三角函數(shù)最值問題求解策略

于周好

摘要：解決三角函數(shù)最值問題的基本途徑：一方面應(yīng)充分利用三角函數(shù)自身的特殊性，如有界性.另一方面還要注意將求解三角函數(shù)最值問題，轉(zhuǎn)化為求一些我們所熟知的函數(shù)如二次函數(shù)等最值問題.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)最值 配方轉(zhuǎn)化 有界性轉(zhuǎn)化 單調(diào)性轉(zhuǎn)化

三角函數(shù)這一章節(jié)，在近幾年高考中，已逐步拋棄了對復(fù)雜三角變換和特殊技巧的考查，而多考查求解三角函數(shù)最值問題.且一般以選擇、填空題形式出現(xiàn)，難度不大.

下面介紹幾種常見的三角函數(shù)最值的求解策略.

1.配方轉(zhuǎn)化

經(jīng)轉(zhuǎn)化，最后化歸為二次函數(shù)的三角函數(shù)最值問題，稱為二次函數(shù)型.閉區(qū)間上的二次函數(shù)一定存在最大值、最小值，這是求解二次函數(shù)型三角最值得主要依據(jù).對能夠化為形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c的三角函數(shù)最值問題，可看作是sinx或cosx的二次函數(shù)最值問題，常常利用配方轉(zhuǎn)化策略來解決.

二次函數(shù)的對稱軸不在t∈[-1，1]的范圍內(nèi)，且二次項系數(shù)a>0，其圖象開口向上，結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知當(dāng)t=-1，ymin=-6；當(dāng)t=1，ymax=4.

感悟：這類問題在求解中，要注意三個方面的問題：其一要將三角函數(shù)準(zhǔn)確變形為sinx或cosx的二次函數(shù)的形式， 可以采用換元的的方式，令或cosx=t，t∈[-1，1]；其二，運用二次函數(shù)配方的技巧正確配方，易錯在二次項系數(shù)，如本題中二次項系數(shù)是-2，對應(yīng)二次函數(shù)開口向下，配方過程中要先提出負(fù)號；其三要把握三角函數(shù)sinx或cosx的范圍，注意觀察二次函數(shù)對稱軸與換元后變量的范圍的關(guān)系.值得注意的是，當(dāng)變量x有一定范圍時，更要注意換元量t的范圍，防止出錯.

2.有界性轉(zhuǎn)化

三角函數(shù)尤其正弦、余弦是一種有界函數(shù)，其有界性在解決值域、最值或者取值范圍等問題顯得靈活.對于所給的三角函數(shù)能夠通過三角恒等變換，結(jié)合正余弦的兩角和差公式，升降冪公式和二倍角公式，對所給的式子化簡為形如y=Asin（ωx+φ）+k的形式，常?？梢岳萌呛瘮?shù)的有界性，在變量x沒有特定范圍的情況下，其值域為[-A，A]求解其最值.這是解決三角函數(shù)最值問題常用的策略之一.

感悟：求解這類問題的關(guān)鍵是先將所給的三角函數(shù)化為一個角的三角函數(shù)問題，然后利用三角函數(shù)的有界性求其最值.針對高考中題目看，還要強化變角訓(xùn)練，如何把一個含有不同名或不同角的三角函數(shù)式化為只含有一個角的三角函數(shù)關(guān)系式，這也是高考的重點.由此題可見，靈活運用三角函數(shù)的有界性，能使問題的求解直接明了！

3.單調(diào)性轉(zhuǎn)化

對于三角函數(shù)來說， 結(jié)合三角函數(shù)的圖象，判斷三角函數(shù)對應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性，利用三角函數(shù)在給定區(qū)間單調(diào)性是求解三角函數(shù)函數(shù)最值問題常用的一種轉(zhuǎn)化策略.此種題型直接考查三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象的變換.常常是先化為y=Asin（ωx+φ）+k的形式，與例題2中的轉(zhuǎn)化方法類似，區(qū)別在于復(fù)合角 （ωx+φ）區(qū)間的特定性.

摘要：解決三角函數(shù)最值問題的基本途徑：一方面應(yīng)充分利用三角函數(shù)自身的特殊性，如有界性.另一方面還要注意將求解三角函數(shù)最值問題，轉(zhuǎn)化為求一些我們所熟知的函數(shù)如二次函數(shù)等最值問題.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)最值 配方轉(zhuǎn)化 有界性轉(zhuǎn)化 單調(diào)性轉(zhuǎn)化

三角函數(shù)這一章節(jié)，在近幾年高考中，已逐步拋棄了對復(fù)雜三角變換和特殊技巧的考查，而多考查求解三角函數(shù)最值問題.且一般以選擇、填空題形式出現(xiàn)，難度不大.

下面介紹幾種常見的三角函數(shù)最值的求解策略.

1.配方轉(zhuǎn)化

經(jīng)轉(zhuǎn)化，最后化歸為二次函數(shù)的三角函數(shù)最值問題，稱為二次函數(shù)型.閉區(qū)間上的二次函數(shù)一定存在最大值、最小值，這是求解二次函數(shù)型三角最值得主要依據(jù).對能夠化為形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c的三角函數(shù)最值問題，可看作是sinx或cosx的二次函數(shù)最值問題，常常利用配方轉(zhuǎn)化策略來解決.

二次函數(shù)的對稱軸不在t∈[-1，1]的范圍內(nèi)，且二次項系數(shù)a>0，其圖象開口向上，結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知當(dāng)t=-1，ymin=-6；當(dāng)t=1，ymax=4.

感悟：這類問題在求解中，要注意三個方面的問題：其一要將三角函數(shù)準(zhǔn)確變形為sinx或cosx的二次函數(shù)的形式， 可以采用換元的的方式，令或cosx=t，t∈[-1，1]；其二，運用二次函數(shù)配方的技巧正確配方，易錯在二次項系數(shù)，如本題中二次項系數(shù)是-2，對應(yīng)二次函數(shù)開口向下，配方過程中要先提出負(fù)號；其三要把握三角函數(shù)sinx或cosx的范圍，注意觀察二次函數(shù)對稱軸與換元后變量的范圍的關(guān)系.值得注意的是，當(dāng)變量x有一定范圍時，更要注意換元量t的范圍，防止出錯.

2.有界性轉(zhuǎn)化

三角函數(shù)尤其正弦、余弦是一種有界函數(shù)，其有界性在解決值域、最值或者取值范圍等問題顯得靈活.對于所給的三角函數(shù)能夠通過三角恒等變換，結(jié)合正余弦的兩角和差公式，升降冪公式和二倍角公式，對所給的式子化簡為形如y=Asin（ωx+φ）+k的形式，常?？梢岳萌呛瘮?shù)的有界性，在變量x沒有特定范圍的情況下，其值域為[-A，A]求解其最值.這是解決三角函數(shù)最值問題常用的策略之一.

感悟：求解這類問題的關(guān)鍵是先將所給的三角函數(shù)化為一個角的三角函數(shù)問題，然后利用三角函數(shù)的有界性求其最值.針對高考中題目看，還要強化變角訓(xùn)練，如何把一個含有不同名或不同角的三角函數(shù)式化為只含有一個角的三角函數(shù)關(guān)系式，這也是高考的重點.由此題可見，靈活運用三角函數(shù)的有界性，能使問題的求解直接明了！

3.單調(diào)性轉(zhuǎn)化

對于三角函數(shù)來說， 結(jié)合三角函數(shù)的圖象，判斷三角函數(shù)對應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性，利用三角函數(shù)在給定區(qū)間單調(diào)性是求解三角函數(shù)函數(shù)最值問題常用的一種轉(zhuǎn)化策略.此種題型直接考查三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象的變換.常常是先化為y=Asin（ωx+φ）+k的形式，與例題2中的轉(zhuǎn)化方法類似，區(qū)別在于復(fù)合角 （ωx+φ）區(qū)間的特定性.

摘要：解決三角函數(shù)最值問題的基本途徑：一方面應(yīng)充分利用三角函數(shù)自身的特殊性，如有界性.另一方面還要注意將求解三角函數(shù)最值問題，轉(zhuǎn)化為求一些我們所熟知的函數(shù)如二次函數(shù)等最值問題.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)最值 配方轉(zhuǎn)化 有界性轉(zhuǎn)化 單調(diào)性轉(zhuǎn)化

三角函數(shù)這一章節(jié)，在近幾年高考中，已逐步拋棄了對復(fù)雜三角變換和特殊技巧的考查，而多考查求解三角函數(shù)最值問題.且一般以選擇、填空題形式出現(xiàn)，難度不大.

下面介紹幾種常見的三角函數(shù)最值的求解策略.

1.配方轉(zhuǎn)化

經(jīng)轉(zhuǎn)化，最后化歸為二次函數(shù)的三角函數(shù)最值問題，稱為二次函數(shù)型.閉區(qū)間上的二次函數(shù)一定存在最大值、最小值，這是求解二次函數(shù)型三角最值得主要依據(jù).對能夠化為形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c的三角函數(shù)最值問題，可看作是sinx或cosx的二次函數(shù)最值問題，常常利用配方轉(zhuǎn)化策略來解決.

二次函數(shù)的對稱軸不在t∈[-1，1]的范圍內(nèi)，且二次項系數(shù)a>0，其圖象開口向上，結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知當(dāng)t=-1，ymin=-6；當(dāng)t=1，ymax=4.

感悟：這類問題在求解中，要注意三個方面的問題：其一要將三角函數(shù)準(zhǔn)確變形為sinx或cosx的二次函數(shù)的形式， 可以采用換元的的方式，令或cosx=t，t∈[-1，1]；其二，運用二次函數(shù)配方的技巧正確配方，易錯在二次項系數(shù)，如本題中二次項系數(shù)是-2，對應(yīng)二次函數(shù)開口向下，配方過程中要先提出負(fù)號；其三要把握三角函數(shù)sinx或cosx的范圍，注意觀察二次函數(shù)對稱軸與換元后變量的范圍的關(guān)系.值得注意的是，當(dāng)變量x有一定范圍時，更要注意換元量t的范圍，防止出錯.

2.有界性轉(zhuǎn)化

三角函數(shù)尤其正弦、余弦是一種有界函數(shù)，其有界性在解決值域、最值或者取值范圍等問題顯得靈活.對于所給的三角函數(shù)能夠通過三角恒等變換，結(jié)合正余弦的兩角和差公式，升降冪公式和二倍角公式，對所給的式子化簡為形如y=Asin（ωx+φ）+k的形式，常常可以利用三角函數(shù)的有界性，在變量x沒有特定范圍的情況下，其值域為[-A，A]求解其最值.這是解決三角函數(shù)最值問題常用的策略之一.

感悟：求解這類問題的關(guān)鍵是先將所給的三角函數(shù)化為一個角的三角函數(shù)問題，然后利用三角函數(shù)的有界性求其最值.針對高考中題目看，還要強化變角訓(xùn)練，如何把一個含有不同名或不同角的三角函數(shù)式化為只含有一個角的三角函數(shù)關(guān)系式，這也是高考的重點.由此題可見，靈活運用三角函數(shù)的有界性，能使問題的求解直接明了！

3.單調(diào)性轉(zhuǎn)化

對于三角函數(shù)來說， 結(jié)合三角函數(shù)的圖象，判斷三角函數(shù)對應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性，利用三角函數(shù)在給定區(qū)間單調(diào)性是求解三角函數(shù)函數(shù)最值問題常用的一種轉(zhuǎn)化策略.此種題型直接考查三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象的變換.常常是先化為y=Asin（ωx+φ）+k的形式，與例題2中的轉(zhuǎn)化方法類似，區(qū)別在于復(fù)合角 （ωx+φ）區(qū)間的特定性.