一類“浮力-壓塊”驅(qū)動(dòng)飛艇建模及控制

鄔依林，劉林東，劉 嶼

1)廣東第二師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)系，廣州510310;2)華南理工大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與工程學(xué)院，廣州510640

相比傳統(tǒng)HTA (heavier-than-air)航空器，飛艇屬于LTA (lighter-than-air)類航空器，它由輕于空氣的氣體提供升力并停留在高空，其獨(dú)具的特性給飛艇帶來諸如懸空時(shí)間長、有效負(fù)荷比高和燃油消耗低等巨大優(yōu)勢. 因此，自治飛艇在信息、空間開發(fā)、軍事、運(yùn)輸和監(jiān)控等領(lǐng)域具有廣泛尚未完全開發(fā)的應(yīng)用前景，自20 世紀(jì)90 年代已再次成為世界各國特別是發(fā)達(dá)國家爭奪的空間資源，并相繼投入巨資進(jìn)行研發(fā)［1-3］.

本文研究一類全新飛艇，即“浮力-壓塊”驅(qū)動(dòng)飛艇的建模及控制器設(shè)計(jì). 該類飛艇與傳統(tǒng)飛艇在結(jié)構(gòu)上存在以下區(qū)別:一是其將不再配有推進(jìn)器;二是飛艇裝備有壓塊，且壓塊可在機(jī)體內(nèi)運(yùn)動(dòng). 其顯著特點(diǎn)是飛行所需驅(qū)動(dòng)力不再由推進(jìn)器提供，而由壓塊運(yùn)動(dòng)和氣囊充放氣耦合作用提供，同時(shí)壓塊也可控制飛艇姿態(tài).

文獻(xiàn)［1-2］直接利用勢流理論和Kirchhoff 方程經(jīng)典結(jié)論研究飛艇動(dòng)力學(xué)模型;文獻(xiàn)［4-6］給出飛艇建模及控制研究. 但這兩類模型都未考慮升降氣囊和壓塊的存在. 文獻(xiàn)［7］沒有真正將氣囊從機(jī)體中分離出來，難以實(shí)現(xiàn)壓塊和氣囊的獨(dú)立運(yùn)動(dòng).

本研究采用Kirchhoff 方程和Newton-Euler 理論建立包括獨(dú)立氣囊和可運(yùn)動(dòng)壓塊的6 自由度非線性模型. 通過設(shè)計(jì)反饋線性化控制器和線性二次型調(diào)節(jié)器 (linear quadratic regulator，LQR)最優(yōu)控制器，分析“浮力-壓塊”驅(qū)動(dòng)飛艇的平衡航跡鎮(zhèn)定和期望輸出跟蹤. 在飛艇模型中，給出氣囊和壓塊的獨(dú)立動(dòng)力學(xué)方程，實(shí)現(xiàn)“浮力-壓塊”驅(qū)動(dòng)飛艇研究. 建立該類模型對(duì)飛艇發(fā)展具有重要意義.

1 飛艇受力分析及動(dòng)力學(xué)建模

本研究認(rèn)為基于假設(shè)合理:①飛艇體積中心與浮力中心重合;②視飛艇為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)稱的橢圓形剛體. 這是目前國內(nèi)研究普遍采用的簡化方法［1，2，4，6］.

1.1 運(yùn)動(dòng)機(jī)理

“浮力-壓塊”驅(qū)動(dòng)飛艇運(yùn)動(dòng)機(jī)理為:當(dāng)氣囊放氣后，飛艇質(zhì)量減輕，凈升力(空氣升力與飛艇質(zhì)量之差)變?yōu)檎?向上)，且壓塊向機(jī)尾移動(dòng)改變其姿態(tài)，從而改變氣動(dòng)力方向，最終飛艇將以航跡角ξ 向右斜上方飛行;與此相反，當(dāng)氣囊充氣后，凈升力變?yōu)樨?fù)(向下)，且壓塊向機(jī)頭運(yùn)動(dòng)改變氣動(dòng)力方向，最終飛艇以航跡角ξ 向右斜下方飛行. 如此反復(fù)的氣囊充放氣和壓塊前后運(yùn)動(dòng)，將使飛艇以“鋸齒”形軌跡前行，如圖1.

圖1 飛艇“鋸齒”飛行路徑Fig.1 Sawtooth flight of airship

1.2 坐標(biāo)系定義及運(yùn)動(dòng)學(xué)

如圖2，機(jī)體系{Oe1e2e3}建立在飛艇浮力中心，其中，e1、e2和e3分別為機(jī)體系3 個(gè)軸向的單位向量;慣性系{oijk}建立在地球表面某點(diǎn)，其中，i、j 和k 分別為慣性系3 個(gè)軸向的單位向量.

圖2 飛艇結(jié)構(gòu)和坐標(biāo)系Fig.2 Structure and coordinate of airship

設(shè)b = ［b1，b2，b3］T∈?3為飛艇在慣性系中的位置矢量，R ∈SO(3)為飛艇相對(duì)慣性系的姿態(tài)，?3為歐氏空間，SO(3)為Lie 群空間，其中R 可由飛艇RPY 角(即滾轉(zhuǎn)角φ、俯仰角θ 和偏航角ψ)表示. 則飛艇運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為［7-8］

1.3 總外力FΣ 和總外力矩MΣ

在機(jī)體系中，飛艇所受總外力FΣ和總外力矩MΣ可表示為［1-2］

其中，Rab為速度坐標(biāo)系與機(jī)體系之間的轉(zhuǎn)換矩陣，其他各元素的意義和計(jì)算如下.

1.3.1 附加力FI和附加力矩MI

與傳統(tǒng)飛行器相比，飛艇具有很大體積質(zhì)量比，當(dāng)飛艇在空氣中運(yùn)動(dòng)時(shí)，周圍空氣對(duì)于飛艇來說為重流體，其附加量Md不能忽略. 文獻(xiàn)［7-8］給出Md計(jì)算方法為

其中，廣義力的物理量Mf= diag［Mf1，Mf2，Mf3］和Jf= diag［Jf1，Jf2，Jf3］分別為附加質(zhì)量和附加慣性.流體擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量E 和動(dòng)量矩K 可表示為

因此，在機(jī)體系中，附加力FI和附加力矩MI為

1.3.2 氣動(dòng)力FA和氣動(dòng)力矩MA

空氣中飛行器表面分布?xì)鈩?dòng)壓力. 飛艇表面氣動(dòng)壓力可歸并為作用于飛艇質(zhì)心的一個(gè)合力矢量FA和一個(gè)合力矩矢量MA

其中，阻力Xa、側(cè)力Ya和升力Za分別為FA在速度坐標(biāo)系上的分量;滾轉(zhuǎn)力矩La、俯仰力矩Ma和偏航力矩Na分別為MA在機(jī)體坐標(biāo)系上的分量;Q=0.5ρV2為動(dòng)壓，ρ 為空氣密度;Λ 為飛艇體積. 受文獻(xiàn)［5］啟發(fā)，式(6)中系數(shù)CX、CY、CZ、Cl、Cm和Cn的計(jì)算模型可構(gòu)造為

其中，CX0、CY0、CZ0、Cl0、Cm0和Cn0為平衡條件下的氣動(dòng)力系數(shù);其他C(·)均為氣動(dòng)導(dǎo)數(shù);α 和β 分別為飛艇的迎角和側(cè)滑角;uδ= ［uδea，uδed，uδra，uδrd］=［δel+δer，δel-δer，δrb+δrt，δrb-δrt］為升降舵和方向舵控制量，δrt和δrb為上下方向舵偏角，δel和δer為左右升降舵偏角.

1.3.3 凈升力Fn和凈升力矩Mn

若飛艇所受浮力由其體積排開的空氣產(chǎn)生，則飛艇的凈升力Fn為

其中，mw= ρΛ;mh= mj+mq+my，mj、mq和my分別為機(jī)體、氣囊和壓塊的質(zhì)量;g 為重力加速度.

質(zhì)量mj均勻分布，質(zhì)量mq和升力mwgk 都位于機(jī)體系圓心，因此mj、mq和mwgk 均不產(chǎn)生力矩. 若設(shè)ry= ［ry1，ry2，ry3］T為壓塊在機(jī)體系中的位置向量，則飛艇所受的凈升力矩Mn為

1.4 壓塊動(dòng)力學(xué)

在機(jī)體系，設(shè)壓塊動(dòng)量Гy= ［Гy1，Гy2，Гy3］T，根據(jù)機(jī)體系與慣性系的關(guān)系可得

其中，vy為壓塊絕對(duì)速度.

1.5 飛艇總動(dòng)量Г 和總動(dòng)量矩Π

設(shè)飛艇中不可運(yùn)動(dòng)質(zhì)量ms= mj+ mq，壓塊my則視為可運(yùn)動(dòng)質(zhì)量

其中，Jj為機(jī)體質(zhì)量mj在機(jī)體系的慣性矩陣.

1.6 控制輸入

若以作用在飛艇上的力為控制輸入，包括壓塊運(yùn)動(dòng)控制輸入uy= ［uy1，uy2，uy3］T、氣囊充放氣控制輸入ub以及方向舵和升降舵的控制輸入uδ，則定義控制輸入為

1.7 模型

對(duì)式(11)求導(dǎo)，可得與式(2)形式不同的FΣ和MΣ的另一種表述方式

通過綜合式(2)和式(13)可得

其中，M = Mf+msI3= diag［M1，M2，M3］;J = Jf+Jj= diag［J1，J2，J3］;I3為3 ×3 階單位矩陣.

結(jié)合式(1)、(10)、(12)和(14)，即可得“浮力-壓塊”驅(qū)動(dòng)飛艇6 自由度非線性模型

2 縱向平面運(yùn)動(dòng)方程

2.1 縱向模型

當(dāng)飛艇運(yùn)動(dòng)被限制在縱向平面時(shí)，則有ψ = φ= v = b2= p = r = ry2= Γy2= uy2= 0，由式(15)可得飛艇縱向平面運(yùn)動(dòng)模型［8-9］

若令Γry= ry1Γy1+ ry3Γy3，M31= M3- M1，則

2.2 非線性反饋模型

為得到有效的飛艇動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)式(16)實(shí)施狀態(tài)量和控制量的非線性反饋?zhàn)儞Q，通過變換將內(nèi)部壓塊控制量由作用力轉(zhuǎn)換為其運(yùn)動(dòng)加速度，將氣囊控制量由充放氣率轉(zhuǎn)換為充放氣加速度. 由式(16)中的第3 和4 行得

式(18)中，只要my、M1或M3不全為零，式中CD即可逆. 將反饋控制律式(18)帶入式(16)得

若令Ub為氣囊充放氣的加速度，即

由式(19)和式(20)構(gòu)成一個(gè)完整的、經(jīng)過非線性反饋?zhàn)儞Q后的飛艇縱向平面模型.

2.3 線性化模型

類似文獻(xiàn)［2，9］研究方法，采用小擾動(dòng)理論將飛艇縱向模型式(16)線性化，其線性化結(jié)果可直接引用文獻(xiàn)［8］中式(26)，得

其中，xl= ［u，w，q，θ］T;ul= ［uy1，uy3，mn，uδea］T;ε = 0.5ρV0Λ2/3;? = 0.5ρV0Λ;al1= ε(CX0+CZ1);al2= (M1+ my)V0M;al3= (M3- M1)V0+?Cm1;al4= mygry30.

3 平衡航跡

通過給定期望航跡角ξe和期望飛行速度Ve設(shè)計(jì)飛艇的平衡航跡［3，9］. 本文設(shè)凡帶有下標(biāo)“e”的變量均為飛艇平衡航行時(shí)的變量值，通過令式(16)等號(hào)左邊為零，解得這些變量值，具體求解詳見文獻(xiàn)［3］. 圖3 為給定平衡航跡示意圖. 航跡具有4 個(gè)平衡航跡段和3 個(gè)轉(zhuǎn)換航跡段，每個(gè)平衡航跡段的航跡角ξe為20°、-20°、30°和-30°，其平衡飛行參數(shù)見表1.

圖3 平衡航跡示意圖Fig.3 Equilibrium flight path

表1 平衡飛行參數(shù)［3］Table1 Parameters of equilibrium flight［3］

4 控制器設(shè)計(jì)

4.1 反饋線性化控制器

利用最小相位系統(tǒng)特性，選擇適當(dāng)?shù)南到y(tǒng)輸出yo，設(shè)計(jì)控制律對(duì)非線性系統(tǒng)式(19)和式(20)實(shí)施多輸入多輸出(multi-input multi-output，MIMO)反饋線性化變換，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的跟蹤.

若定義

則MIMO 線性化飛艇控制系統(tǒng)可設(shè)計(jì)為

其中，κ 為非線性向量場，其元素由式(19)和(20)構(gòu)成，且

對(duì)系統(tǒng)式(23)，當(dāng)給定ry1e、ry3e和mqe時(shí)，若系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，則意味xl= xle、η = 0 和Ul=0，因此，控制系統(tǒng)的零動(dòng)態(tài)可表示為

定理 對(duì)于任意給定的xle，反饋線性化動(dòng)態(tài)控制系統(tǒng)式(23)都是一個(gè)局部指數(shù)穩(wěn)定的零動(dòng)態(tài)式(24). 若取Ul=?η，則A +B? 為霍爾維茨(Hurwitz)矩陣，(xl，η)= (xle，0)為閉環(huán)動(dòng)態(tài)的一個(gè)局部指數(shù)穩(wěn)定平衡點(diǎn).

【證】在(xle，0)點(diǎn)，反饋線性化控制系統(tǒng)式(23)的雅克比矩陣為

式(25)為上三角形矩陣，A + B? 為Hurwitz 矩陣，(?κ/?xl)e和A + B? 的特征值為飛艇閉環(huán)控制系統(tǒng)的特征值，按照上述定理假設(shè)，(xle，0)就是閉環(huán)動(dòng)態(tài)的一個(gè)局部指數(shù)穩(wěn)定平衡點(diǎn). 證畢.

若選擇比例微分(proportional-derivative，PD)控制器作為飛艇系統(tǒng)的壓塊和氣囊輸入控制律，對(duì)角矩陣?(·)為比例微分常數(shù)，η(·)為矩陣η 的元素. 則

4.2 LQR 最優(yōu)控制器

以狀態(tài)空間形式給出的飛艇線性系統(tǒng)式(21)，可通過設(shè)計(jì)LQR 得到狀態(tài)線性反饋的最優(yōu)控制律，構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制，其目標(biāo)函數(shù)可由對(duì)象狀態(tài)和控制輸入的二次型函數(shù)構(gòu)成

其中，半正定實(shí)對(duì)稱矩陣Ql為控制目標(biāo)加權(quán)矩陣，正定實(shí)對(duì)稱矩陣Rl為輸入控制加權(quán)矩陣. 其相應(yīng)控制律為

其中，反饋增益矩陣Kl由Matlab 求解黎卡提方程(Riccati equation)得到.

5 仿真研究

基于飛艇動(dòng)力學(xué)模型和上述設(shè)計(jì)的控制器，結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)飛艇的平衡航跡鎮(zhèn)定與期望輸出跟蹤進(jìn)行驗(yàn)證. 飛艇和仿真的相關(guān)參數(shù)為:g = 9.8 m/s2，ρ=1.29 kg/m-3，my=100 kg，mj=385 kg，Λ=500 m3，ry3=3 m，V0=4 m/s，CX1=10CX0=-2.461，CZ1=2CY1= -9.844，Cl1=Cm1= -Cn1=-1.55，Mf1=Mf2=Mf3=1.25 ×103kg，Jf1=Jf2=Jf3=1.5 ×103kg·m2，CZ0=Cl0=Cm0=Cn0=0，CZδ=Cmδ= -0.587 6，Cnδ=Clδ=CYδ= -0.391 7.

5.1 反饋線性化控制器仿真

圖4 和圖5 給出PD 參數(shù)?(·)= 1 時(shí)的飛艇平衡航跡鎮(zhèn)定和期望航跡跟蹤的驗(yàn)證結(jié)果，B-B 指ballast and ballonet.

因仿真結(jié)果圖4 和圖5 中各變量都能很好收斂到表1 對(duì)應(yīng)的平衡值，所以飛艇在經(jīng)過某一轉(zhuǎn)換飛行段后都能準(zhǔn)確平穩(wěn)的進(jìn)入下一平衡飛行段，同時(shí)各變量在轉(zhuǎn)換飛行時(shí)間段內(nèi)也能匹配好下一段飛行所需的參數(shù)值，即該控制器實(shí)現(xiàn)了平衡航跡的鎮(zhèn)定.

圖4 飛艇在反饋線性化控制作用下壓塊和氣囊運(yùn)動(dòng)過程Fig.4 Airship movement of B-B with feedback linear control

圖5 飛艇在反饋線性化控制作用下過渡曲線圖Fig.5 Airship transition curves with feedback linear control

最小相位系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定可推廣到漸進(jìn)跟蹤，要求受控飛艇能夠跟蹤期望的輸出軌跡，即要求該控制器能使式(22)中yo=0，由仿真結(jié)果圖4 和表1 可知，該控制器實(shí)現(xiàn)了壓塊和氣囊的調(diào)整過程對(duì)期望值的精確跟蹤.

5.2 LQR 最優(yōu)控制器仿真

當(dāng)壓塊(或氣囊)需從某一位置(或狀態(tài))運(yùn)動(dòng)到新位置(或新狀態(tài)) ，取 為 和 的中點(diǎn)，那么壓塊(或氣囊)運(yùn)動(dòng)策略為:從 到 是以加速度為 的勻加速運(yùn)動(dòng)，從 到 是以加速度為 的勻減速運(yùn)動(dòng)，這樣設(shè)計(jì)可盡量降低壓塊(或氣囊)運(yùn)動(dòng)給飛艇帶來的動(dòng)量沖擊并設(shè)tz為整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程所需的時(shí)間.

基于變量最大值、壓塊和氣囊的運(yùn)動(dòng)速度以及俯仰角等因素考慮，此處選擇Ql= diag［1，0.5，2，2，1，1，0.1，0.1，1，0.5］和Rl= diag［1，1，1］，tz= 10 s，選擇期望平衡航跡為表1 和圖3 中的“上航(3)”. 需特別注明，因LQR 為線性控制器，因此希望其初始航跡(即初始條件)在期望航跡附近，此處選取“上航(1)”為飛艇初始平衡航跡.

圖6 飛艇在LQR 控制作用下過渡曲線圖Fig.6 Airship transition curves with LQR control

圖7 飛艇在LQR 控制作用下壓塊和氣囊運(yùn)動(dòng)過程Fig.7 Airship movement of B-B with LQR control

圖8 飛艇航跡Fig.8 Airship flight path

由仿真結(jié)果圖6 ～圖8 和表1 可知，當(dāng)飛艇沿初始平衡航跡飛行50 s 后，轉(zhuǎn)向期望航跡飛行，圖中各變量最終都很好的收斂于表1 中“上航(3)”所要求的平衡值，雖然在壓塊和氣囊調(diào)整后的約100 s 內(nèi)，飛艇實(shí)際飛行航跡略有偏離期望航跡，但偏離誤差隨時(shí)間越來越小，最終能完全與期望航跡重合，同樣實(shí)現(xiàn)平衡航跡的鎮(zhèn)定. 仿真結(jié)果驗(yàn)證了最優(yōu)控制器LQR 對(duì)飛艇系統(tǒng)的有效性及魯棒性.

結(jié) 語

研究一類“壓塊-氣囊”驅(qū)動(dòng)飛艇的動(dòng)力學(xué)6自由度數(shù)學(xué)模型及控制器設(shè)計(jì). 通過將飛艇運(yùn)動(dòng)限制在縱向平面得到飛艇縱向平面模型，并對(duì)其分別實(shí)施非線性反饋?zhàn)儞Q和小擾動(dòng)線性化處理，得到控制量為加速度的飛艇模型和線性化模型，從而實(shí)現(xiàn)約束力與懸架系統(tǒng)的關(guān)聯(lián). 所設(shè)計(jì)反饋線性化控制器和LQR 最優(yōu)控制器，分別實(shí)現(xiàn)飛艇系統(tǒng)的多輸入多輸出反饋線性化和狀態(tài)線性反饋?zhàn)顑?yōu)控制. 通過仿真驗(yàn)證飛艇“鋸齒”形航跡的可實(shí)現(xiàn)性、反饋控制器對(duì)平衡航跡鎮(zhèn)定和期望輸出跟蹤的實(shí)現(xiàn)、以及控制器的有效性和魯棒性.

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