案例教學(xué)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

陳永鵬

【摘 要】在應(yīng)用型人才的培養(yǎng)過程中， 案例教學(xué)有著極其重要的作用。尤其在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，案例教學(xué)法能更好地培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析和解決實(shí)際問題的能力。在課堂中如何運(yùn)用好案例教學(xué)值得我們探討。

【關(guān)鍵詞】案例教學(xué)；高等數(shù)學(xué)

所謂案例教學(xué)， 就是教育者根據(jù)一定的教育目的， 以案例為基本教學(xué)材料， 將學(xué)習(xí)者引進(jìn)教育實(shí)踐的情境中， 通過師生之間、學(xué)生之間的多向互動(dòng)、平等對(duì)話和積極研討等形式， 提高學(xué)習(xí)者面對(duì)復(fù)雜教學(xué)情境的決策能力和行動(dòng)能力的一系列教學(xué)方式的總和。。

案例教學(xué)真正作為一種教學(xué)方法的形成和運(yùn)用發(fā)生于20世紀(jì)初美國哈佛大學(xué)的醫(yī)學(xué)院和法學(xué)院，之后案例教學(xué)法開始被應(yīng)用于管理課程的教學(xué)中，在哈佛大學(xué)高年級(jí)的綜合性管理課程中，有些教授甚至把案例教學(xué)作為主要的教學(xué)方法。隨著案例教學(xué)法在法學(xué)、軍事學(xué)、社會(huì)學(xué)和教育學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域各個(gè)學(xué)科教學(xué)中的廣泛應(yīng)用，其內(nèi)容、方法和經(jīng)驗(yàn)也越來越豐富和完善。尤其是哈佛大學(xué)商學(xué)院案例教學(xué)法的成功運(yùn)用和實(shí)施，培養(yǎng)出了大批杰出的工商界人才，使得案例教學(xué)法成為一種風(fēng)靡全球的、被認(rèn)為是代表未來教育方向的先進(jìn)教學(xué)模式。

高等數(shù)學(xué)是工科，理科，經(jīng)管類各專業(yè)核心課程之一， 是最重要的一門基礎(chǔ)課， 對(duì)各專業(yè)后續(xù)課程的學(xué)習(xí)有著至關(guān)重要的作用. 但由于高等數(shù)學(xué)的抽象性和邏輯性使許多大學(xué)生對(duì)它望而卻步， 加上高等數(shù)學(xué)研究問題的手法與初等數(shù)學(xué)不同， 使許多學(xué)生不易入門，從而學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣大大降低。要激發(fā)學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，關(guān)鍵要做到兩點(diǎn)，一是很自然的引進(jìn)一些數(shù)學(xué)概念，最好從平時(shí)生活中找到概念的原型；二是要知道數(shù)學(xué)中的基本概念，定理在現(xiàn)實(shí)中怎么用。而案例教學(xué)就強(qiáng)調(diào)了這兩點(diǎn)在教學(xué)中的應(yīng)用。所以在在教學(xué)過程中適當(dāng)?shù)匾肱c課堂知識(shí)相關(guān)的簡(jiǎn)單“數(shù)學(xué)模型案例”，是行之有效的方法。

案例教學(xué)法在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中主要有以下幾個(gè)步驟。

1. 提出問題。在引進(jìn)某個(gè)概念的時(shí)候，一定先從一個(gè)簡(jiǎn)單的例子入手，這樣不會(huì)使概念出來的太突兀。從案例入手提出的概念，使之成為有源之水，接受起來很自然，對(duì)概念理解也相對(duì)深刻。例如在講定積分的定義的時(shí)候，我們可以先從如何求由連續(xù)曲線， 圍成的曲邊梯形的面積入手。

2. 分析問題。如何求曲邊梯形的面積沒有現(xiàn)成的公式可用，這是一個(gè)未知的問題，如何把這樣的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，是問題的關(guān)鍵。我們知道，矩形的面積是底乘以高，而曲邊梯形與矩形的區(qū)別在于高的變化。如果我們把底分成一些小區(qū)間，得到一些小曲邊梯形，可以近似看成小矩形，從而算出面積近似值。分割越細(xì)，則近似值與真實(shí)值越接近，從而可以通過極限求出曲邊梯形的面積。

3. 解決問題。分析完問題以后，引進(jìn)相應(yīng)的數(shù)學(xué)符號(hào)。從而可以得到曲邊梯形面積的表達(dá)式為 這是通過一個(gè)例子給出了定積分的定義，還要把具體問題中的定義一般化。

4. 問題一般化。再舉出一個(gè)求路程的問題，其求解思路與求面積一樣，把求解過程一般化，就可以得到定積分的定義。

5.應(yīng)用。給出定積分的定義以后，可以看一下定積分的應(yīng)用，例如如何用定積分求經(jīng)濟(jì)問題中的收益流的現(xiàn)值與將來值，如何用定積分求解物理中的變力做功問題，液體壓力問題等等。

在講授高等數(shù)學(xué)中的經(jīng)典的定理的時(shí)候也可以運(yùn)用案例教學(xué)，用得好的話，可以使定理生動(dòng)形象，會(huì)給學(xué)生留下深刻印象，例如我們?cè)谥v授零點(diǎn)存在性定理的時(shí)候就可以很好的利用案例教學(xué)法。

1.提出問題。對(duì)任意給定的一個(gè)凸多邊形，能不能找到一條直線，把這個(gè)凸多邊形分成面積相等的兩部分。

2.分析問題。剛看到這個(gè)問題的時(shí)候覺著無從下手，我們可以先考慮正方形，正方形是可以做到的。做一條平行于兩對(duì)邊的直線，直線從一邊開始平行移動(dòng)，直線左邊的面積，由零逐漸變大，到一半的位置時(shí)，直線左邊的面積與右邊的面積相等，再繼續(xù)移動(dòng)的話，左邊的面積逐漸變大，最后變成整個(gè)正方形的面積，而直線右邊的面積是相反的過程。我們把這兩個(gè)面積相減，當(dāng)差為零時(shí)，則直線平分正方形的面積。類似的想法用到上述問題中，考慮一條豎直直線從左至右掃過整個(gè)凸多邊形，則凸多邊形位于直線左邊的那部分面積由0 逐漸增大為整個(gè)凸多邊形的面積，直線右側(cè)的面積則由最初的整個(gè)凸多邊形的面積逐漸變?yōu)?。它們的面積差有負(fù)數(shù)變成正數(shù)，則應(yīng)該存在一個(gè)點(diǎn)，使面積差為零，也就是存在一條直線平分凸多邊形。

3.解決問題。引進(jìn)相應(yīng)的數(shù)學(xué)符號(hào)，若把直線左側(cè)的面積記為，直線右側(cè)的面積記為，則隨著直線位置x在一個(gè)區(qū)間[a，b]內(nèi)變化，的值由一個(gè)負(fù)數(shù)連續(xù)地變?yōu)榱艘粋€(gè)正數(shù)，它一定經(jīng)過了一個(gè)零點(diǎn)，則在某一時(shí)刻一定有。

4.問題一般化。經(jīng)過分析，上述問題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)連續(xù)函數(shù)在有限閉區(qū)間上連續(xù)，且該函數(shù)在兩端點(diǎn)的函數(shù)值相反，則該函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)部有零點(diǎn)。利用介值定理我們可以證明出該定理。

5.應(yīng)用。給出該定理以后，可以利用它來證明方程解的存在性，這些理論上的東西。還可以和實(shí)際生活聯(lián)系起來，例如一塊邊界形狀任意的蛋糕，若在蛋糕上取一點(diǎn)，能否過這點(diǎn)切一刀，使切下的2 塊蛋糕面積相等？這些看似和數(shù)學(xué)毫無關(guān)系的實(shí)例，就這樣通過數(shù)學(xué)建模的手段轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)存在定理來解決，從而被當(dāng)堂所講的知識(shí)輕而易舉地解決了。

在高等數(shù)學(xué)中案例教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)可以體會(huì)到以下幾點(diǎn)。

1.運(yùn)用案例教學(xué)，能很自然引進(jìn)數(shù)學(xué)概念，可以使抽象的數(shù)學(xué)概念具體化，使學(xué)生理解的概念是活生生的例子，從而使學(xué)習(xí)高數(shù)的門檻降低，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而有利于學(xué)生理解概念的本質(zhì)。

2. 運(yùn)用案例教學(xué)，能使學(xué)生知道數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)定理在現(xiàn)實(shí)生活、工作中如何應(yīng)用。舉一些學(xué)生所熟悉的案例， 給學(xué)生造成身臨其境的感覺， 加深感性認(rèn)識(shí)。引導(dǎo)學(xué)生理論與實(shí)際的聯(lián)系中去理解知識(shí)， 并運(yùn)用知識(shí)去分析問題和解決問題， 使學(xué)生在一定程度上感覺到數(shù)學(xué)知識(shí)的用途，從而可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)，打下良好的基礎(chǔ)。

3.使用好案例教學(xué)，要求教師要有扎實(shí)的理論功底和豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，這就需要老師在課下好好準(zhǔn)備案例，多想想如何把數(shù)學(xué)概念應(yīng)用到實(shí)際問題中去，從而可以提高老師自身的素養(yǎng)。從而達(dá)到教學(xué)互動(dòng)、教學(xué)相長的效果。

4.案例教學(xué)的應(yīng)用為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)能起到良好的很好的鋪墊作用，為專任老師更好的上專業(yè)課打下良好的基礎(chǔ)。例如在運(yùn)籌學(xué)中有最優(yōu)訂購模型時(shí)，我們?cè)诟邤?shù)中的極值問題中就可以順便講這個(gè)模型，得到經(jīng)濟(jì)批量公式。知道這個(gè)模型的處理方式后，在運(yùn)籌學(xué)中講解其他相似的模型的時(shí)候就非常方便，學(xué)生接受起來就很容易。

5. 案例教學(xué)有利于培養(yǎng)良好的師生關(guān)系，在傳統(tǒng)的教學(xué)方式下， 教師在課堂上講課，學(xué)生坐在下面聽，記筆記，很少有交流與溝通。從而使老師與學(xué)生之間有隔閡，學(xué)生害怕與老師交流，不利于老師教學(xué)與學(xué)生的學(xué)習(xí)。而實(shí)行案例教學(xué)， 意味著師生之間有了更多的交流， 意味著每個(gè)人都有發(fā)表自己觀點(diǎn)、見解的機(jī)會(huì)和權(quán)利。這樣必然有助于培養(yǎng)一種互相尊重， 民主平等的新型師生關(guān)系， 而這種新型師生關(guān)系的形成反過來會(huì)進(jìn)一步促進(jìn)教學(xué)工作朝良性循環(huán)發(fā)展。

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