具有剛度大、承載能力強(qiáng)、精度高、自重負(fù)荷比小、動(dòng)力性能好和結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點(diǎn)，與串聯(lián)機(jī)器人形成互補(bǔ)關(guān)系，擴(kuò)大了機(jī)器人的應(yīng)用范圍［1］。目前并聯(lián)機(jī)器人已經(jīng)廣泛應(yīng)用于機(jī)械、食品、醫(yī)藥、電子、汽車(chē)等領(lǐng)域。隨著并聯(lián)機(jī)器人應(yīng)用領(lǐng)域的不斷擴(kuò)展，對(duì)并聯(lián)機(jī)器人的主要性能，如速度、精度和重復(fù)操作性的要求越來(lái)越高，要求工作時(shí)執(zhí)行機(jī)構(gòu)能以高速度和高點(diǎn)位精度來(lái)完成操作。

動(dòng)力學(xué)建模是并聯(lián)機(jī)器人性能分析和實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)控制的基礎(chǔ)。目前，動(dòng)力學(xué)建模方法有牛頓－歐拉法［2］、拉格朗日法［3］、高斯法、凱恩法［4］、虛功原理和微分幾何原理等。各種建模方法描述同一機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性時(shí)，彼此是等價(jià)的，其中拉格朗日法能以最簡(jiǎn)單的形式求取非常復(fù)雜的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，且具有顯式結(jié)構(gòu)。

本文以一種高速高精度三軸并聯(lián)機(jī)器人為研究對(duì)象，根據(jù)該并聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，采用拉格朗日法建立其動(dòng)力學(xué)模型，為設(shè)計(jì)最優(yōu)的控制器提供理論依據(jù)［5，6］。

1 高速高精度三軸并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)

高速高精度三軸并聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示。

由圖1可知，該并聯(lián)機(jī)器人由上平臺(tái)、下平臺(tái)和3條完全相同的運(yùn)動(dòng)支鏈構(gòu)成。其中上平臺(tái)為靜平臺(tái)，固定于機(jī)架上；下平臺(tái)為動(dòng)平臺(tái)，又稱(chēng)為并聯(lián)機(jī)器人末端執(zhí)行器；各條運(yùn)動(dòng)支鏈由主動(dòng)桿和從動(dòng)桿以球鉸鏈相連。主動(dòng)桿位于上平臺(tái)上，與伺服電機(jī)的輸出軸以轉(zhuǎn)動(dòng)副形式相連，在伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)下可在一定范圍內(nèi)擺動(dòng)；從動(dòng)桿和末端執(zhí)行器相連，從動(dòng)桿為輕質(zhì)細(xì)長(zhǎng)桿，通過(guò)控制伺服電機(jī)的位置和速度，可實(shí)現(xiàn)動(dòng)平臺(tái)在3個(gè)平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，因此該并聯(lián)機(jī)器人具有3個(gè)平動(dòng)自由度。由于該并聯(lián)機(jī)器人的從動(dòng)桿為輕質(zhì)細(xì)長(zhǎng)桿，減小了各支鏈慣性，因此該動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)態(tài)特性和定位精度都較高。相比于傳統(tǒng)的六自由度并聯(lián)機(jī)器人，這種少自由度并聯(lián)機(jī)器人還具有結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、制造和維護(hù)成本低、易于控制等優(yōu)勢(shì)。

圖1 高速高精度三軸并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

為方便描述，把上平臺(tái)與主動(dòng)桿、下平臺(tái)與從動(dòng)桿、主動(dòng)桿與從動(dòng)桿之間均看成是球面副連接。在并聯(lián)機(jī)器人的工作平面上建立了空間直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)系的單位為mm。記la1、la2、la3為主動(dòng)桿，lb1、lb2、lb3為從動(dòng)桿，3個(gè)主動(dòng)關(guān)節(jié)分別位于A1、A2、A3處，3個(gè)從動(dòng)關(guān)節(jié)分別位于B1、B2、B3處。3個(gè)主動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角記為qai，i＝1，2，3；3個(gè)從動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角分別記為qbi，i＝1，2，3。

2 高速高精度三軸并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)建模

由圖1分析可知，高速高精度三軸并聯(lián)機(jī)器人是由3個(gè)具有相同結(jié)構(gòu)的串聯(lián)機(jī)器人連接構(gòu)成，可以將并聯(lián)機(jī)器人分為3個(gè)結(jié)構(gòu)相同的串聯(lián)機(jī)器人。先建立每個(gè)串聯(lián)機(jī)器人的拉格朗日函數(shù)，然后將3個(gè)串聯(lián)機(jī)器人的拉格朗日函數(shù)相加，再加入閉鏈約束條件，最終得到并聯(lián)機(jī)器人的拉格朗日函數(shù)。

通過(guò)對(duì)3軸并聯(lián)機(jī)器人的切分可以得到單個(gè)串聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)，如圖2所示。由圖2可知，串聯(lián)機(jī)器人由2個(gè)關(guān)節(jié)和2個(gè)連桿組成。2個(gè)關(guān)節(jié)分別位于A、B點(diǎn)，其關(guān)節(jié)角度分別記為qa和qb。則該串聯(lián)機(jī)器人2個(gè)連桿的動(dòng)能Ta和Tb分別為：

其中：Ia、Ib分別為2個(gè)連桿相對(duì)于重心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；l為主動(dòng)桿和從動(dòng)桿長(zhǎng)度之和；ma、mb分別為2個(gè)連桿的質(zhì)量；ra為重心（xca，yca）到點(diǎn)A 的距離；rb為重心（xcb，ycb）到點(diǎn)B 的距離；（xca，yca）、（xcb，ycb）分別為2個(gè)連桿重心坐標(biāo)，其中xca＝racosqa，yca＝rasinqa，xcb＝lcosqa＋rbcosqb，ycb＝lsinqa＋rbsinqb。則兩連桿總的動(dòng)能為：

則兩連桿總的勢(shì)能為：

因此串聯(lián)機(jī)器人的拉格朗日函數(shù)為：

可將式（5）的拉格朗日函數(shù)簡(jiǎn)化為：

其中

則并聯(lián)機(jī)器人的拉格朗日函數(shù)就等于3條運(yùn)動(dòng)支鏈（3個(gè)串聯(lián)機(jī)器人）拉格朗日函數(shù)之和，即：

其中：Li（i＝1，2，3）為每條支鏈的拉格朗日函數(shù)。且有：

圖2 二自由度串聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)圖

記并聯(lián)機(jī)器人的關(guān)節(jié)廣義坐標(biāo)為q＝［qa1qa2qa3qb1qb2qb3］T，關(guān)節(jié)力／力矩向量為τ＝［τa1τa2τa3τb1τb2τb3］。將式（12）代入如下的Euler－Lagrange方程：

得到并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型為：

其中：M 為質(zhì)量矩陣；C 為阻尼矩陣；G 為重力矩陣。

其中：cabi＝cos（θai－θbi），sabi＝sin（θai－θbi），i＝1，2，3。 式（15）所得到的是3 軸并聯(lián)機(jī)器人的開(kāi)鏈動(dòng)力學(xué)模型，要得到完整的并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型，必須引入閉鏈約束項(xiàng)。加入閉鏈約束所引入的約束力ATλ，可以得到如下的并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型：

其中：ATλ 為加入約束條件后并聯(lián)機(jī)器人所引入的約束力，約束力的大小由λ決定。

并聯(lián)機(jī)器人的閉鏈約束方程為：

對(duì)式（17）求關(guān)于時(shí)間的微商，得到并聯(lián)機(jī)器人的速度約束條件為：

其中：速度約束矩陣A（q）為：

3 結(jié)論

（1）本文利用拉格朗日法對(duì)高速高精度三軸并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，首先將三軸并聯(lián)機(jī)器人虛擬切割成3個(gè)結(jié)構(gòu)相同的串聯(lián)機(jī)器人，建立各串聯(lián)機(jī)器人的拉格朗日函數(shù)方程。由于3個(gè)串聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)完全相同，將各串聯(lián)機(jī)器人的拉格朗日函數(shù)相加得到并聯(lián)機(jī)器人的開(kāi)鏈動(dòng)力學(xué)模型，然后加入閉鏈約束條件，最終得到完整的并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型。

（2）從三軸并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型可以看出，該動(dòng)力學(xué)模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、計(jì)算高效，方便后續(xù)并聯(lián)機(jī)器人性能分析和實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)控制，也可為其他空間并聯(lián)機(jī)器人的建模提供參考。

［1］ 李艷，王勇，陳正洪，等.并聯(lián)機(jī)器人智能控制研究現(xiàn)狀［J］.機(jī)床與液壓，2008（12）：180－183.

［2］ 孔令富，張世輝，肖文輝，等.基于牛頓－歐拉方法的6－PUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛體動(dòng)力學(xué)模型［J］.機(jī)器人，2004，26（5）：395－399.

［3］ 黃真，孔令富，方躍法.并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)理論及控制［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1997.

［4］ 張國(guó)偉，宋偉剛.并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的Kane方法［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2004，16（7）：1386－1391.

［5］ 蔡自興.機(jī)器人學(xué)［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2000.

［6］ 黃真.空間機(jī)構(gòu)學(xué)［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1991.