具有雙相依結(jié)構(gòu)的信度估計(jì)

騰 葉, 吳黎軍

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 新疆 烏魯木齊 830046)

在保險(xiǎn)實(shí)踐中，確定合適的保費(fèi)是一項(xiàng)很重要的工作，如何對產(chǎn)品進(jìn)行科學(xué)合理的定價(jià)往往是保險(xiǎn)公司最為關(guān)心的問題．對非壽險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)時(shí)，經(jīng)常遇到很多不確定性因素，因此非壽險(xiǎn)產(chǎn)品的定價(jià)比壽險(xiǎn)產(chǎn)品的定價(jià)要困難得多．在非壽險(xiǎn)領(lǐng)域，其定價(jià)的基本方法是基于信度理論．信度理論就是通過結(jié)合各投保人的風(fēng)險(xiǎn)特性(先驗(yàn)信息)及其索賠經(jīng)歷(樣本信息)來合理地確定保費(fèi)，信度保費(fèi)公式為：信度保費(fèi)=Z*樣本信息+(1-Z)*先驗(yàn)信息．文獻(xiàn)[1]首次基于貝葉斯的理論建立了任意分布下凈保費(fèi)的信度估計(jì)，從而為信度理論的發(fā)展奠定了統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)，關(guān)于信度理論的詳細(xì)介紹可以參考文獻(xiàn)[2]．

在相當(dāng)長的一段時(shí)間內(nèi)，信度理論極大地依賴于風(fēng)險(xiǎn)之間的獨(dú)立性以及在時(shí)間分量上的條件獨(dú)立性．因此很多學(xué)者在討論信度保費(fèi)時(shí)，一般都假設(shè)各風(fēng)險(xiǎn)組之間是相互獨(dú)立的．但在現(xiàn)實(shí)中，這些獨(dú)立性假設(shè)有時(shí)候是不成立的．事實(shí)上，在大多數(shù)情況下風(fēng)險(xiǎn)之間都存在相依性，各保險(xiǎn)合同之間的索賠具有較強(qiáng)的相依性．例如，地域相鄰的兩棟承保房屋面臨著共同的火災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)，夫妻之間的壽命也呈現(xiàn)相依性，汽車保險(xiǎn)中的一次交通事故可能導(dǎo)致多個(gè)承保車輛受損索賠等等．自20世紀(jì)90年代后期以來，關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)之間相依性的研究受到了越來越多的精算學(xué)者的關(guān)注，例如文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]；文獻(xiàn)[5]提出了一種具有共同效應(yīng)的隨機(jī)變量，并建立了風(fēng)險(xiǎn)之間呈現(xiàn)某種相依結(jié)構(gòu)的信度模型，得到了正態(tài)分布下的信度公式；文獻(xiàn)[6]提出了共同效應(yīng)依賴結(jié)構(gòu)下的Bühlmann和Bühlmann-straub模型，并得到了無分布情形下的信度保費(fèi)估計(jì)．由于在經(jīng)典的信度理論中，假定不同年份的索賠序列有共同的風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)Θ，在風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)給定情況下，不同年份的索賠相互獨(dú)立且具有相同的分布，沒有考慮不同年份之間風(fēng)險(xiǎn)的時(shí)間變化效應(yīng)．所以文獻(xiàn)[7]研究了誤差等相關(guān)情況下的信度模型，考慮了不同年份索賠的風(fēng)險(xiǎn)之間具有等相關(guān)的信度模型，得到了相應(yīng)的信度估計(jì)．文獻(xiàn)[8]利用信度理論方法研究了具有時(shí)間變化效應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)的估計(jì)問題；文獻(xiàn)[9]建立了索賠頻率風(fēng)險(xiǎn)模型，并得到了時(shí)間效應(yīng)為自相關(guān)時(shí)間序列時(shí)的信度估計(jì)；文獻(xiàn)[10-11]在Poisson索賠頻率風(fēng)險(xiǎn)模型中討論了相依結(jié)構(gòu)對信度估計(jì)的影響；文獻(xiàn)[12]在時(shí)間效應(yīng)Student-t copula假設(shè)下研究了信度估計(jì)．

本文在綜合分析已有研究文獻(xiàn)基礎(chǔ)上，綜合考慮各風(fēng)險(xiǎn)組之間的共同效應(yīng)和不同年份之間風(fēng)險(xiǎn)的時(shí)間變化效應(yīng)來討論相應(yīng)的信度估計(jì)．

1 模型的準(zhǔn)備與模型假設(shè)

minE[Xi,n+1-g(X1,X2,…，XK)]2

(1)

其中解g*(X1,X2,…，XK)在信度理論中稱為Bayes保費(fèi).在信度理論中，將最優(yōu)化問題(1)中的函數(shù)g限制在樣本X1,X2，…，XK的線性函數(shù)中，定義非其次線性函數(shù)

(2)

和齊次線性函數(shù)

(3)

本文從兩個(gè)方面進(jìn)行延伸，第一，考慮各風(fēng)險(xiǎn)組之間具有共同效應(yīng)的依賴結(jié)構(gòu)；第二，考慮個(gè)體保單具有時(shí)間變化效應(yīng)，假設(shè)時(shí)間變化效應(yīng)由某種相關(guān)矩陣刻畫.在綜合考慮二者共同作用的情況下來討論相應(yīng)的信度估計(jì).

本文的目的是建立具有雙相依結(jié)構(gòu)的信度模型，假設(shè)保單組合風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)為Θ且風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)為隨機(jī)變量，預(yù)測保單組合在未來一年的索賠Xi,n+1.但與經(jīng)典的信度理論不同，本文假定索賠隨機(jī)變量Xij(i=1,2,…，k,j=1,2,…，n)有各自的風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)Θij且這些風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)具有某種相依結(jié)構(gòu).

1.1 假設(shè)和符號說明

假設(shè)1存在一個(gè)共同潛在變量Λ來表示保單組合之間的共同效應(yīng)，隨機(jī)變量Θi,i=1，…，k表示個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)特點(diǎn)；給定Λ，隨機(jī)向量(Xi,Θi),i=1，…，k是獨(dú)立同分布的.對于確定的i,給定共同效應(yīng)Λ，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)Θij=θ時(shí)，索賠隨機(jī)變量Xi1,Xi2,…，Xin是獨(dú)立同分布的.同時(shí)，本文將經(jīng)典的假設(shè)

E(Xij|Θij,Λ)=μ(Θij,Λ) cov(Xij|Θij,Λ)=σ2(Θij,Λ)

改為更廣義假設(shè)

E(Xij|Θij,Λ)=βjμ(Θij,,Λ) cov(Xij|Θij,Λ)=γj(Θij,Λ)+ψjσ2(Θij,Λ)

用來討論更一般的形式.

1.2 其他模型符號說明

μ1=E(μ1(Λ))，γj(Λ)=E[γj(Θij,Λ)|Λ],γj=E[γj(Λ)].

下面我們陳述一些引理，便于以下應(yīng)用.

引理1隨機(jī)變量Y在線性空間L(X,1)和Le(X)上的正交投影分別為非其次和齊次信度估計(jì)，即有

其中∑YX是Y與X的協(xié)方差矩陣.

引理2對任意閉集M′?M?L2和Y?L2則proj(Y|M′)=proj(proj(Y|M)|M′).

引理3設(shè)A,B,C,D是適當(dāng)階數(shù)的矩陣，則有下面的求逆公式

(A+BCD)-1=A-1-A-1B(C-1+DA-1B)-1DA-1

證明可見文獻(xiàn)[13].

2 非齊次信度保費(fèi)估計(jì)

定理1在以上假設(shè)條件和符號標(biāo)記下，Xi,n+1,i=1,…，k的最佳線性非齊次估計(jì)為

(4)

證明記τ=(τ1,…,τn)′，β=(β1,…，βn)′，v=(β1τ1,…，βnτn)′，首先可以得到E(Xij)=βjμ1,i=1，…，k,j=1，…，n.運(yùn)用方差的條件期望公式有

cov(Xi,n+1,X)=E[cov(Xi,n+1,X|Θ,Λ)]+cov[E(Xi,n+1,X|Θ,Λ)]

(5)

因?yàn)閏ov(Xi,n+1,X|Θ,Λ)=0,所以未來索賠隨機(jī)變量和過去索賠隨機(jī)變量的協(xié)方差為

cov(Xi,n+1,X)=cov[E(Xi,n+1|Θi,n+1,Λ),E(X|Θ,Λ)]=

cov[βn+1μ(Θi,n+1,Λ),(β1μ(Θ11,Λ),…，βnμ(Θ1n,Λ),…，β1μ(Θk1,Λ),…，βnμ(Θkn,Λ))]=

E{cov[βn+1μ(Θi,n+1,Λ),(β1μ(Θ11,Λ),…，βnμ(Θ1n,Λ),…，β1μ(Θk1,Λ)，…，βnμ(Θkn,Λ))|Λ]}+

cov{E[βn+1μ(Θi,n+1,Λ),(β1μ(Θ11,Λ),…，βnμ(Θ1n,Λ),…，β1μ(Θk1,Λ),…，βnμ(Θkn,Λ))|Λ]}=

(6)

其中，ei是第i個(gè)位置為1其余位置為0的n維列向量，1n是n個(gè)元素全為1的列向量.

通過簡單計(jì)算可得隨機(jī)向量X的方差為

(7)

由引理3矩陣求逆公式得

(8)

(9)

結(jié)合(6)式和(9)式可以得到

(10)

(11)

此時(shí)有信度保費(fèi)

此時(shí)信度估計(jì)成為

(12)

即它是Bühlmann信度估計(jì)，因此定理可以看成是經(jīng)典信度理論的推廣.

3 齊次信度保費(fèi)估計(jì)

下面將討論多合同模型中齊次的信度估計(jì)，敘述定理如下.

定理2在以上假設(shè)條件和符號標(biāo)記下，Xi,n+1,i=1,…，k的最佳線性齊次估計(jì)為

(13)

證明由引理2正交投影的平滑性，有

proj(Xi,n+1|Le(X))=proj(proj(Xi,n+1|L(X,1))|Le(X))

(14)

(15)

根據(jù)以上結(jié)論可得

所以有

4 結(jié)束語

本文利用信度理論的方法，綜合考慮各風(fēng)險(xiǎn)組之間的共同效應(yīng)和不同年份之間風(fēng)險(xiǎn)的時(shí)間變化效應(yīng)，來討論相應(yīng)的信度估計(jì)，分別得到了多合同模型下的非齊次和齊次信度保費(fèi)估計(jì)，并給出了相應(yīng)的信度保費(fèi)表達(dá)式.結(jié)果表明，所得到的信度公式具有經(jīng)典的信度形式，避免了獨(dú)立性的限制，這一結(jié)果推廣了經(jīng)典的信度模型．

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