耦合分?jǐn)?shù)階布朗馬達在非對稱勢中的輸運*

王飛 鄧翠 屠浙 馬洪?

1)(四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,成都 610064)

2)(電子信息控制重點實驗室,成都 610036)

(2012年7月17日收到;2012年9月20日收到修改稿)

1 引言

關(guān)于布朗馬達[1]問題的研究,最初是源于熱力學(xué)中有關(guān)第二類永動機問題的爭論,以及希望對一些復(fù)雜的輸運機制給出合理解釋.以往的研究大多集中于對單個布朗馬達輸運機制的分析[2,3],但在許多情況下粒子之間的相互作用是不可避免的,甚至有時起著決定性作用.最近二十年,在對耦合布朗馬達的研究中,發(fā)現(xiàn)耦合能夠促使粒子鏈有更快的平均流速[4,5],而驅(qū)動力頻率對粒子鏈的運動方向也有顯著影響[6],并且在對稱周期勢下粒子鏈也能產(chǎn)生定向輸運[7,8]等.隨著分子操縱技術(shù)的發(fā)展,耦合布朗馬達的定向輸運問題開始受到化學(xué)和生物學(xué)等不同學(xué)科領(lǐng)域的密切關(guān)注[9,10].在化學(xué)方面,應(yīng)用Frenkel-Kontorova(FK)模型研究了鏈狀分子十六烷的輸運現(xiàn)象[11];在生物學(xué)的分子馬達研究中,發(fā)現(xiàn)許多稍大的分子馬達實際具有復(fù)雜的內(nèi)部結(jié)構(gòu),即具有如雙頭和多頭肌動蛋白馬達這樣的多自由度特殊結(jié)構(gòu),多個這樣的分子馬達相互作用時就會產(chǎn)生復(fù)雜的輸運現(xiàn)象[12,13].但目前關(guān)于耦合布朗馬達輸運現(xiàn)象的研究仍大多局限于整數(shù)階動力系統(tǒng)[1?13].

越來越多的研究表明,粒子在黏性介質(zhì)中的運動具有“記憶性”,這是整數(shù)階動力系統(tǒng)難以刻畫的,而近年迅速發(fā)展起來的分?jǐn)?shù)階隨機微分方程理論,則特別適合于描述具有記憶、遺傳和路徑依賴性的物理、化學(xué)和生物學(xué)現(xiàn)象[14,15],為研究耦合布朗馬達在具有“記憶性”黏性介質(zhì)中的輸運現(xiàn)象提供了嶄新的數(shù)學(xué)工具.

本文應(yīng)用分?jǐn)?shù)階FK模型研究粒子鏈在黏性介質(zhì)中的定向輸運現(xiàn)象.通過數(shù)值模擬,觀察到整數(shù)階動力系統(tǒng)情況下所沒有的定向輸運反向流;此外,還討論了階數(shù)、耦合強度和噪聲強度分別對粒子鏈的平均流速的影響,發(fā)現(xiàn)當(dāng)固定噪聲強度時,粒子鏈的平均流速隨耦合強度、階數(shù)的變化會產(chǎn)生廣義共振;而當(dāng)階數(shù)固定時,粒子鏈的平均流速則會隨噪聲強度的變化出現(xiàn)廣義隨機共振現(xiàn)象.

2 模型建立

2.1 經(jīng)典的FK模型

考慮經(jīng)典的FK模型[16,17],如圖1所示,周期長為l的棘齒勢V(x),在外力yi(t)和噪聲的驅(qū)動下,忽略慣性效應(yīng),系統(tǒng)運動方程為

其中k為耦合強度,D為噪聲強度,設(shè)粒子間自由長度為a,不顯含于上式,γ為阻尼系數(shù),為方便通常設(shè) γ=1,ξi(t)為高斯白噪聲:〈ξi(t)〉=0,

圖1 FK模型原理圖

2.2 分?jǐn)?shù)階FK模型

然而在很多物理和生化環(huán)境中,黏性介質(zhì)對速度通常具有冪律記憶性:距當(dāng)前時刻越近,記憶性越強;距當(dāng)前時刻越遠(yuǎn),記憶性越差.描述這種退色記憶性的阻尼核函數(shù)γ(t)為[21]

為方便通常設(shè)γ0=1.

由圖2可以看出,γ(t)隨著時間t的增加按t的冪次逐漸衰減,α越大γ(t)衰減越快,α越小γ(t)衰減越慢.

把(3)式帶入(2)式得到

根據(jù)Caputo分?jǐn)?shù)階微積分的定義[22,23],上式可以寫為

稱(5)式為分?jǐn)?shù)階FK模型.

圖2 分?jǐn)?shù)階阻尼核函數(shù)γ(t)

2.3 模型說明

這里所關(guān)心的重點是耦合系統(tǒng)粒子鏈的平均流速[5],定義如下:

其中N是系統(tǒng)中的粒子數(shù),T為總時間.平均流速是一個宏觀物理量,反映了粒子運動的一個整體趨勢.

圖3 勢函數(shù)V(x)示意圖

我們選用一個周期l=1的棘輪勢,形式為

V(x)的示意圖如圖3.

對外力yi(t),要求滿足〈yi(t)〉=0,即外力無偏置.這里主要考慮yi(t)為對稱的周期力

其中A為周期力幅度,ω為周期力的角頻率.

3 數(shù)值模擬

當(dāng)粒子間沒有相互作用,即k=0時,系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為外力作用下的單粒子在棘輪勢中的運動;當(dāng)粒子間相互作用趨于無窮大,即k→∞時,所有粒子都被剛性束縛在一起,系統(tǒng)的動力學(xué)行為相當(dāng)于單個粒子在有效勢中的運動[5].本文排除上述極端情況,主要考慮對于有限大小的耦合強度k,粒子間的相互作用所引起的復(fù)雜定向輸運行為.

為了模擬方程(5)所刻畫的粒子運動,我們采用分?jǐn)?shù)階差分法[22].采樣步長?t=0.005 s,仿真時間取50 s,粒子數(shù)N=10,角頻率ω=1,噪聲強度D=0.1,采用周期邊界.

需要指出的是,粒子xi在時刻t受到的阻尼力即t時刻的阻尼力是時段[0,t]內(nèi)的速度關(guān)于阻尼核γ(t)的加權(quán)平均.當(dāng)階數(shù)α→1時,即系統(tǒng)的記憶性變差,核函數(shù)γ(t)的衰減加快,這意味著歷史速度對當(dāng)前阻尼力貢獻減少,阻尼力變?nèi)?導(dǎo)致粒子具有更快的輸運速度;而當(dāng)階數(shù)α降低時,即系統(tǒng)的記憶性增強,歷史速度對當(dāng)前阻尼力貢獻增強,阻尼力也隨之增強,致使定向輸運的速度減緩,甚至當(dāng)這種記憶性增強到某一程度時,促使粒子反向越過勢壘,形成定向輸運反向流.

對不同強度的周期力和不同大小的耦合強度,圖4給出了平均流速v與階數(shù)α的關(guān)系.

圖4 不同耦合強度和周期力幅度下,粒子鏈平均流速v與階數(shù)α的關(guān)系 (a)k=0;(b)k=3;(c)k=5;(d)k=10

在周期力強度較弱時(A=0,1),小周期力不足以使得單個粒子越過勢壘,粒子只能在勢阱中徘徊.當(dāng)粒子間不存在相互作用,即k=0時,眾粒子的運動不能相互協(xié)調(diào),各粒子在時刻t所受阻尼力的方向也不盡相同,即使較小的階數(shù)α導(dǎo)致歷史速度對當(dāng)前阻尼力貢獻較強,也不足以使得單個粒子越過勢壘形成定向輸運;但若粒子間存在相互作用,即k＞0時,耦合使得粒子間的運動相互協(xié)調(diào),各粒子在時刻t所受阻尼力也就具有較大的同向分量,加之小周期力和噪聲的作用,這樣當(dāng)階數(shù)足夠小時,粒子鏈將形成定向輸運反向流.

在受到較強的周期力時,周期力能促使單個粒子越過勢壘.我們觀察到,若階數(shù)α→1時,系統(tǒng)的記憶性變差,有正的定向流出現(xiàn);但當(dāng)α→α0(α0為v(α)與橫坐標(biāo)交點所對應(yīng)的階數(shù),參見圖4)時,系統(tǒng)的記憶性增強導(dǎo)致粒子運動的阻尼力增強,平均流速v將減小并趨于0;隨著階數(shù)α繼續(xù)減小,將會出現(xiàn)定向輸運反向流,并在負(fù)方向上出現(xiàn)一個共振峰值.對于不同的周期力強度,發(fā)現(xiàn)在A=5的時候,對應(yīng)著較大的正向平均流速,說明系統(tǒng)在階數(shù)和耦合強度固定時,存在一個使粒子鏈平均流速極大的A.并且對于具有較大正向平均流速的A,要使系統(tǒng)出現(xiàn)定向輸運反向流的阻尼力也應(yīng)較大,因此對阻尼力有實質(zhì)貢獻的歷史時間需要更長,也就是對應(yīng)于更小的α0;而當(dāng)周期力幅度A相同時,隨著耦合強度k的增加,α0也增加.

對不同的階數(shù)α,圖5給出了周期力幅度A=2.3時,平均流速v與耦合強度k的關(guān)系.當(dāng)α=1和0.8時,可以明顯觀察到正向上的共振曲線,即在某一優(yōu)化耦合強度下系統(tǒng)存在正向極大平均流速.隨著階數(shù)下降到0.5,系統(tǒng)記憶性增強,系統(tǒng)產(chǎn)生了反向流,并隨k增加,在負(fù)向上出現(xiàn)了共振曲線,即在k≈3時,粒子鏈存在負(fù)向極大平均流速.這組曲線表明:太弱的耦合不能使得粒子之間形成統(tǒng)一的躍遷;太強的耦合,所有粒子束縛在一起,同樣限制了粒子鏈的輸運;適當(dāng)?shù)鸟詈蠌姸瓤梢允沽Ｗ渔湹妮斶\速度達到極值.

圖5 不同階數(shù)下,粒子鏈平均流速v與耦合強度k的關(guān)系 (a)α=1.0;(b)α=0.8;(c)α=0.5

圖6 階數(shù)固定情況下,輸運速度v與噪聲強度D關(guān)系

圖7 不同階數(shù)下,各粒子平均位移隨時間的演化 (a)α=0.6;(b)α=0.8

固定A=1.6,k=3,圖6展示了平均流速v與噪聲強度D的關(guān)系.我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)階數(shù)為1時,系統(tǒng)不具有記憶性,平均流速v在正向上產(chǎn)生了廣義隨機共振現(xiàn)象.當(dāng)α=0.8時,系統(tǒng)記憶性較弱,觀察到了與整數(shù)階情況相同的現(xiàn)象,但在噪聲強度較弱的時候(D＜8),平均流速明顯快于整數(shù)階情況,這主要是由于在具有記憶性的系統(tǒng)中,歷史速度對當(dāng)前阻尼力有貢獻,而歷史速度受到歷史噪聲的影響,因此歷史噪聲間接地對當(dāng)前速度做出貢獻,所以較之整數(shù)階情況,達到極大平均流速所需要的噪聲強度明顯下降.而當(dāng)階數(shù)減少到0.6時,系統(tǒng)記憶性再增強,平均流速v隨噪聲強度D的增加在負(fù)向上產(chǎn)生了廣義隨機共振現(xiàn)象.

固定噪聲強度D=5,圖7給出α分別為0.6及0.8時,各粒子平均位移〈xi(t)〉的時間演化.可以明顯地看出,當(dāng)α=0.6時粒子整體向負(fù)方向運動,而α=0.8時粒子整體向正方向運動.這同樣證實了前文的結(jié)論:分?jǐn)?shù)階的階數(shù),即系統(tǒng)的記憶性,對粒子鏈的運動方向有顯著影響.

4 結(jié)論

本文主要研究了粒子鏈在階數(shù)和其他參數(shù)相互作用下的復(fù)雜輸運現(xiàn)象.得到以下結(jié)論:1)系統(tǒng)的記憶性即系統(tǒng)的階數(shù)對粒子鏈的運動狀態(tài)有顯著影響,在固定其他參數(shù)時,調(diào)節(jié)階數(shù)將導(dǎo)致粒子鏈出現(xiàn)定向輸運反向流,并在某一階數(shù)產(chǎn)生隨機共振;2)不同階數(shù)的噪聲-平均流速曲線v(D)表明,分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)出現(xiàn)極大平均流速所需的噪聲強度較之整數(shù)階系統(tǒng)更小;并且在小噪聲狀態(tài)下,平均流速明顯快于整數(shù)階系統(tǒng);3)當(dāng)階數(shù)固定時,耦合強度-平均流速曲線v(k)表明,平均流速會隨耦合強度的變化出現(xiàn)廣義共振,當(dāng)階數(shù)較大即系統(tǒng)記憶性較弱時,出現(xiàn)正向粒子流的廣義共振,而當(dāng)階數(shù)較小即系統(tǒng)記憶性較強時,則出現(xiàn)反向粒子流的廣義共振.

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