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    圖的符號(hào)邊控制與減邊控制

    2013-12-21 13:26:10徐保根操葉龍康洪波趙利芬
    關(guān)鍵詞:條邊下界意圖

    徐保根,操葉龍,康洪波,趙利芬

    (華東交通大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院,江西南昌330013)

    1 引言及定義

    本文中所指的圖均為無(wú)向簡(jiǎn)單圖,文中未說(shuō)明的符號(hào)和術(shù)語(yǔ)同于文獻(xiàn)[1]。

    設(shè)G=(V,E)為一個(gè)圖,e∈E,則NG(e)表示G中與e相鄰的邊集,稱(chēng)為e的邊鄰域,NG[e]=NG(e)∪{e}為e的閉邊鄰域。(e)=|NG(e)|表示e在G中的邊度。NG(e)和NG[e]可分別簡(jiǎn)記為N(e)和N[e]。若e=uv∈E(G),則有d(e)=d(u)+d(v)-2。

    近幾年來(lái),圖的控制理論研究的內(nèi)容越來(lái)越廣泛,各類(lèi)控制概念相繼產(chǎn)生且研究成果不斷豐富,T.W.Haynes等人的專(zhuān)著[2]綜述了近幾些年來(lái)圖的控制理論研究方面的主要研究成果。然而,它們絕大多數(shù)均屬于圖的點(diǎn)控制,很少涉及到關(guān)于圖的邊控制問(wèn)題和結(jié)果。2001年徐保根[3]首先提出了圖的符號(hào)邊控制概念,獲得了符號(hào)邊控制數(shù)的許多界限,并將這一概念推廣到邊上的多種符號(hào)控制,如符號(hào)星控制、符號(hào)圈控制、符號(hào)團(tuán)控制、符號(hào)路控制等等。同樣地,這也產(chǎn)生了對(duì)應(yīng)的減邊控制概念,從而使得控制理論研究?jī)?nèi)容和研究成果越來(lái)越豐富,徐保根專(zhuān)著[4]綜述了這些研究成果。

    定義1.1[3]設(shè)G=(V,E)是一個(gè)非空?qǐng)D,一個(gè)函數(shù)f:E→{- 1,+1} :如果滿(mǎn)足f()≥1 對(duì)每一條邊e∈E(G)均成立,則稱(chēng)f為圖G的一個(gè)符號(hào)邊控制函數(shù)。圖G的符號(hào)邊控制數(shù)記為(G),定義(G)=min{f(e)|f為G的一個(gè)符號(hào)邊控制函數(shù)}。并且對(duì)于空?qǐng)DG=,則定義(G)=0。

    定義1.2[5]設(shè)G=(V,E)為一個(gè)非空?qǐng)D,一個(gè)函數(shù)f:E→{-1,0,+1}被稱(chēng)為圖G的一個(gè)減邊控制函數(shù),如果對(duì)于G中每一條邊e均有f()≥1成立。圖G的減邊控制數(shù)定義為(G)=min{f(e)|f為圖G的減邊控制函數(shù)},對(duì)于空?qǐng)DG=,則同樣定義(G)=0。

    比較上述兩個(gè)定義不難看出,圖G每一個(gè)符號(hào)邊控制函數(shù)均為G的一個(gè)減邊控制函數(shù),從而有下面的引理1.1。

    引理1.1對(duì)任意圖G,均有m(G)≤s(G)成立。

    對(duì)于圖的符號(hào)邊控制數(shù),目前人們已獲得了許多界限,文獻(xiàn)[3]中我們確定了一個(gè)具有m條邊的簡(jiǎn)單圖的最小符號(hào)邊控制數(shù),即下面的引理1.2。

    引理1.2[3]設(shè)m≥1,ψ(m)表示m條邊圖的最小符號(hào)邊控制數(shù),則有

    由此引理,直接可得下面的引理1.3。

    引理1.3對(duì)任意圖G,若|E(G) |=m≥1,則有

    引理1.4[5]對(duì)任意圖G,若δ(G)≥1,則s(G)≥|V(G)| -|E(G) |,且此下界是最好可能的。

    雖然人們已獲得了符號(hào)邊控制數(shù)的眾多下界,由引理1.1知,這些下界均不能作為減邊控制數(shù)的下界,可見(jiàn)本文探討減邊控制數(shù)的下界是非常有意義的。此外,在現(xiàn)有的關(guān)于(G)的界限中,幾乎都是依賴(lài)于圖的階數(shù)、邊數(shù)、最大度和最小度,本文給出其依賴(lài)于邊度序列的界限,并利用導(dǎo)出子圖,通過(guò)(G)的下界來(lái)確定m(G)的下界。

    2 主要結(jié)果及其證明

    前面介紹了圖的邊度概念,一條邊e∈E(G)的邊度是指在圖G中與e相鄰的邊數(shù)。對(duì)于一個(gè)非空?qǐng)DG,若|E(G) |=m≥1,自然有邊度度序列()存在。同圖的(點(diǎn))度序列一樣,圖的邊度序列常記為,即按邊度的大小進(jìn)行排列。

    設(shè)G=(V,E)為一個(gè)非空?qǐng)D,S?E,f為圖G的一個(gè)符號(hào)邊控制函數(shù)或減邊控制函數(shù),為了方便,在本文中我們記f(S)=f(e)。

    定理2.1對(duì)任意圖G,若|E(G) |=m≥1且為其邊度序列。

    令k0=min,則有(G)≥2k0-m。

    證明設(shè)f為圖G的一個(gè)符號(hào)邊控制函數(shù),且使得(G)=f(E)。由定義1.1知,對(duì)于每一條邊e∈E,均有f(N[e])≥1,故f(N[e])≥m,從而有

    令:P={e∈E|f(e)=+1} ,M={e∈E|f(e)=-1} ,|P|=t,故有 |M|=m-t。

    將k0的定義與(2)式比較得t≥k0,因此,(G)=2t-m≥2k0-m,定理證畢。

    推論2.1對(duì)任意n階r-正則圖G,均有(G)≥。

    證明由于G為一個(gè)n階r-正則圖,易見(jiàn)=2r-2(1 ≤i≤m),由k0的定義中得到(2r-2)k-(2r-2)(m-k)≥2(m-k),故k≥m=,因此,k0≥。

    下面考慮圖的減邊控制數(shù)。與定理類(lèi)似地可得到下面的結(jié)論。

    定理2.2對(duì)任意圖G,若|E(G) |=m≥1且d′1 ≥d′2 ≥…≥d′m為其邊度序列。

    則γ′m(G)≥min。

    證明設(shè)f為圖G的一個(gè)減邊控制函數(shù),且使得(G)=f(E)。由定義1.2 知,對(duì)于每一條邊e∈E,均有f(N[e])≥1,故f(N[e])≥m,從而有

    令:P={e∈E|f(e)=+1} ,M={e∈E|f(e)=-1} ,Q={e∈E|f(e)=0} ,|P|=s,|M|=t,|Q|=m-s-t。由(3)式得

    推論2.2對(duì)任意n階r-正則圖G,均有(G)≥。

    證明由于G為n階r-正則圖,故=2r-2(1 ≤i≤m),代入定理2.2中得出(2r-2)(s-t)≥m-(s-t),故s-t≥,由定理2.2,推論2.2成立。

    下面用一個(gè)圖G的所有子圖的最小符號(hào)邊控制數(shù)來(lái)表達(dá)G的減邊控制數(shù)的下界。若H為圖G的一個(gè)子圖,則用H?G來(lái)表示。

    定理2.3對(duì)任意圖G,令π(G)=min{(H)|H?G} ,則(G)≥π(G)。

    證明設(shè)f為圖G=(V,E)的減邊控制函數(shù)且使得(G)=f(E),令X0={e∈E|f(e)=0} ,G0=G-X0

    可見(jiàn)f0=為圖G0的一個(gè)符號(hào)控制函數(shù),由于G0為G的子圖,從而有(G)=f(E)=f0(E(G0))≥γs(G0)≥π(G),定理證畢。

    由上述定理2.3可見(jiàn),一個(gè)圖G的減控制數(shù)不小于其所有子圖的最小符號(hào)控制數(shù),因此有下面的結(jié)論。

    定理2.4如果存在一個(gè)遞減函數(shù)φ(t) ,使得對(duì)任意正整數(shù)t和任意具有t條邊的圖H,均有(H)≥φ(t)成立,則對(duì)任意具有m條邊的圖G,均有(G)≥φ(m)。

    證明根據(jù)定理2.3,存在H?G,使得(H)=π(G)。令|E(H)| =r,故r≤m。

    上述定理2.4告訴我們,如果找到了一個(gè)對(duì)任意m條邊的圖G都成立的的下界φ(m),且φ(m)為m的遞減函數(shù),則φ(m)也可作為的下界。

    根據(jù)引理1.3,且注意到φ(m)=為一個(gè)關(guān)于m的遞減函數(shù)(m為非負(fù)整數(shù)),故由定理2.4可直接得到下面的定理。

    定理2.5對(duì)任意一個(gè)具有m(m≥1)條邊的圖G,均有(G)≥φ(m)=。

    3 若干注記

    定義3.1設(shè)φ=φ(G)是一個(gè)包含圖G的若干參數(shù)的解析式,如果對(duì)任意圖G的任意子圖H?G,均有φ(H)≥φ(G)成立,則稱(chēng)φ為圖的減性表達(dá)式,反之為增性表達(dá)式。

    根據(jù)定理2.3,可將定理2.4推廣為如下的結(jié)論。

    定理3.1如果存在一個(gè)關(guān)于圖的減性表達(dá)式φ,使得對(duì)任意圖H,均有(H)≥φ(H)成立,則對(duì)任意圖G,均有m(G)≥φ(G)。

    猜想對(duì)任意圖G,若δ(G)≥1,則有m(G)≥|V(G) |-|E(G) |。

    值得注意的是,類(lèi)似的方法也可用在點(diǎn)控制中,參見(jiàn)文獻(xiàn)[7],或許還可用在符號(hào)全控制中[8]及反符號(hào)邊控制[9],這有待于進(jìn)一步的研究。

    [1]幫迪J A,默迪V S R.圖論及其應(yīng)用[M].上海:科學(xué)技術(shù)出版社,1984:5-35.

    [2]HAYNES T W,HEDETNIEMI S T,SLATER P J.Domination in Graphs[M].New York:Marcel Dekker,Inc.,1998:32-41.

    [3]BAOGEN XU.On signed edge domination numbers of graphs[J].Discrete Math,2001,239:179-189.

    [4]徐保根.圖的控制理論[M].北京:科學(xué)出版社,2008:130-153.

    [5]BAOGEN XU.Two classes of edge domination in graphs[J].Discrete Appl Math,2006,154:1541-1546.

    [6]BAOGEN XU.On edge domination numbers of graphs[J].Discrete Math,2005,294:311-316.

    [7]BAOGEN XU.On minus domination and signed domination number in graphs[J].J of Math Res and Exposition,2003(4):586-590.

    [8]趙金鳳,徐保根. On signed edge total domination numbers of graphs[J]. J of Math Res and Exposition,2011,32(2):209-214.

    [9]徐保根.關(guān)于圖的反符號(hào)邊控制[J].華東交通大學(xué)學(xué)報(bào),2007,24(5):144-147.

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