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    數(shù)控插齒機(jī)床身三維拓?fù)鋬?yōu)化研究

    2013-12-23 05:18:04田啟華杜義賢
    關(guān)鍵詞:柔度床身重構(gòu)

    陶 然 田啟華,2 杜義賢,2

    (1.三峽大學(xué)機(jī)械與材料學(xué)院,湖北宜昌 443002;2.水電機(jī)械設(shè)備設(shè)計(jì)與維護(hù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(三峽大學(xué)),湖北宜昌 443002)

    連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)作為十分活躍的研究領(lǐng)域已經(jīng)獲得了廣泛的關(guān)注[1],尤其是對二維問題的關(guān)注比較多,但實(shí)際工程中會(huì)遇到很多空間問題,與二維問題相比較,三維連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)具有較大難度,針對三維連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問題的研究也較少.因此進(jìn)行三維結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)研究是十分必要的.目前,關(guān)于三維結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化的研究尚處在起步階段.葉紅玲、隋允康等基于ICM 方法對三維連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法進(jìn)行了研究[2];亢戰(zhàn)、張池對考慮回轉(zhuǎn)性能的三維結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究[3],從上述研究結(jié)論中可以得知三維結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化理論具有較大的發(fā)展空間,并且具有廣闊的工程應(yīng)用前景.

    因此,本文基于工程實(shí)際應(yīng)用,以YKS5120B-3數(shù)控插齒機(jī)床身[4]為研究對象,基于固體各向同性材料插值方法SIMP(solid isotropic material with pe-nalization)構(gòu)建以數(shù)控插齒機(jī)床身柔度最小為優(yōu)化目標(biāo)的三維結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型,以三維有限單元的相對密度為設(shè)計(jì)變量,采用優(yōu)化準(zhǔn)則法進(jìn)行設(shè)計(jì)變量的迭代更新,通過在載荷作用下床身結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),得到床身材料在設(shè)計(jì)域內(nèi)的最優(yōu)分布,然后根據(jù)材料的最優(yōu)分布重構(gòu)床身模型,并對原結(jié)構(gòu)模型和重構(gòu)模型進(jìn)行靜力學(xué)分析比較,驗(yàn)證了床身三維結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型的正確性和有效性.

    1 三維結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化

    1.1 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

    本文以床身結(jié)構(gòu)的整體柔度最小為優(yōu)化目標(biāo),以三維有限單元的相對密度為設(shè)計(jì)變量,以結(jié)構(gòu)的體積比和力學(xué)控制方程為約束條件,基于SIMP 方法,建立如下的三維結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型

    式中,c(x)為結(jié)構(gòu)的柔度,U 和F 分別表示結(jié)構(gòu)整體位移矩陣和載荷矩陣,K 為結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣,ue為單元的位移矩陣,k0為初始的單元?jiǎng)偠染仃?,?yōu)化模型中的設(shè)計(jì)變量為單元的相對密度x={x1,x2…,xN}T,xmin和xmax分別為單元相對密度的最小極限值和最大極限值,N 為離散設(shè)計(jì)域中的單元數(shù)目,V(x)和V0分別表示優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)體積和整個(gè)設(shè)計(jì)域的初始體積,f 為優(yōu)化前后的體積比.

    1.2 敏度分析及過濾方法

    和二維問題一樣,敏度分析是三維結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù),都反映了設(shè)計(jì)變量的改變對結(jié)構(gòu)響應(yīng)特性變化率的影響,對于優(yōu)化模型的收斂與否起著決定性作用;不同的是,三維結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化采用的是空間球體域作為過濾范圍,而二維問題中采用的是平面圓形域.結(jié)構(gòu)的敏度是指目標(biāo)函數(shù)對設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù),本文的優(yōu)化模型(1)中,連續(xù)體結(jié)構(gòu)的柔度c(x)對單元相對密度xe的敏度為

    根據(jù)有限元平衡方程KU=F,兩邊同時(shí)對設(shè)計(jì)變量求偏導(dǎo),整理得

    將式(3)代入式(2),根據(jù)材料密度插值模型,整理得結(jié)構(gòu)敏度的表達(dá)式為

    在拓?fù)鋬?yōu)化過程中,普遍存在棋盤格和網(wǎng)格依賴性等數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象.本文采用Sigmund提出的過濾法求解技術(shù)[5]來避免數(shù)值不穩(wěn)定性.三維拓?fù)鋬?yōu)化問題敏度過濾技術(shù)的實(shí)質(zhì)是利用空間球體域內(nèi)所有單元的敏度信息修正中心單元的敏度信息,即采用空間球過濾半徑范圍內(nèi)各單元敏度的加權(quán)平均值代替中心單元的敏度值.目標(biāo)函數(shù)對設(shè)計(jì)變量xe修正后的單元敏度值為

    式中,dist(e,f)為相鄰單元e和f 中心的距離,rmin為過濾半徑,N 為單元的數(shù)目.

    1.3 模型求解方法

    對于結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型的求解,常用的求解算法主要有兩類,一類是優(yōu)化準(zhǔn)則算法(Optimality Criteria Method,OC)[6];另一類是數(shù)學(xué)規(guī)劃法,主要有移動(dòng)近似算法(Method of Moving Asymptotes,MMA)和序列線性規(guī)劃法(Sequential Linear Programming Method,SLP)[7].對于三維結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題,優(yōu)化準(zhǔn)則法收斂速度快,并且適用于單約束條件下優(yōu)化問題的求解.因此,本文選擇優(yōu)化準(zhǔn)則法對設(shè)計(jì)變量進(jìn)行迭代更新.

    2 數(shù)控插齒機(jī)床身靜力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化

    2.1 床身初始設(shè)計(jì)模型的建立

    本文以YKS5120B-3數(shù)控插齒機(jī)床身為研究對象,根據(jù)該床身的實(shí)際工作情況,在Matlab中創(chuàng)建床身的優(yōu)化設(shè)計(jì)域空間模型,如圖1所示.設(shè)計(jì)域由非設(shè)計(jì)域和可設(shè)計(jì)域組成,其中非設(shè)計(jì)域1為床身的導(dǎo)軌,非設(shè)計(jì)域2為工作平臺(tái),可設(shè)計(jì)域?yàn)榇采淼闹黧w部分,將可設(shè)計(jì)域離散為28×16×7個(gè)立方體單元,而導(dǎo)軌和工作臺(tái)分別單獨(dú)離散為40個(gè)和32個(gè)立方體單元,每個(gè)單元有8個(gè)節(jié)點(diǎn),每個(gè)節(jié)點(diǎn)相應(yīng)有3個(gè)方向的自由度.

    該床身材料為HT200,其參數(shù)如下:屈服極限σs=310MPa,強(qiáng)度極限σb=450MPa,彈性模量E=126E3MPa,泊松比PN=0.3,材料密度ρ=7.0E-9 t/mm3.

    圖1 床身優(yōu)化初始有限元模型

    2.2 床身約束及受載荷情況

    實(shí)際該床身底部兩側(cè)是用6個(gè)地腳螺栓與硬地基連接的,所以在連接面上施加3個(gè)方向自由度為零的位移約束.工作平臺(tái)結(jié)合面的受力由兩部分組成,一部分是工作臺(tái)部分的自身重力,還有一部分是通過工件傳遞到工作臺(tái)結(jié)合面的插齒力,根據(jù)工作平臺(tái)與床身結(jié)合面的面積,計(jì)算出工作平臺(tái)結(jié)合面的最大承壓為P1=0.073MPa.由于與床身導(dǎo)軌接觸中床身導(dǎo)軌副是移動(dòng)的,所以有多種工況,因此為了安全起見,本文選取其中一種具有代表性的工況進(jìn)行分析,即在整個(gè)導(dǎo)軌上都施加承壓P2=1.078MPa.

    2.3 床身靜力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化求解

    以床身的整體柔度最小為目標(biāo)函數(shù),以20%的體積比為約束,采用優(yōu)化準(zhǔn)則法對設(shè)計(jì)變量進(jìn)行迭代更新,經(jīng)過26步迭代后目標(biāo)值收斂,得到床身結(jié)構(gòu)材料的最優(yōu)分布.此外本文通過空洞實(shí)體分界值(IES)來控制優(yōu)化結(jié)果的顯示,即只顯示相對密度大于某個(gè)值的單元,當(dāng)IES分別取0.3、0.5、0.7時(shí)拓?fù)浣Y(jié)果如圖2(a)、(b)、(c)所示.

    圖2 不同IES值拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

    從圖2可以看出,當(dāng)IES取值為0.5時(shí),即只顯示相對密度大于0.5的單元,結(jié)構(gòu)更清晰,因此本文選擇圖2(b)拓?fù)湫问阶鳛閿?shù)控插齒機(jī)床身結(jié)構(gòu)重構(gòu)的依據(jù),床身原始模型和重構(gòu)模型如圖3所示.

    圖3 床身幾何模型

    2.4 床身受載靜力學(xué)分析

    對比原始設(shè)計(jì)床身質(zhì)量發(fā)現(xiàn),床身質(zhì)量為1 500.42kg,相對于原始床身質(zhì)量1 700.61kg減輕了11.8%.對床身原結(jié)構(gòu)模型和優(yōu)化重構(gòu)模型進(jìn)行靜力學(xué)分析,模型的位移云圖和應(yīng)力云圖如圖4~5所示.

    根據(jù)分析結(jié)果發(fā)現(xiàn),床身的最大變形量和最大應(yīng)力分別由原來的0.010 283mm 和6.525MPa減小到優(yōu)化后的0.006 665mm 和2.582MPa,分別減少了35%和60%;對比原結(jié)構(gòu)模型和重構(gòu)結(jié)構(gòu)模型的應(yīng)力云圖5(a)、(b)發(fā)現(xiàn),原始結(jié)構(gòu)在排屑槽下方出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象,通過結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化后,重構(gòu)模型的應(yīng)力分布更加均勻、合理,避免了應(yīng)力集中現(xiàn)象.

    綜合上述分析可知,床身經(jīng)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化后,不僅減輕了結(jié)構(gòu)的質(zhì)量,同時(shí)提高了結(jié)構(gòu)剛度,減小了結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力,改善了結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布,使得結(jié)構(gòu)比優(yōu)化前更加安全可靠.

    3 結(jié) 論

    本文以YKS5120B-3數(shù)控插齒機(jī)床身的整體柔度最小為優(yōu)化目標(biāo),對該床身進(jìn)行了三維結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì).床身經(jīng)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化后,不僅最大變形量和最大應(yīng)力分別減小了35%和60%,使得床身滿足剛度和強(qiáng)度要求,而且改善了結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布,有效地避免了應(yīng)力集中現(xiàn)象,同時(shí)床身質(zhì)量減輕了11.8%,使得床身更加節(jié)省材料,降低了制造成本.本文只從靜力學(xué)的角度對該床身進(jìn)行了三維結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),下一步將對該床身進(jìn)行三維結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì).

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