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    三角函數(shù)最值問題求解策略

    2013-12-23 08:06:42于周好

    于周好

    摘要:解決三角函數(shù)最值問題的基本途徑:一方面應(yīng)充分利用三角函數(shù)自身的特殊性,如有界性.另一方面還要注意將求解三角函數(shù)最值問題,轉(zhuǎn)化為求一些我們所熟知的函數(shù)如二次函數(shù)等最值問題.

    關(guān)鍵詞:三角函數(shù)最值 配方轉(zhuǎn)化 有界性轉(zhuǎn)化 單調(diào)性轉(zhuǎn)化

    三角函數(shù)這一章節(jié),在近幾年高考中,已逐步拋棄了對復(fù)雜三角變換和特殊技巧的考查,而多考查求解三角函數(shù)最值問題.且一般以選擇、填空題形式出現(xiàn),難度不大.

    下面介紹幾種常見的三角函數(shù)最值的求解策略.

    1.配方轉(zhuǎn)化

    經(jīng)轉(zhuǎn)化,最后化歸為二次函數(shù)的三角函數(shù)最值問題,稱為二次函數(shù)型.閉區(qū)間上的二次函數(shù)一定存在最大值、最小值,這是求解二次函數(shù)型三角最值得主要依據(jù).對能夠化為形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c的三角函數(shù)最值問題,可看作是sinx或cosx的二次函數(shù)最值問題,常常利用配方轉(zhuǎn)化策略來解決.

    二次函數(shù)的對稱軸不在t∈[-1,1]的范圍內(nèi),且二次項系數(shù)a>0,其圖象開口向上,結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知當(dāng)t=-1,ymin=-6;當(dāng)t=1,ymax=4.

    感悟:這類問題在求解中,要注意三個方面的問題:其一要將三角函數(shù)準(zhǔn)確變形為sinx或cosx的二次函數(shù)的形式, 可以采用換元的的方式,令或cosx=t,t∈[-1,1];其二,運用二次函數(shù)配方的技巧正確配方,易錯在二次項系數(shù),如本題中二次項系數(shù)是-2,對應(yīng)二次函數(shù)開口向下,配方過程中要先提出負(fù)號;其三要把握三角函數(shù)sinx或cosx的范圍,注意觀察二次函數(shù)對稱軸與換元后變量的范圍的關(guān)系.值得注意的是,當(dāng)變量x有一定范圍時,更要注意換元量t的范圍,防止出錯.

    2.有界性轉(zhuǎn)化

    三角函數(shù)尤其正弦、余弦是一種有界函數(shù),其有界性在解決值域、最值或者取值范圍等問題顯得靈活.對于所給的三角函數(shù)能夠通過三角恒等變換,結(jié)合正余弦的兩角和差公式,升降冪公式和二倍角公式,對所給的式子化簡為形如y=Asin(ωx+φ)+k的形式,常??梢岳萌呛瘮?shù)的有界性,在變量x沒有特定范圍的情況下,其值域為[-A,A]求解其最值.這是解決三角函數(shù)最值問題常用的策略之一.

    感悟:求解這類問題的關(guān)鍵是先將所給的三角函數(shù)化為一個角的三角函數(shù)問題,然后利用三角函數(shù)的有界性求其最值.針對高考中題目看,還要強化變角訓(xùn)練,如何把一個含有不同名或不同角的三角函數(shù)式化為只含有一個角的三角函數(shù)關(guān)系式,這也是高考的重點.由此題可見,靈活運用三角函數(shù)的有界性,能使問題的求解直接明了!

    3.單調(diào)性轉(zhuǎn)化

    對于三角函數(shù)來說, 結(jié)合三角函數(shù)的圖象,判斷三角函數(shù)對應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性,利用三角函數(shù)在給定區(qū)間單調(diào)性是求解三角函數(shù)函數(shù)最值問題常用的一種轉(zhuǎn)化策略.此種題型直接考查三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象的變換.常常是先化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式,與例題2中的轉(zhuǎn)化方法類似,區(qū)別在于復(fù)合角 (ωx+φ)區(qū)間的特定性.

    摘要:解決三角函數(shù)最值問題的基本途徑:一方面應(yīng)充分利用三角函數(shù)自身的特殊性,如有界性.另一方面還要注意將求解三角函數(shù)最值問題,轉(zhuǎn)化為求一些我們所熟知的函數(shù)如二次函數(shù)等最值問題.

    關(guān)鍵詞:三角函數(shù)最值 配方轉(zhuǎn)化 有界性轉(zhuǎn)化 單調(diào)性轉(zhuǎn)化

    三角函數(shù)這一章節(jié),在近幾年高考中,已逐步拋棄了對復(fù)雜三角變換和特殊技巧的考查,而多考查求解三角函數(shù)最值問題.且一般以選擇、填空題形式出現(xiàn),難度不大.

    下面介紹幾種常見的三角函數(shù)最值的求解策略.

    1.配方轉(zhuǎn)化

    經(jīng)轉(zhuǎn)化,最后化歸為二次函數(shù)的三角函數(shù)最值問題,稱為二次函數(shù)型.閉區(qū)間上的二次函數(shù)一定存在最大值、最小值,這是求解二次函數(shù)型三角最值得主要依據(jù).對能夠化為形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c的三角函數(shù)最值問題,可看作是sinx或cosx的二次函數(shù)最值問題,常常利用配方轉(zhuǎn)化策略來解決.

    二次函數(shù)的對稱軸不在t∈[-1,1]的范圍內(nèi),且二次項系數(shù)a>0,其圖象開口向上,結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知當(dāng)t=-1,ymin=-6;當(dāng)t=1,ymax=4.

    感悟:這類問題在求解中,要注意三個方面的問題:其一要將三角函數(shù)準(zhǔn)確變形為sinx或cosx的二次函數(shù)的形式, 可以采用換元的的方式,令或cosx=t,t∈[-1,1];其二,運用二次函數(shù)配方的技巧正確配方,易錯在二次項系數(shù),如本題中二次項系數(shù)是-2,對應(yīng)二次函數(shù)開口向下,配方過程中要先提出負(fù)號;其三要把握三角函數(shù)sinx或cosx的范圍,注意觀察二次函數(shù)對稱軸與換元后變量的范圍的關(guān)系.值得注意的是,當(dāng)變量x有一定范圍時,更要注意換元量t的范圍,防止出錯.

    2.有界性轉(zhuǎn)化

    三角函數(shù)尤其正弦、余弦是一種有界函數(shù),其有界性在解決值域、最值或者取值范圍等問題顯得靈活.對于所給的三角函數(shù)能夠通過三角恒等變換,結(jié)合正余弦的兩角和差公式,升降冪公式和二倍角公式,對所給的式子化簡為形如y=Asin(ωx+φ)+k的形式,常??梢岳萌呛瘮?shù)的有界性,在變量x沒有特定范圍的情況下,其值域為[-A,A]求解其最值.這是解決三角函數(shù)最值問題常用的策略之一.

    感悟:求解這類問題的關(guān)鍵是先將所給的三角函數(shù)化為一個角的三角函數(shù)問題,然后利用三角函數(shù)的有界性求其最值.針對高考中題目看,還要強化變角訓(xùn)練,如何把一個含有不同名或不同角的三角函數(shù)式化為只含有一個角的三角函數(shù)關(guān)系式,這也是高考的重點.由此題可見,靈活運用三角函數(shù)的有界性,能使問題的求解直接明了!

    3.單調(diào)性轉(zhuǎn)化

    對于三角函數(shù)來說, 結(jié)合三角函數(shù)的圖象,判斷三角函數(shù)對應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性,利用三角函數(shù)在給定區(qū)間單調(diào)性是求解三角函數(shù)函數(shù)最值問題常用的一種轉(zhuǎn)化策略.此種題型直接考查三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象的變換.常常是先化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式,與例題2中的轉(zhuǎn)化方法類似,區(qū)別在于復(fù)合角 (ωx+φ)區(qū)間的特定性.

    摘要:解決三角函數(shù)最值問題的基本途徑:一方面應(yīng)充分利用三角函數(shù)自身的特殊性,如有界性.另一方面還要注意將求解三角函數(shù)最值問題,轉(zhuǎn)化為求一些我們所熟知的函數(shù)如二次函數(shù)等最值問題.

    關(guān)鍵詞:三角函數(shù)最值 配方轉(zhuǎn)化 有界性轉(zhuǎn)化 單調(diào)性轉(zhuǎn)化

    三角函數(shù)這一章節(jié),在近幾年高考中,已逐步拋棄了對復(fù)雜三角變換和特殊技巧的考查,而多考查求解三角函數(shù)最值問題.且一般以選擇、填空題形式出現(xiàn),難度不大.

    下面介紹幾種常見的三角函數(shù)最值的求解策略.

    1.配方轉(zhuǎn)化

    經(jīng)轉(zhuǎn)化,最后化歸為二次函數(shù)的三角函數(shù)最值問題,稱為二次函數(shù)型.閉區(qū)間上的二次函數(shù)一定存在最大值、最小值,這是求解二次函數(shù)型三角最值得主要依據(jù).對能夠化為形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c的三角函數(shù)最值問題,可看作是sinx或cosx的二次函數(shù)最值問題,常常利用配方轉(zhuǎn)化策略來解決.

    二次函數(shù)的對稱軸不在t∈[-1,1]的范圍內(nèi),且二次項系數(shù)a>0,其圖象開口向上,結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知當(dāng)t=-1,ymin=-6;當(dāng)t=1,ymax=4.

    感悟:這類問題在求解中,要注意三個方面的問題:其一要將三角函數(shù)準(zhǔn)確變形為sinx或cosx的二次函數(shù)的形式, 可以采用換元的的方式,令或cosx=t,t∈[-1,1];其二,運用二次函數(shù)配方的技巧正確配方,易錯在二次項系數(shù),如本題中二次項系數(shù)是-2,對應(yīng)二次函數(shù)開口向下,配方過程中要先提出負(fù)號;其三要把握三角函數(shù)sinx或cosx的范圍,注意觀察二次函數(shù)對稱軸與換元后變量的范圍的關(guān)系.值得注意的是,當(dāng)變量x有一定范圍時,更要注意換元量t的范圍,防止出錯.

    2.有界性轉(zhuǎn)化

    三角函數(shù)尤其正弦、余弦是一種有界函數(shù),其有界性在解決值域、最值或者取值范圍等問題顯得靈活.對于所給的三角函數(shù)能夠通過三角恒等變換,結(jié)合正余弦的兩角和差公式,升降冪公式和二倍角公式,對所給的式子化簡為形如y=Asin(ωx+φ)+k的形式,常常可以利用三角函數(shù)的有界性,在變量x沒有特定范圍的情況下,其值域為[-A,A]求解其最值.這是解決三角函數(shù)最值問題常用的策略之一.

    感悟:求解這類問題的關(guān)鍵是先將所給的三角函數(shù)化為一個角的三角函數(shù)問題,然后利用三角函數(shù)的有界性求其最值.針對高考中題目看,還要強化變角訓(xùn)練,如何把一個含有不同名或不同角的三角函數(shù)式化為只含有一個角的三角函數(shù)關(guān)系式,這也是高考的重點.由此題可見,靈活運用三角函數(shù)的有界性,能使問題的求解直接明了!

    3.單調(diào)性轉(zhuǎn)化

    對于三角函數(shù)來說, 結(jié)合三角函數(shù)的圖象,判斷三角函數(shù)對應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性,利用三角函數(shù)在給定區(qū)間單調(diào)性是求解三角函數(shù)函數(shù)最值問題常用的一種轉(zhuǎn)化策略.此種題型直接考查三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象的變換.常常是先化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式,與例題2中的轉(zhuǎn)化方法類似,區(qū)別在于復(fù)合角 (ωx+φ)區(qū)間的特定性.

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