一類非自治混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)時(shí)滯反饋同步控制

葉志勇，吳 用，劉 原

(重慶理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400054)

混沌控制與同步是目前非線性科學(xué)研究的一個(gè)重要內(nèi)容。近幾十年，混沌系統(tǒng)的控制與同步吸引了很多專家學(xué)者的重點(diǎn)關(guān)注。經(jīng)過科學(xué)家們努力的研究，多種研究混沌控制的方法被提出來了，如自適應(yīng)同步控制法［1-4］、參數(shù)變分控制法、狀態(tài)反饋控制法、時(shí)滯反饋控制法［5-8］、最優(yōu)控制法、魯棒控制法等，這些方法已被應(yīng)用到了信息科學(xué)、醫(yī)學(xué)、生物等領(lǐng)域，并且取得了很多的成果。到目前為止，混沌控制的研究都集中非時(shí)滯和時(shí)滯的反饋控制這2個(gè)方面［9-10］。由于控制系統(tǒng)中考慮時(shí)滯會(huì)使得證明的過程具有一定的復(fù)雜性，所以對(duì)含時(shí)滯的研究還比較少。然而，在實(shí)際的應(yīng)用中，時(shí)滯現(xiàn)象是普遍存在的，因此不能忽視。本文提出了一種n維非自治系統(tǒng)自適應(yīng)時(shí)滯反饋控制的方法，通過選取一個(gè)合適的自適應(yīng)反饋控制器，構(gòu)造特殊形式的Lyapunov函數(shù)，給出了一類非自治混沌系統(tǒng)的全局自適應(yīng)同步的判據(jù)。最后把理論的結(jié)果應(yīng)用于有名的杜芬振子，用數(shù)值模擬驗(yàn)證結(jié)論的正確性。

1 問題的提出

1.1 預(yù)備知識(shí)

1)A＞0表示A為正定矩陣，A≥0表示A為半正定矩陣。

2)λmax(A)表示矩陣A的最大特征值，λmin(A)表示矩陣A的最小特征值。

5)引理1(Barbalat’s Lemma)［11-12］假設(shè)函數(shù)f(t)是一個(gè)一致連續(xù)函數(shù)存在且有界，因此當(dāng)t→+∞時(shí)，f(t)→0。

6)定義1 Lip(G)指一類含有利普希茨常數(shù)G的利普希茨連續(xù)函數(shù)。

7)定義 2［13］令 P=diag{ pp…，p}是一個(gè)正定的對(duì)角矩陣，Δ =diag{ δ，δ，…，δ}是一個(gè)對(duì)角矩1，2，n12n陣。QUAD(Δ，P)指一類連續(xù)函數(shù) f(t，x):[0，+∞)× Rn→Rn滿足:對(duì)某一個(gè) ε ＞0，所有的 x，y∈Rn和t＞0，有(x-y)TP {[f(t，x)-f(t，y )]-Δ[ x-y]}≤-ε(x-y)T(x-y)成立。

1.2 數(shù)學(xué)模型及控制器設(shè)計(jì)

給定n維非自治混沌系統(tǒng):

其中:x(t)∈Rn，x(t)=(x1(t)，x2(t)，…，xn(t))T是系統(tǒng)(1)的狀態(tài)變量;A為n階常數(shù)方陣;f(t，x)為[0，+∞)×Rn→Rn的非線性連續(xù)函數(shù);f(t，x)是一個(gè)非線性函數(shù)。

現(xiàn)在考慮主系統(tǒng)具有方程(1)這樣的表達(dá)式，且主系統(tǒng)是一個(gè)混沌系統(tǒng)。再給出一個(gè)從系統(tǒng)的表達(dá)式:

其中:y(t)=y1(t)，y2(t)，…，yn(t)是從系統(tǒng)的狀態(tài)變量;u是一個(gè)時(shí)滯自適應(yīng)控制器;τ＞0為常數(shù)時(shí)滯;A為n階常數(shù)方陣。

研究的目標(biāo)就是給從系統(tǒng)(2)設(shè)計(jì)一個(gè)合適的控制器，使得從系統(tǒng)(2)能和主系統(tǒng)(1)達(dá)到同步。

2 混沌系統(tǒng)的同步

令時(shí)滯自適控制器為這里的增益函數(shù)矩陣 K(t)=diag{k1(t)，k2(t)，…，kn(t)}，P=diag{ p1，p2，…，pn}是一個(gè)正定的對(duì)角矩陣，e(t)=y(t)-x(t)，e(t-τ)=y(t-τ)-x(t-τ)分別為主系統(tǒng)(1)和從系統(tǒng)(2)的不含時(shí)滯同步誤差和含時(shí)滯的同步誤差。假設(shè)存在n個(gè)正常數(shù)使得是一個(gè)正定的對(duì)角矩陣，則有以下定理:

定理1 令控制器u=K(t)(2e(t)-e(t-τ))，這里的增益函數(shù)矩陣為K(t)=diag{k1(t)，k2(t)，…，kn(t)}，且為同步誤差，θi(i=1，2，…，n)為任意的正常數(shù)，且f(t，x)∈QUAD(Δ，P)。假設(shè)存在n個(gè)正常數(shù)使得，且是一個(gè)正定的對(duì)角矩陣，使得H=(PA)s+PΔ-εIn-K*為負(fù)定矩陣，那么從系統(tǒng)(2)能和主系統(tǒng)(1)達(dá)到同步。

證明 通過主系統(tǒng)(1)和從系統(tǒng)(2)做差，可以得到

這里的 e(t)=e1(t)，e2(t)，…，en(t)T。

構(gòu)造李雅普洛夫函數(shù)

通過引理可知:當(dāng)t→+∞時(shí)，ei(t)→0，i=1，2，3…n。因此，從系統(tǒng)(2)和主系統(tǒng)(1)達(dá)到了同步，定理1證明完畢。

推論 1 如果 f(t，x)為[0，+∞)×Rn→Rn的非線性連續(xù)函數(shù)，且f(t，x(t))=(f1(t，x1(t))，…，f(t，xn(t)))T∈Rn，則滿足fi(t，xi(t))∈Lip(Gi)，i=1，…，n，這里利普希茨常數(shù) Gi＞0。假設(shè)存在n個(gè)正常數(shù)使得，且H=PA+Gi-K*為負(fù)定矩陣，則從系統(tǒng)(2)和主系統(tǒng)(1)達(dá)到同步。

推論1的證明的方法和定理1的證明方法相同，因此省略。

3 數(shù)值模擬

例1 考慮杜芬振子［13］:

把主系統(tǒng)變?yōu)?/p>

取參數(shù)a=0.1，r=10，ω=1，數(shù)值模擬得到系統(tǒng)(7)的解軌線產(chǎn)生的混沌吸引子相圖如圖1所示。

圖1 杜芬振子產(chǎn)生的混沌吸引子相圖

考慮從系統(tǒng)

其中

圖2 杜芬振子同步誤差e1的穩(wěn)定狀態(tài)

圖3 杜芬振子同步誤差e2的穩(wěn)定狀態(tài)

4 結(jié)束語

本文提出了一種n維非自治系統(tǒng)自適應(yīng)時(shí)滯反饋控制的方法。運(yùn)用此方法，確定了一個(gè)滿足一定條件的主系統(tǒng)，只要選擇一個(gè)合適的控制器，就能讓主從系統(tǒng)達(dá)到全局漸進(jìn)同步。該方法的優(yōu)點(diǎn)在于控制器含有時(shí)滯。最后用數(shù)值模擬驗(yàn)證了結(jié)論的正確性。

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