基于能量法計(jì)算材料的彈性模量和壓痕硬度

金宏平，陳建國(guó)

（湖北汽車(chē)工業(yè)學(xué)院機(jī)械工程系，十堰442002）

0 引 言

很長(zhǎng)時(shí)間以來(lái)，在實(shí)際工程中常將硬度作為評(píng)估材料強(qiáng)度、耐磨性和剛度的一個(gè)指標(biāo)。但是，由于傳統(tǒng)的硬度測(cè)試要求用光學(xué)儀器測(cè)量殘余壓痕的尺寸，這使其在工業(yè)應(yīng)用中存在一定困難，并容易引起誤差。最近十多年以來(lái)，由于新材料的大量涌現(xiàn)，特別是納米材料和涂層材料在工程中的大量應(yīng)用，為了評(píng)價(jià)這些新材料的力學(xué)性能，常規(guī)的力學(xué)性能測(cè)試方法顯然已不適用。因此，很多學(xué)者嘗試通過(guò)分析硬度測(cè)試過(guò)程中的載荷和位移數(shù)據(jù)，建立載荷-位移曲線與材料性能之間的某種約束關(guān)系，如圖1所示，從而間接獲得材料的力學(xué)性能［1-5］。

Oliver和Pharr［6］等通過(guò)研究拋物面形狀壓頭的接觸深度、壓痕深度和卸載后殘余壓痕深度之間的關(guān)系，根據(jù)彈性理論，提出了接觸深度hc的計(jì)算公式：

式中：hm為最大壓入深度；Fm為最大壓痕載荷；S為卸載斜率；β為與壓頭形狀有關(guān)的參數(shù)，對(duì)于球形壓頭，β＝0.75。

對(duì)于半徑為R 的球形壓頭，其壓痕硬度H 的計(jì)算公式為：

式中：F 為壓痕載荷。

由于Oliver-Pharr方法（簡(jiǎn)稱(chēng)O-P 法）快捷方便，易于實(shí)現(xiàn)，在工程上得到了廣泛應(yīng)用，是現(xiàn)有商品化納米壓痕儀中計(jì)算壓痕硬度的通用方法。

圖1 壓痕的載荷-位移曲線和堆積/沉陷示意Fig.1 Load-depth curves （a）and pile-up/sink-in sehematic of indentation（b）

對(duì)于彈塑性材料，最大壓痕載荷Fm和卸載斜率S 永遠(yuǎn)是正值。由式（1）可知，接觸深度hc總是小于最大壓入深度hm，即在壓痕接觸邊沿總是呈現(xiàn)材料沉陷狀態(tài)，如圖1（b）右側(cè)所示。然而，在實(shí)際工程應(yīng)用中并非都如此。例如，對(duì)于比較軟的材料，在壓痕接觸邊沿可能會(huì)出現(xiàn)材料堆積，如圖1（b）左側(cè)所示，此時(shí)接觸深度hc就會(huì)大于最大壓入深度hm。此時(shí)如果采用式（1）來(lái)計(jì)算接觸深度，就會(huì)產(chǎn)生很大的誤差。因此，用基于O-P法獲得的投影接觸面積來(lái)計(jì)算硬度的納米壓痕儀只適用于材料沉陷的情況。但是，由于該方法簡(jiǎn)單、方便，目前不少學(xué)者仍采用該方法研究壓痕硬度。

自從鄭哲敏［7］將量綱分析引入到硬度的分析中后，不少學(xué)者開(kāi)始采用該方法來(lái)分析、研究壓痕的響應(yīng)過(guò)程。有些學(xué)者采用尖壓頭來(lái)研究納米材料壓痕硬度的計(jì)算方法，由于尖壓頭在使用過(guò)程中存在磨損，使得其形狀發(fā)生變化，因此在使用中需要對(duì)其接觸面積進(jìn)行標(biāo)定［8-10］；有些學(xué)者采用球壓頭來(lái)研究材料的力學(xué)性能，但在計(jì)算過(guò)程中，需要計(jì)算殘余壓痕深度，這對(duì)其測(cè)量精度提出了較高的要求［11-13］。為了提高計(jì)算精度以及減小測(cè)量誤差帶來(lái)的影響，作者采用量綱分析法擴(kuò)展了彈塑性球形壓痕接觸的無(wú)量綱函數(shù)，通過(guò)分析彈性模量、壓痕硬度與材料特性、壓痕參數(shù)及響應(yīng)的約束關(guān)系，建立了基于能量法計(jì)算材料彈性模量和壓痕硬度的方法。

1 理論分析

假定剛性球壓頭的半徑為R，垂直壓入各向同性的彈塑性硬化材料（彈性模量E、屈服強(qiáng)度σy、應(yīng)變硬化指數(shù)n）中，球壓頭與被測(cè)材料之間為無(wú)摩擦接觸，并且被測(cè)材料中不存在殘余應(yīng)力。下面分別對(duì)球形壓痕接觸的加、卸載過(guò)程進(jìn)行詳細(xì)的量綱分析，以建立壓痕響應(yīng)與材料性能、壓痕參數(shù)之間的無(wú)量綱函數(shù)關(guān)系。

在球形壓痕加載過(guò)程中，壓痕載荷F 和接觸深度hc是材料性能參數(shù)和壓痕參數(shù)的函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式分別為：

式中：h為壓入深度；ν為泊松比。

根據(jù)量綱分析和Π 定理，式（3）和式（4）分別可以改寫(xiě)為：

式中：Πα和Πβ分別為三個(gè)無(wú)量綱參數(shù)E＊／σy、n 和h／R 的 無(wú) 量 綱 函 數(shù)；E＊為 等 效 彈 性 模 量，E＊＝E／（1-ν2）。

由式（5）可得在加載過(guò)程中，外力做的總功Wt：

式中：Πφ為無(wú)量綱參數(shù)E＊／σy、n 和h／R 的無(wú)量綱函數(shù)。

當(dāng)壓頭加載到最大壓入深度hm后，即開(kāi)始卸載。因此，在卸載過(guò)程中，卸載載荷Fu和hm有關(guān)。根據(jù)量綱分析及Π 定理，有如下公式：

式中：Πξ為無(wú)量綱參數(shù)E＊／σy、n、h／R 和hm／R 的無(wú)量綱函數(shù)。

在卸載過(guò)程中，彈性恢復(fù)功Wu為：

式中：Πφ為無(wú)量綱參數(shù)E＊／σy、n 和h／R 的無(wú)量綱函數(shù)；hr為殘余壓痕深度。

對(duì)于一個(gè)完整的加載-卸載循環(huán)，不可逆功Wp和加載功Wt之比為：

式中：Πγ為無(wú)量綱參數(shù)E＊／σy、n 和h／R 的無(wú)量綱函數(shù)。

在最大壓入深度hm時(shí)，由式（5）和式（6）可得到最大壓痕載荷Fm和接觸深度hc，將它們代入式（2）中，得壓痕硬度H 表達(dá)式：

式中：Πκ為無(wú)量綱參數(shù)E＊／σy、n 和h／R 的無(wú)量綱函數(shù)。

上式可改寫(xiě)為：

從式（10）和（12）可看出，Wp／Wt和H／E＊都是三個(gè)無(wú)量綱參數(shù)E＊／σy、n和hm／R 的無(wú)量綱函數(shù)。

2 有限元分析

2.1 有限元模型

由于彈塑性材料的球形壓痕接觸沒(méi)有解析解，故通常采用有限元仿真來(lái)分析該問(wèn)題。在壓痕試驗(yàn)中，存在接觸非線性、材料彈塑性變形的非線性和幾何變形的非線性，而ABAQUS 軟件在非線性仿真計(jì)算方面有著比較精確和快速的優(yōu)勢(shì)，因此采用ABQAUS 6.11軟件對(duì)壓痕接觸過(guò)程進(jìn)行有限元仿真分析。

在仿真分析中，為了獲得比較全面的結(jié)論，選擇了96種不同材料的參數(shù)以保證能覆蓋工程中常用的材料，其彈性模量和屈服強(qiáng)度的比值范圍為30～1 000，泊松比對(duì)壓痕試驗(yàn)的載荷-位移曲線影響較小，而且大部分工程材料的泊松比近似為0.3，因此泊松比ν 取0.3，硬化指數(shù)n 分別取0，0.1，0.3，0.5。其本構(gòu)關(guān)系為：

式中：σ為應(yīng)力；ε為應(yīng)變；K 為強(qiáng)度系數(shù)，根據(jù)連續(xù)性條件，K ＝σy（E／σy）n。

在采用ABAQUS有限元軟件進(jìn)行分析時(shí)，為提高效率、減小工作量，將模型簡(jiǎn)化為軸對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，并設(shè)置為大變形模式。球形壓頭直徑為1.588mm（標(biāo)準(zhǔn)布氏硬度計(jì)壓頭）。當(dāng)試樣半徑與接觸半徑之比大于100時(shí)，邊界約束對(duì)壓痕區(qū)域的應(yīng)力分布無(wú)影響，因此定義圓柱試樣的直徑為20mm，高度為10mm。在壓頭和試樣的對(duì)稱(chēng)軸上添加軸對(duì)稱(chēng)約束，在試樣底部施加水平約束，防止試樣在z軸上的運(yùn)動(dòng)，但其可以在r方向上運(yùn)動(dòng)，如圖2所示。壓入深度通過(guò)對(duì)壓頭施加z向位移來(lái)實(shí)現(xiàn)。為獲得比較精確的結(jié)果，在接觸區(qū)域附近采用三節(jié)點(diǎn)單元，而遠(yuǎn)離接觸區(qū)域采用4節(jié)點(diǎn)單元，共劃分成9 725個(gè)單元。

圖2 壓痕硬度測(cè)試的有限元模型Fig.2 Finite element model of indentation hardness testing

在有限元模擬中，根據(jù)其歷程輸出來(lái)獲得壓痕的載荷-位移曲線，從而得到最大壓痕載荷和最大壓入位移。接觸深度通過(guò)查詢接觸邊界的接觸節(jié)點(diǎn)和分離節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值來(lái)確定?？偟募虞d功和彈性恢復(fù)功通過(guò)對(duì)加載和卸載曲線所包圍的區(qū)域進(jìn)行積分計(jì)算獲得。

2.2 無(wú) 量 綱 函 數(shù)Wp／Wt、H／E＊與E＊／σy、n 和hm／R之間的關(guān)系

從圖3 可以看出，不可逆功與加載總功之比Wp／Wt隨著E＊／σy和hm／R 的增加而增加，隨著n的增加而減小。因?yàn)閚 的增加，使得材料的彈性增強(qiáng)，壓痕區(qū)域的塑性變形區(qū)域減小，彈性變形區(qū)域增大，因此，其彈性恢復(fù)功也相應(yīng)增加。而隨著E＊／σy的增加，材料更容易發(fā)生屈服，在同樣的壓入深度下，發(fā)生屈服的區(qū)域較大，因此，其不可逆功增加。同樣，隨著hm／R 的增加，塑性區(qū)域也相應(yīng)增大，不可逆功也相應(yīng)增加。

從圖3中還可以發(fā)現(xiàn)，若E＊／σy＜200，Wp／Wt變化較快，特別是E＊／σy＜100 時(shí)，幾乎呈線性變化；而E＊／σy＞600后，Wp／Wt變化很小，最后趨于某一定值。這是因?yàn)?，?dāng)E＊／σy→0時(shí)，材料屬于彈性材料，在壓頭壓入過(guò)程中，處于彈性接觸狀態(tài)，在完全卸載后，彈性變形完全恢復(fù)，而且沒(méi)有塑性變形，此時(shí)Wp／Wt→0；隨著E＊／σy增加，塑性變形量迅速增大，因此Wp／Wt增加很快。當(dāng)E＊／σy→∞時(shí)，材料屬于完全塑性材料，在壓頭壓入過(guò)程中，材料不會(huì)發(fā)生彈性變形，因此在卸載過(guò)程中，Wu→0，即Wp／Wt→1。

圖3 無(wú)量綱函數(shù)Wp／Wt與E＊／σy、n和hm／R 之間的關(guān)系Fig.3 Relationship between Wp／Wtand E＊／σy，nand hm／R

由圖4可見(jiàn)，H／E＊隨著E＊／σy的增大而減小，隨著n的增加而增加。而H／E＊與hm／R 無(wú)關(guān)，這是因?yàn)樵诜抡嬷卸x材料的硬化特性為各向同性，因此硬度與壓入深度無(wú)關(guān)。

從 圖4 中 還 可 以 看 出，當(dāng)E＊／σy＜200 時(shí)，H／E＊變化較快，特別是E＊／σy＜100時(shí)，幾乎呈線性變化；隨著E＊／σy的增加，H／E＊變化很小，最后趨于某一定值。這是因?yàn)?，?dāng)E＊／σy→0時(shí)，材料屬于完全彈性材料，H／E＊→∞；隨著E＊／σy增大，材料的塑性變形能力增強(qiáng)，因此H／E＊迅速下降。當(dāng)E＊／σy→∞時(shí)，材料屬于完全塑性材料，即H／E＊→0。比較圖3和圖4 可以發(fā)現(xiàn)，Wp／Wt和H／E＊與E＊／σy、n、hm／R 之間的函數(shù)關(guān)系具有某些相似的特性，這表明Wp／Wt和H／E＊之間存在某種直接的聯(lián)系。

圖4 無(wú)量綱函數(shù)H／E＊與E＊／σy、n和hm／R 之間的關(guān)系Fig.4 Relationship between H／E＊and E＊／σy，n and hm／R

2.3 H／E＊與Wp／Wt之間的關(guān)系

由于在壓痕形成過(guò)程中，材料的堆積／沉陷程度與E＊／σy、n和hm／R 相關(guān)，這就導(dǎo)致確定加載過(guò)程中的接觸面積比較困難。因此，可以考慮能否建立H／E＊與Wp／Wt之間的函數(shù)關(guān)系來(lái)獲得材料的壓痕硬度。從圖5 可以看出，對(duì)于某個(gè)確定的hm／R值，Wp／Wt和H／E＊之間呈近似線性關(guān)系，與材料的E＊／σy和n無(wú)關(guān)。

圖5 Wp／Wt與H／E＊之間的關(guān)系Fig.5 Relationship between Wp／Wtand H／E＊

根據(jù)圖5所示的曲線形狀，定義其擬合函數(shù)關(guān)系式：

式中：B 為hm／R 的函數(shù)。

由式（14）可知，對(duì)于某個(gè)壓入深度，H／E＊和Wp／Wt之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。若已知等效彈性模量，根據(jù)壓痕的載荷-位移曲線數(shù)據(jù)，采用該關(guān)系式就可以計(jì)算出材料的壓痕硬度。

3 彈性模量和壓痕硬度的計(jì)算

3.1 正 演

根據(jù)上述分析，只要根據(jù)壓痕的載荷-位移曲線，獲得加載功Wt和卸載功Wu，加上壓痕參數(shù)和材料的彈性模量，就可以利用式（14）計(jì)算出材料的壓痕硬度H。

將式（15）代入到式（14）中，并將其進(jìn)行適當(dāng)變換，得到式（16）：

Love和Sneddon［14］研究分析了不同幾何形狀的剛性壓頭與彈性半空間的接觸，并根據(jù)彈性接觸理論，認(rèn)為等效彈性模量E＊與初始卸載斜率S 和接觸面積Ac之間存在如下關(guān)系：

雖然式（17）是根據(jù)剛性圓錐壓頭推導(dǎo)出來(lái)的，但是，Bulychev等［15］學(xué)者認(rèn)為該公式也可以用于球壓頭，Cheng［16］指出該式也同樣適用于具有硬化特性的材料。

此外，Bolshakov等［17］采用有限元仿真技術(shù)分析了剛性圓錐壓頭與彈塑性材料的壓痕接觸，并采用式（17）計(jì)算了材料的彈性模量，結(jié)果發(fā)現(xiàn)彈性模量的計(jì)算值比實(shí)際值大5%～15%。因此，提出了該式的修正式：

式中：β為修正系數(shù)，與壓頭的幾何形狀和材料的泊松比有關(guān)［18］。

根據(jù)有限元的仿真結(jié)果，可以繪制出Ac與S／E＊之間的函數(shù)關(guān)系曲線，如圖6所示。需要指出的是，圖6中包括了不同材料參數(shù)（E＊／σy、n）和不同壓入深度hm／R 的仿真數(shù)據(jù)。

圖6 Ac與S／E＊之間的函數(shù)關(guān)系Fig.6 Relationship between Acand S／E＊

采用式（18）對(duì)圖6的所有數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行擬合，得到β＝1.051 5。

根據(jù)壓痕硬度的定義公式：H＝Fm／Ac，以及式（16）和（18），可以得到：

由于Fm、hm／R、Wu／Wt和S 都可以直接從載荷-位移曲線中得到，因此等效彈性模量E＊和壓痕硬度H 可以分別通過(guò)式（19）和（20）獲得?？梢?jiàn)，采用該方法可以方便、快速地獲得壓痕硬度和彈性模量。而且從上述等式中可以看出，壓痕的接觸深度hc并沒(méi)有出現(xiàn)在上述兩式中，這樣就避免了壓痕周?chē)牧隙逊e／沉陷帶來(lái)的影響。因此，采用能量法可以提高壓痕硬度的計(jì)算精度。

3.2 反 演

根據(jù)前面的分析可知，只要獲得了壓痕加載和卸載過(guò)程的載荷-位移曲線，壓痕的特征參數(shù)Fm，hm，Wt，Wu和S 就可以計(jì)算得到。根據(jù)式（19）和（20）即可計(jì)算出材料的性能參數(shù)E 和H。

為了驗(yàn)證該方法的有效性，分別對(duì)不同性能的材料進(jìn)行數(shù)值反演，其結(jié)果如表1所示，表1中硬度的理論值是根據(jù)有限元仿真得到的投影面積計(jì)算獲得。從表中可以看出，根據(jù)式（19）和（20）計(jì)算的彈性模量E 和壓痕硬度H 的計(jì)算值和理論值之間的誤差較小，最大誤差分別不超過(guò)4%和8%。

表1 彈性模量和壓痕深度的反演結(jié)果Tab.1 Reverse results of elastic modulus and indentation hardness

3.3 敏感性分析

由于在實(shí)際試驗(yàn)中，測(cè)量和計(jì)算都會(huì)產(chǎn)生一定的誤差，這些誤差都將會(huì)對(duì)最后的計(jì)算精度產(chǎn)生影響。為了研究測(cè)量和計(jì)算誤差對(duì)最后計(jì)算值的影響，人為給定Wt，Wu和S 各2%的誤差來(lái)分析它們對(duì)E 和H 精度的影響。首先假定Wt有2%的誤差，其它幾個(gè)值沒(méi)有誤差，采用反演算法計(jì)算E 和H，結(jié)果如表2所示。同樣，其它兩個(gè)參數(shù)采用類(lèi)似的方法進(jìn)行分析。從表中的結(jié)果可以看出，Wt，Wu和S 的誤差對(duì)E 和H 的計(jì)算結(jié)果影響較小，最大誤差未超過(guò)10%。

從上面的分析可以看出，采用能量法測(cè)材料的彈性模量和壓痕硬度，其測(cè)試精度是可以滿足工程要求的。

3.4 不同壓痕硬度計(jì)算方法的對(duì)比

Gao等提出了壓痕硬度的計(jì)算公式［19］：

式中：a為壓痕半徑。

分別采用式（21）、基于能量法推導(dǎo)的式（20）以及O-P法計(jì)算壓痕硬度，并進(jìn)行對(duì)比，如圖7所示?？梢?jiàn)，采用式（20）能量法計(jì)算的壓痕硬度與采用式（21）計(jì)算得到的最大誤差不超過(guò)10%。對(duì)于比較硬的材料，O-P法獲得的壓痕硬度和式（21）計(jì)算得到的誤差比較??；而對(duì)于比較軟的材料，用O-P 法獲得的壓痕硬度明顯偏大，其主要原因就在于該方法在計(jì)算接觸深度時(shí)沒(méi)有考慮材料堆積的現(xiàn)象，從而導(dǎo)致計(jì)算得到的投影接觸面積偏小，其最大誤差達(dá)到了18%。

圖7 不同方法計(jì)算得到的壓痕硬度對(duì)比Fig.7 Indentation hardness obtained by different methods

4 結(jié) 論

（1）基于能量法，根據(jù)量綱分析法和Π 定理，推導(dǎo)了壓痕功（Wp和Wt）、壓痕硬度與壓痕參數(shù)、材料特性之間的無(wú)量綱函數(shù)；通過(guò)對(duì)無(wú)量綱函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析，建立了無(wú)量綱壓痕函數(shù)H／E＊和Wp／Wt之間線性關(guān)系。

（2）根據(jù)卸載斜率和接觸面積之間的線性關(guān)系，建立了壓痕函數(shù)和彈性模量的解析模型，再結(jié)合壓痕的載荷-位移曲線，就可以計(jì)算得到材料的彈性模量和壓痕硬度。

（3）基于能量法計(jì)算的壓痕硬度和彈性模量比較準(zhǔn)確；與O-P 法相比，基于能量法的壓痕硬度計(jì)算精度更高些。

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