超磁致伸縮致動(dòng)器的基于RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)整定PID 控制

王麗梅，董桉吉

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院，沈陽(yáng) 110870)

0 引言

超磁致伸縮材料(GMM)在磁場(chǎng)作用下產(chǎn)生磁致伸縮效應(yīng)，具有磁致伸縮系數(shù)大、響應(yīng)速度快、磁-機(jī)械耦合系數(shù)大、輸出力大和能力密度大等優(yōu)點(diǎn)，可實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確定位、提高輸出功率，在精密工程領(lǐng)域具有獨(dú)特的應(yīng)用前景。

然而在實(shí)際應(yīng)用中，致動(dòng)器的輸入電流與輸出位移呈現(xiàn)顯著的非線性以及材料固有特性決定的滯回性［1］。為了消除這些非線性因素給定位系統(tǒng)帶來(lái)的影響，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性映射能力與自學(xué)習(xí)優(yōu)點(diǎn)，在線設(shè)計(jì)了一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID 控制器對(duì)致動(dòng)器的磁滯進(jìn)行補(bǔ)償。要進(jìn)行較為精準(zhǔn)的補(bǔ)償和控制，選擇合適的磁滯模型是必要的。Restorff 和Clark等首先根據(jù)鐵質(zhì)物質(zhì)的現(xiàn)象學(xué)磁滯模型提出了超磁致伸縮材料的Preisach 磁滯模型，該模型非線性預(yù)測(cè)能力強(qiáng)、通用性好，缺點(diǎn)是只反映輸入輸出間的特性［2］。Calkins 等采用Jiles-Atherton 模型和二次疇轉(zhuǎn)磁致伸縮模型，建立了超磁致伸縮致動(dòng)器的物理磁滯模型，該模型為低階微分方程，物理思想清晰、計(jì)算量少，在應(yīng)用中容易實(shí)現(xiàn)［3］。對(duì)致動(dòng)器的位移定位控制主要有:PID 控制是工業(yè)控制中應(yīng)用最廣泛的一種基本控制規(guī)律，雖然也能減少致動(dòng)器的磁滯，但其控制效果不理想，而且調(diào)整參數(shù)使其滿足要求往往需要豐富的經(jīng)驗(yàn)和反復(fù)的嘗試，工作量大卻未必能達(dá)到目的［4］;對(duì)致動(dòng)器實(shí)施自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)控制，趨近滑模面，減小抖陣，但對(duì)于高頻情況，對(duì)定位影響較大［5］;利用Jiles-Atherton 的反向運(yùn)動(dòng)時(shí)磁化強(qiáng)度變化與磁場(chǎng)強(qiáng)度變化的對(duì)于關(guān)系，給定反向起始點(diǎn)迭代初值，實(shí)現(xiàn)磁滯補(bǔ)償?shù)姆椒?，但需要致?dòng)器的精確模型與磁滯環(huán)的寬度［6］;在迭代補(bǔ)償?shù)幕A(chǔ)上設(shè)計(jì)了重復(fù)控制補(bǔ)償器，這種基于復(fù)合前饋補(bǔ)償?shù)腜ID 控制方法提高GMA 精度，避免直接求求Preisach 逆模型，高頻下建模精度受影響大［7］。

本文基于Jiles-Atherton 磁滯模型，依據(jù)GMM 材料的非線性壓磁方程、致動(dòng)器的結(jié)構(gòu)力學(xué)原理，建立超磁致伸縮致動(dòng)器的動(dòng)態(tài)模型［8］。運(yùn)用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID 整定原理，設(shè)計(jì)了增量式PID 控制器，加快了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)速度并對(duì)致動(dòng)器進(jìn)行有效補(bǔ)償，有效抑制擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響。

1 致動(dòng)器系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型

1.1 超磁致伸縮系統(tǒng)的磁滯非線性動(dòng)態(tài)模型

基于Jiles-Atherton 模型，分五步建立外加磁場(chǎng)H與磁化強(qiáng)度M 的關(guān)系:①確定材料的有效磁場(chǎng)He;②依據(jù)Boltzman，確定無(wú)磁滯磁化強(qiáng)度Man(Man是磁疇轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的，是完全可逆的);③確定疇壁位移產(chǎn)生的不可逆磁化強(qiáng)度Mirr;④確定疇壁彎曲產(chǎn)生的可逆磁化強(qiáng)度Mrev;⑤總磁化強(qiáng)度M 為Mirr和Mrev之和。具體表達(dá)式如下:

式中，H 為外加磁場(chǎng)，其值為激勵(lì)線圈上通入的電流I產(chǎn)生的驅(qū)動(dòng)磁場(chǎng)Hd= nI(n 為單位線圈長(zhǎng)度的匝數(shù))和永磁鐵產(chǎn)生的偏置磁場(chǎng)Hb之和;αM 為材料磁疇間相互作用產(chǎn)生的磁場(chǎng);Hσ為預(yù)應(yīng)力σ0引發(fā)的磁場(chǎng)，其計(jì)算式為Hσ= 9λsσ0M (2μ0Ms2)。參數(shù)α～ ≡α +9λsσ0(2μ0Ms2);μ0為真空中的磁導(dǎo)率，μ0= 4π ×10-7H/m;當(dāng)H 減少時(shí)，參數(shù)δ ≡-1。α、a、k、c 和Ms分別為疇壁相互作用系數(shù)、無(wú)磁滯磁化強(qiáng)度形狀系數(shù)、可逆系數(shù)和飽和磁化強(qiáng)度。

在一定應(yīng)力作用下，各向同性材料的磁致伸縮λ與磁化強(qiáng)度M 的近似關(guān)系為基于能量基礎(chǔ)的二次疇轉(zhuǎn)模型:

式中，M 和Ms定義同上，λs為飽和磁致伸縮。

1.2 致動(dòng)器的動(dòng)力學(xué)模型

致動(dòng)器建模的關(guān)鍵是建立超磁致伸縮棒的數(shù)學(xué)模型，其目標(biāo)是建立輸入電流和輸出位移之間的關(guān)系。為實(shí)現(xiàn)對(duì)超磁致伸縮致動(dòng)器的動(dòng)力學(xué)模型，作如下假設(shè):①Terfenol-D 棒和線圈同長(zhǎng)，棒內(nèi)部磁場(chǎng)強(qiáng)度H、磁感應(yīng)強(qiáng)度B、應(yīng)變?chǔ)?和應(yīng)力σ 均勻，棒輸出位移y = εlr，輸出力F = σA，lr、Ar分別為Terfenol-D 棒的長(zhǎng)度、橫截面積;②超磁致伸縮致動(dòng)器在長(zhǎng)度方向上認(rèn)為單自由度的分離元件彈簧、阻尼器、質(zhì)量組成;③考慮施壓連接剛度，認(rèn)為負(fù)載是一個(gè)質(zhì)量——彈簧——阻尼負(fù)載;④在整個(gè)過程中，Terfenol-D 棒一段位移為0，另一端始終與負(fù)載有相同的位移y、速度和加速度¨y;⑤永久磁鐵與彈簧線圈等效成與負(fù)載并聯(lián)的形式，并且與負(fù)載的移動(dòng)一致［9］?；谏鲜黾僭O(shè)，圖1 是將致動(dòng)器的動(dòng)力學(xué)過程簡(jiǎn)化為等效單自由度力學(xué)模型。

圖1 致動(dòng)器的等效力學(xué)模型

其中N、ls、I 分別為激勵(lì)線圈匝數(shù)、長(zhǎng)度、和輸入電流;d、lr、ρ、Ar、CD則分別為Terfenol-D 棒的直徑、長(zhǎng)度、質(zhì)量密度、內(nèi)部阻尼系數(shù)，Kr、Cr、Mr分別為D 棒的等效阻尼剛度系數(shù)、等效阻尼系數(shù)、等效質(zhì)量;Kl、Cl、Ml分別為等效剛度系數(shù)、等效阻尼系數(shù)、等效質(zhì)量;Mt、Kt、Ct分別為致動(dòng)器的永久磁鐵與線圈等效的質(zhì)量、等效的剛度系數(shù)、等效的阻尼系數(shù);Ks為負(fù)載與Mt等效作用系數(shù)，取值大小為10。F、y、σ0分別為Terfenol-D 棒的輸出力、位移和受到的預(yù)應(yīng)力，F(xiàn)l為負(fù)載對(duì)Terfenol-D 棒的作用力。

考慮Terfenol-D 棒質(zhì)量與阻尼方程可寫為:

基于第四個(gè)假設(shè)，可知負(fù)載對(duì)Terfenol-D 的作用力為Fl= (Ml¨y + Cl+ Kly)+ (KsMt¨y + KsCt+KsKty)，根據(jù)牛頓第二定律，則Terfenol-D 棒的輸出力F = - Fl，即:

其中:

對(duì)(9)式進(jìn)行拉式變換，得到致動(dòng)器的輸出位移:

其中s 為L(zhǎng)aplace 算子。

根據(jù)Jiles-Atherton 模型式(1)～(5)、二次疇轉(zhuǎn)磁致伸縮模型(6)式、位移動(dòng)態(tài)模型(11)式，得到致動(dòng)器的磁滯非線性動(dòng)態(tài)模型。應(yīng)用此模型，可以求出在外加磁場(chǎng)H = Hb+Hd作用下，致動(dòng)器的輸出位移。外加磁場(chǎng)H 為激勵(lì)線圈上通入的電流產(chǎn)生的驅(qū)動(dòng)磁場(chǎng)和偏置線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)之和，可以確定致動(dòng)器的輸入電流與輸出位移的關(guān)系。

2 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)整定PID 控制致動(dòng)器

2.1 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器通過對(duì)傳統(tǒng)控制器輸出進(jìn)行學(xué)習(xí)，在線調(diào)整網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值，使輸出能夠跟蹤給定的輸入。其中GMA 是驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)，yd是給定的參考輸入信號(hào)，u 是GMA 輸入電流，y 是GMA 輸出位移，ym是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出，e 為參考輸入信號(hào)與GMA 輸出位移的偏差，em是y 與ym的偏差，見圖2。

2.2 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)整定的PID 控制

RBF 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單(圖3)，是最優(yōu)的非線性函數(shù)逼近器，是一種具有單隱含層的三層前向網(wǎng)絡(luò)，包含輸入層、單隱層和輸出層。輸入層只起信號(hào)傳輸作用，從輸入層到隱含層的網(wǎng)絡(luò)權(quán)值固定為1，隱層節(jié)點(diǎn)的激活函數(shù)采用高斯徑向基函數(shù);由輸入到輸出的映射是非線性的，而隱含層空間到輸出空間的映射是線性的，從而大大加快了學(xué)習(xí)速度并避免局部極小問題。

圖2 RBF 網(wǎng)絡(luò)整定PID 控制框圖

圖3 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

在RBF 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中，x =［x1，x2，…，xn］T為網(wǎng)絡(luò)的輸入向量。設(shè)RBF 網(wǎng)絡(luò)的徑向基向量h = ［h1，h2，…，hm］T，其中hj為高斯基函數(shù):

其中網(wǎng)絡(luò)的第j 個(gè)節(jié)點(diǎn)的中心矢量為Cj= ［cj1，cj2…cji…cjn］T，i = 1，2，…，n。

設(shè)網(wǎng)絡(luò)的基寬向量為:

bj為節(jié)點(diǎn)j 的基寬度參數(shù)，且為大于零的數(shù)。網(wǎng)絡(luò)的權(quán)向量為:

辨識(shí)的網(wǎng)絡(luò)輸出為:

取RBF 網(wǎng)絡(luò)逼近的性能指標(biāo)為:

根據(jù)梯度下降法，輸出權(quán)、節(jié)點(diǎn)中心及節(jié)點(diǎn)中心矢量的迭代算法如下:

上式中，η 為學(xué)習(xí)速率，α 為動(dòng)量因子。

對(duì)象的輸出對(duì)控制輸入變化的靈敏度信息的算法為:

其中x1= Δu(k)。

采用增量式PID 控制器，控制誤差為:

PID 三項(xiàng)輸入為:

控制算法為:

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)整定指標(biāo)為:

kp，ki，kd的調(diào)整采用梯度下降法:

3 仿真結(jié)果及分析

根據(jù)建立的致動(dòng)器的磁滯模型和動(dòng)力學(xué)模型，結(jié)合輸入電流與輸出位移的關(guān)系，根據(jù)文獻(xiàn)［10］給出的數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn):在預(yù)應(yīng)力σ0= - 6.69 ×106N/m2，交流頻率1Hz 時(shí)，Ms= 7.65 ×105A/m，a =7012A/m，k = 3283A/m，α = 0.032，c = 0.18。Terfenol-D 棒的d = 12.7mm，lr= 115mm;激勵(lì)線圈N = 1200 匝;負(fù)載Ml= 0.5kg，= 3 ×1010N/m2。Mr= 0.045kg，kr= 3 × 107N/m，Cr= 3.307 ×103Ns/m，彈簧的剛度系數(shù)kl= 5.67 × 105Ns/m，CD= 3 ×106Ns/m2，阻尼系數(shù)Cl= 1 ×103Ns/m。選取參數(shù)η = 0.65，α = 0.057，cji=［0 0.02 0.01 0 0.01 0;0 0 0.01 0 0.01 0.02;0 0 0 0 0 0.01］，bj= ［1 1 1 1 1 1］T。

當(dāng)輸入電流I = sin(2πt)時(shí)，圖4 是致動(dòng)器輸出的位移曲線，從圖4 中可以看出當(dāng)電流為0 時(shí)，其位移并不是0，存在著明顯的磁滯。

針對(duì)致動(dòng)器存在的磁滯，運(yùn)用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID整定理論設(shè)計(jì)控制器，給定系統(tǒng)的參考輸入yd為50μm，使輸出跟蹤參考輸入。

為了驗(yàn)證PID 整定的致動(dòng)器的優(yōu)越性，取輸入信號(hào)為1A，則輸入X = ［1，y］，網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值取隨機(jī)值。

圖4 GMA 輸出位移曲線(輸入為正弦信號(hào))

圖5 和圖6 分別表示未加入RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID整定與加入RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID 整定的系統(tǒng)響應(yīng)曲線，實(shí)線代表給定輸入曲線，虛線代表系統(tǒng)輸出曲線即跟蹤曲線。當(dāng)給系統(tǒng)分別加入相同的擾動(dòng)后，可以明顯地看出:圖5 中的跟蹤曲線在0.1s前有明顯的超調(diào)，大約在0.35s時(shí)與給定輸入曲線重合;圖6 中系統(tǒng)的輸出在0.1s 前可以較快的跟蹤致動(dòng)器的輸入，跟蹤效果好，超調(diào)量較小，經(jīng)RBF 整定的PID 控制有效地對(duì)致動(dòng)器的磁滯進(jìn)行補(bǔ)償，而且根據(jù)式(29)可以自整定最優(yōu)參數(shù)值。

圖5 未整定的PID控制響應(yīng)

圖6 RBF 整定PID控制響應(yīng)

若考慮Terfenol-D 棒振動(dòng)對(duì)致動(dòng)器帶來(lái)的干擾影響G，則致動(dòng)器的輸出變?yōu)?

為驗(yàn)證RBF 整定PID 控制的抗干擾能力，在仿真t = 0.1s 時(shí)(G = 100N)對(duì)兩種控制方式加入干擾。圖7 是未加入整定的PID 控制方式下加入干擾時(shí)的仿真曲線，0.1s 后曲線經(jīng)大約0.5s 的時(shí)間跟蹤到輸入信號(hào);圖8 是加入整定的PID 控制方式下加入干擾后的仿真曲線，0.1s 加入干擾后可快速自調(diào)整，抑制干擾能力明顯提高。

圖7 在PID 控制下有干擾的響應(yīng)

圖8 RBF 整定下有干擾的響應(yīng)

為進(jìn)一步試驗(yàn)所設(shè)計(jì)的控制器對(duì)位移的控制效果，輸入位移r = 35 +25sin(2πt)μm。

圖9 中實(shí)線軌跡為輸入的參考位移，虛線軌跡為增加前饋補(bǔ)償控制器后的輸出位移，可以看到致動(dòng)器的輸出能夠跟蹤給定的輸入，達(dá)到了控制目的，從而實(shí)現(xiàn)了位移的精密定位控制。

圖9 輸入與輸出信號(hào)跟蹤

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過建立超磁致伸縮致動(dòng)器的Jiles-Atherton 磁滯模型和系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)計(jì)了基于RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)整定的PID 控制器，實(shí)現(xiàn)了對(duì)致動(dòng)器輸出的補(bǔ)償控制，提高了輸出對(duì)參考輸入的位移跟蹤速度，而且RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)整定的PID 三個(gè)參數(shù)能夠自整定，且該控制方法能夠兼顧跟蹤能力和抑制干擾能力，有效減小了磁滯非線性的影響，控制效果理想。

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