資源約束下的反導(dǎo)任務(wù)迭代收斂特性

董 濤 劉付顯 李 響

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，西安710051)

張 輝

(93756部隊，張家口075100)

Dong Tao Liu Fuxian Li Xiang

(School of Air and Missile Defense，Air Force Engineering University，Xi’an 710051，China)

Zhang Hui

(93756 Military Unit，Zhangjiakou 075100，China)

反導(dǎo)作戰(zhàn)，簡稱“反導(dǎo)”，指使用反戰(zhàn)術(shù)彈道導(dǎo)彈武器系統(tǒng)抗擊敵戰(zhàn)術(shù)彈道導(dǎo)彈突擊的作戰(zhàn).反導(dǎo)作戰(zhàn)是復(fù)雜的信息化體系作戰(zhàn)，執(zhí)行反導(dǎo)任務(wù)的作戰(zhàn)資源，包括指控中心、預(yù)警衛(wèi)星、地基遠(yuǎn)程預(yù)警雷達、末段高層火力單元、末段低層火力單元等［1－2］.反導(dǎo)任務(wù)包含預(yù)警探測、目標(biāo)截獲、跟蹤識別、火力攔截、殺傷效果評估等，任務(wù)環(huán)環(huán)相扣，單一資源無法承擔(dān)全部反導(dǎo)任務(wù)［3］.作戰(zhàn)資源必須通過密切的信息交互進行協(xié)同作戰(zhàn)，分別承擔(dān)不同粒度的多類型反導(dǎo)任務(wù).

信息實時交互也導(dǎo)致大量迭代，大大增加了反導(dǎo)任務(wù)總量，并影響到任務(wù)執(zhí)行進度，如果不清楚任務(wù)總量迭代收斂機理，就無法合理規(guī)劃反導(dǎo)任務(wù).目前，關(guān)于任務(wù)總量及其迭代收斂性研究的文獻較少［4－5］.本文結(jié)合任務(wù)轉(zhuǎn)移矩陣，建立基于資源約束的任務(wù)總量模型，探究任務(wù)總量迭代收斂規(guī)律，為有效管理和控制反導(dǎo)任務(wù)提供了理論依據(jù).

1 任務(wù)轉(zhuǎn)移矩陣的建立

1.1 任務(wù)轉(zhuǎn)移矩陣分析

任務(wù)迭代過程包括任務(wù)返工概率和返工量兩方面.返工概率指任務(wù)以一定的概率引起其他任務(wù)的返工從而構(gòu)成循環(huán)，返工量指在循環(huán)中的某任務(wù)將以一定比例的任務(wù)量再次執(zhí)行.為有效管理與控制反導(dǎo)任務(wù)迭代，引入任務(wù)轉(zhuǎn)移矩陣(TTM，Task Transform Matrix)準(zhǔn)確度量任務(wù)之間的聯(lián)系與依賴程度.

任務(wù)轉(zhuǎn)移矩陣A是一個N×N維的矩陣，即 A=(aij)N×N，aij∈A，i，j=1，2，…，N.aij是任務(wù)轉(zhuǎn)移量系數(shù)，表示任務(wù)執(zhí)行過程中，任務(wù)Tj導(dǎo)致任務(wù)Ti進行aij個單位任務(wù)量的返工.任務(wù)轉(zhuǎn)移矩陣A的對角線元素定義為0，即aii=0.

1.2 任務(wù)轉(zhuǎn)移矩陣相關(guān)假設(shè)

任務(wù)轉(zhuǎn)移矩陣建立在如下假設(shè)［6］基礎(chǔ)上:

1)第1次迭代時所有任務(wù)并行執(zhí)行，而在隨后的迭代過程中按照返工概率執(zhí)行;

2)在每一個迭代階段，上次迭代未完成的任務(wù)量再次全部執(zhí)行;

3)任務(wù)轉(zhuǎn)移量系數(shù)保持不變，由于迭代次數(shù)的增加，引起相應(yīng)的返工概率和返工量發(fā)生變化，但多數(shù)情況下返工狀態(tài)在第1次返工后不發(fā)生太大變化;

4)每一任務(wù)收到其他任務(wù)的信息交互請求時作為一次迭代的開始，直到該任務(wù)收到下一次請求再進行下一次迭代.

2 任務(wù)總量的迭代收斂機理

2.1 任務(wù)總量模型

反導(dǎo)任務(wù)是動態(tài)變化的，信息實時傳遞和反饋所產(chǎn)生的大量迭代，大大增加了任務(wù)總量.如果不清楚任務(wù)總量變化趨勢及其收斂規(guī)律，就無法合理規(guī)劃反導(dǎo)任務(wù).根據(jù)假設(shè)3)，令ρ(0≤ρ≤1)表示剩余任務(wù)總量每次迭代完成比例，每次均保持定值［4－5］.

其中，(1－ρ)Ut為第 t個單位時間內(nèi)，因資源、時間等約束而遺留給第t+1個單位時間的剩余任務(wù)量;ρAUt為第t+1個單位時間需要返工的任務(wù)量;(1－ρ)Ut與ρAUt之和構(gòu)成了第t+1個單位時間的任務(wù)總量Ut+1.

令UTotal表示需要完成的任務(wù)總量，是整個迭代過程中，任務(wù)向量對應(yīng)元素之和.令 A*=(1－ρ)I+ρA，則 Ut=(A*)tU0.

對于任務(wù)轉(zhuǎn)移矩陣A，若存在線性無關(guān)的向量S使得

其中，Λ為以A的各個特征值λi(i=1，2，…，N)為主對角元素的對角矩陣，稱為特征結(jié)構(gòu)矩陣;S為λi(i=1，2，…，N)對應(yīng)的特征向量組成的矩陣，稱為特征向量矩陣.

其中，I為N×N的單位矩陣;Λ*為A*的特征結(jié)構(gòu)矩陣，Λ*=(1－ρ)I+ρΛ.

根據(jù)式(2)～式(4)，得式(5):

通過任務(wù)總量模型的對角化，建立UTotal與Λ*及S的關(guān)系.UTotal的收斂性取決于Λ*主對角元素，可根據(jù)A*的矩陣收斂特性對UTotal進行收斂性判定.

2.2 迭代收斂規(guī)律

引入任務(wù)轉(zhuǎn)移模型的目的在于研究任務(wù)總量迭代收斂規(guī)律.Λ*是任務(wù)總量模型的核心，其對角元素決定了任務(wù)總量的收斂特性的大小定性反映了收斂趨勢和速度.

由式(6)可知，任務(wù)總量UTotal的大小取決于λi和 ρ的取值.當(dāng) λi∈(－∞，1］時，A*的特征值(1－ρ+ρλi)大于 A 的各個特征值 λi.當(dāng) λi→1 時，任務(wù)總量UTotal隨之不斷變大，收斂速度逐漸減緩.其次，因每次迭代僅完成一定比例ρ(0≤ρ≤1)的任務(wù)量，所以λi為定值的情況下，隨著ρ→1，UTotal逐漸減小，迭代收斂速度加快.

2.3 資源約束的影響

協(xié)同反導(dǎo)作戰(zhàn)過程中，作戰(zhàn)資源是有限的，資源約束是難以避免的.不合理的資源分配必然會影響反導(dǎo)作戰(zhàn)能力、降低任務(wù)總量收斂速度，從而延誤戰(zhàn)機.為更有效地協(xié)同完成反導(dǎo)任務(wù)，必須綜合平衡作戰(zhàn)資源和任務(wù)總量、任務(wù)執(zhí)行時間之間的矛盾［7］.

作戰(zhàn)資源是影響任務(wù)總量迭代收斂的重要因素.承擔(dān)反導(dǎo)任務(wù)的各個資源平臺存在著不同的作戰(zhàn)效率上限vi，max.當(dāng)任務(wù)總量為定值時，在滿足資源約束的條件下，以最短的時間為優(yōu)化目標(biāo)，可得到不同作戰(zhàn)資源的最佳效率值.任務(wù)總量UTotal與作戰(zhàn)資源的任務(wù)執(zhí)行效率V、作戰(zhàn)時間T的關(guān)系可表示為式(7).

其中，V=diag(v1，v2，…，vN)，vi為任務(wù) Ti的執(zhí)行效率，表示單位時間內(nèi)完成的任務(wù)量;T=(t1，t2，…，tN)T是N×1維的時間向量，ti表示完成任務(wù)Ti消耗的時間單位.

在資源約束下，作戰(zhàn)時間模型如式(8)所示.

根據(jù)式(8)，得到任務(wù)的最佳效率值vi，optimal.由 vi，optimal得到任務(wù)關(guān)鍵度 iimportant，如式(9)所示.

iimportant綜合考慮了作戰(zhàn)資源的最優(yōu)效率和最大作戰(zhàn)效率，精確描述了各任務(wù)不同的作戰(zhàn)能力需求.可根據(jù)iimportant衡量任務(wù)的關(guān)鍵度，調(diào)整資源配置狀態(tài)，優(yōu)化任務(wù)執(zhí)行順序，提高任務(wù)總量UTotal的迭代收斂速度，縮短任務(wù)執(zhí)行時間.

3 案例分析

以5個敵戰(zhàn)術(shù)彈道導(dǎo)彈來襲時的反導(dǎo)作戰(zhàn)為例，整個反導(dǎo)任務(wù)可抽象為5個任務(wù)［8］，因時間和資源的約束作用［9－10］，任務(wù)之間相互影響、相互制約.5個反導(dǎo)任務(wù)之間的聯(lián)系如圖1所示.

圖1 反導(dǎo)任務(wù)之間的聯(lián)系

基于圖形的建模方法雖然能直觀地表達任務(wù)之間的信息交互關(guān)系，但當(dāng)任務(wù)規(guī)模相對龐大和復(fù)雜時，任務(wù)間的關(guān)系也因此變得復(fù)雜，不利于深入分析任務(wù)之間的相互影響和作用程度.

采用矩陣的形式描述任務(wù)關(guān)系，靈活且易于理解，便于計算.用模糊數(shù)來評定任務(wù)關(guān)聯(lián)程度，建立任務(wù)轉(zhuǎn)移矩陣，度量時序和信息對任務(wù)的影響度，揭示了反導(dǎo)任務(wù)的復(fù)雜關(guān)系.根據(jù)圖1，確定反導(dǎo)任務(wù)的任務(wù)轉(zhuǎn)移矩陣A，如式(10)所示.

由式(6)可知，UTotal與ρ成反比關(guān)系.當(dāng)ρ=1時，任務(wù)總量UTotal最小，即:

圖2 任務(wù)向量的變化趨勢

在第1個單位時間內(nèi)，由于任務(wù)間的相互影響和制約，任務(wù)3和任務(wù)5的任務(wù)量變大.但隨著任務(wù)總量的迭代收斂，各任務(wù)向量逐漸收斂，任務(wù)之間的關(guān)系隨之簡化，復(fù)雜度不斷降低.

作戰(zhàn)資源是有限的，資源約束如式(11)所示.

根據(jù)式(8)和式(9)，計算最佳效率值vi，optimal和任務(wù)關(guān)鍵度iimportant，如表1所示.

表1 任務(wù)的執(zhí)行順序

任務(wù)關(guān)鍵度越大，說明該任務(wù)消耗的作戰(zhàn)資源和時間越多.由表1可得，任務(wù)3和任務(wù)4的關(guān)鍵度最大，其需求的作戰(zhàn)資源在達到最大效率的情況下，才能在規(guī)定時間內(nèi)完成此任務(wù).所以，任務(wù)3和任務(wù)4是關(guān)鍵任務(wù)，必須優(yōu)先執(zhí)行.而任務(wù)5的關(guān)鍵度最小，可最后執(zhí)行，并且配置的作戰(zhàn)能力過剩，存在著比較嚴(yán)重的作戰(zhàn)資源浪費.因此，通過動態(tài)優(yōu)化資源配置，能有效控制任務(wù)總量及其迭代收斂速度.

4 結(jié) 束 語

針對反導(dǎo)任務(wù)總量及其迭代收斂問題，本文引入任務(wù)量完工比例參數(shù)，建立任務(wù)轉(zhuǎn)移矩陣，定量描述反導(dǎo)任務(wù)的復(fù)雜聯(lián)系和作用強度.再建立任務(wù)總量模型，深入研究任務(wù)總量迭代收斂規(guī)律.在資源約束條件下，優(yōu)化任務(wù)優(yōu)先級，減少因迭代產(chǎn)生的返工和重復(fù)任務(wù)，有效縮減任務(wù)總量，縮短任務(wù)執(zhí)行時間.本文對作戰(zhàn)過程進行了一定程度的簡化，需進一步研究反導(dǎo)任務(wù)的迭代次數(shù)、動態(tài)特性和任務(wù)轉(zhuǎn)移矩陣精確度等問題.

References)

［1］Office of the Secretary of defense Washington DC.Ballistic missile defense review report［R］.ADA514210，2010

［2］Chaplain C.Missile defense:actions needed to improve transparency and accountability［R］.ADA540825，2011

［3］劉興，梁維泰，趙敏.一體化空天防御系統(tǒng)［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2011:296－308 Liu Xing，Liang Weitai，Zhao Min.Integrated aerospace defense system［M］.Beijing:NationalDefense Industry Press，2011:296－308(in Chinese)

［4］孫曉斌，肖人彬，李莉.并行設(shè)計中任務(wù)量與時間模型的探討［J］.中國機械工程，1999，10(2):207－210 Sun Xiaobin，Xiao Renbin，Li Li.Explore on the workload model and the total consumption model of the planning of concurrent design［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，1999，10(2):207－210(in Chinese)

［5］邢樂斌，王旭，代應(yīng).協(xié)同產(chǎn)品設(shè)計過程中任務(wù)量的迭代收斂特征分析［J］.計算機集成制造系統(tǒng)，2008，14(12):2297－2300 Xing Lebin，Wang Xu，Dai Ying.Iteration convergence of task load in collaborative product design ［J］.Computer Integrated Manufacturing Systems，2008，14(12):2297－2300(in Chinese)

［6］陳庭貴，肖人彬.基于內(nèi)部迭代的耦合任務(wù)集求解方法［J］.計算機集成制造系統(tǒng)，2008，14(12):2375－2383 Chen Tinggui，Xiao Renbin.Coupled task set solving method based on inner iteration［J］.Computer Integrated Manufacturing Systems，2008，14(12):2375－2383(in Chinese)

［7］楊飛，王青，吳振東.資源約束條件下艦艇編隊多智能體協(xié)作規(guī)劃［J］.北京航空航天大學(xué)學(xué)報，2011，37(2):210－215 Yang Fei，Wang Qing，Wu Zhendong.Formation cooperative planning method based on multiagent with resource constraints［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2011，37(2):210－215(in Chinese)

［8］O′NeillE J.Missile defense strategic stationing［R］.ADA542858，2011

［9］趙振宇，盧廣山，廖沫，等.基于DTC和GPGP的多UCAV任務(wù)規(guī)劃方法［J］.北京航空航天大學(xué)學(xué)報，2011，37(3):305－310 Zhao Zhenyu，Lu Guangshan，Liao Mo，et al.Mission planning of multiple UCAV based on DTC and GPGP［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2011，37(3):305－310(in Chinese)

［10］Yang C H，Liu J X，Chen H H，et al.Adaptive optimization of agile organization of command and control resource［J］.Journal of Systems Engineering and Electronics，2009，20(3):558－564