基于博弈模型的共同進(jìn)化降維算法在運(yùn)動(dòng)員營(yíng)養(yǎng)配餐中的應(yīng)用

孫俊玲

（1.武漢大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，湖北 武漢 430072；2.河南財(cái)政稅務(wù)高等?？茖W(xué)校 信息工程系，河南 鄭州 451464）

0 引言

作為一個(gè)特殊的人群，運(yùn)動(dòng)員比常人所消耗的能量物質(zhì)多，需要得到更多、更全面的營(yíng)養(yǎng)才能滿足運(yùn)動(dòng)的需要，所以更應(yīng)注意食物的合理搭配.運(yùn)動(dòng)員營(yíng)養(yǎng)膳食決策模型屬于一個(gè)典型的多目標(biāo)優(yōu)化問題.從1920年由Von Neumann建立數(shù)學(xué)基礎(chǔ)以來，博弈理論在研究解決經(jīng)濟(jì)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域的多目標(biāo)問題方面已經(jīng)有許多貢獻(xiàn).博弈理論引進(jìn)了博弈和優(yōu)化問題相關(guān)局中人的概念，在博弈理論多目標(biāo)設(shè)計(jì)中，每個(gè)涉及到的局中人有他自己的目標(biāo).在博弈期間，局中人試圖改進(jìn)它的目標(biāo)直到系統(tǒng)達(dá)到均衡狀態(tài).

博弈論是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支，它所研究的典型問題是兩個(gè)或兩個(gè)以上的參加者（稱為局中人）在某種競(jìng)爭(zhēng)性或?qū)剐缘膱?chǎng)合下各自做出決策，使自己的一方盡可能得到最有利的結(jié)果.所謂博弈就是一組規(guī)則，它規(guī)定了整個(gè)博弈自始至終所應(yīng)遵循的各項(xiàng)章程，包括局中人、策略、選定策略后的結(jié)局等等.兩個(gè)局中人的策略和函數(shù)可以表示為支付矩陣，通常用一個(gè)列表來表示.如果博弈中局中人甲得到的支付值就是局中人乙失去的

進(jìn)化博弈理論的主要貢獻(xiàn)就是進(jìn)化穩(wěn)定戰(zhàn)略（ESS）的概念.ESS是由著名生物學(xué)家Maynard Smith提出的，它的含義就是，進(jìn)化所選擇的戰(zhàn)略，不僅執(zhí)行時(shí)趨于改進(jìn)的方向，而且也趨向于穩(wěn)定狀態(tài).ESS是Nash均衡[1]的精華.作為替代，Maynard Smith顯示，通過達(dá)爾文進(jìn)化選擇過程 ，可以達(dá)到博弈理論上的均衡.

1 問題描述

科學(xué)合理膳食是取得優(yōu)異成績(jī)的基礎(chǔ)，在比賽和訓(xùn)練中，運(yùn)動(dòng)員的體力消耗很大，如果沒有足夠的營(yíng)養(yǎng)補(bǔ)充，身體機(jī)能就會(huì)下降，影響訓(xùn)練效果和比賽成績(jī).充足的熱量能夠增強(qiáng)身體抵抗力，滿足機(jī)體的需要；合理的加餐可以保證身體的健康和精力的充沛；由于其在爆發(fā)力、耐力、協(xié)調(diào)性等諸方面各有不同，不同項(xiàng)目的運(yùn)動(dòng)員有各自的需求和側(cè)重.

1.1 運(yùn)動(dòng)員每日總熱能供給標(biāo)準(zhǔn)

人體需要的營(yíng)養(yǎng)主要有：蛋白質(zhì)、脂肪、維生素、無(wú)機(jī)鹽和水.在營(yíng)養(yǎng)學(xué)中，能量的熱量單位常采用kJ為單位來計(jì)算.

優(yōu)秀運(yùn)動(dòng)員的每日總熱能供給標(biāo)準(zhǔn)[2-3]有5級(jí)：

（1）8 372～11 721 kJ/d（均值10 046 kJ/d）.

（2）9 209～13 395 kJ/d（均值11 302 kJ/d）.

（3）11 302～17 581 kJ/d（均值14 651 kJ/d）.

（4）15 488～19 674 kJ/d（均值17 581 kJ/d）.

（5）≥19 674 kJ/d（按19 674 kJ/d）.

具體的項(xiàng)目劃分參考表1.有減體重和控體重等要求的運(yùn)動(dòng)員不采用此標(biāo)準(zhǔn).

1.2 每日三大熱能營(yíng)養(yǎng)素的供熱比例

在運(yùn)動(dòng)員的營(yíng)養(yǎng)膳食配餐時(shí),食物的碳水化合物、蛋白質(zhì)、脂肪的比例適當(dāng)是非常重要的.其中，蛋白質(zhì)營(yíng)養(yǎng)素對(duì)于機(jī)體的修復(fù)有很大幫助；碳水化合物是運(yùn)動(dòng)員膳食的主要組成成分，可以有效地發(fā)揮運(yùn)動(dòng)員的最佳運(yùn)動(dòng)能力；脂肪由于在氧化時(shí)氧的利用率較低的緣故，不能滿足高強(qiáng)度運(yùn)動(dòng)的需要.根據(jù)三大營(yíng)養(yǎng)素的各自特點(diǎn)，優(yōu)秀運(yùn)動(dòng)員每日三大熱能營(yíng)養(yǎng)素的供熱比例標(biāo)準(zhǔn)為：

式中，Ld(s)為傳遞函數(shù)，T0為時(shí)間常數(shù)。根文獻(xiàn)[9]中的評(píng)價(jià)公式，試驗(yàn)不同的低通濾波器的濾波效果，濾波時(shí)間常數(shù)為18時(shí)結(jié)果較為滿意，所得到的濾波效果如圖6所示。圖中，低頻部分中分配給電池承擔(dān)的負(fù)載功率仍然有較高的功率需求，而此時(shí)高頻部分負(fù)載功率并不大，所以在濾波器后又設(shè)計(jì)了模糊控制器來進(jìn)一步處理低頻部分。

脂肪提供熱能的比例應(yīng)該占總熱能的25%～30%（游泳和冰上項(xiàng)目可以增加到35%）.

碳水化合物提供的熱能的比例占總熱能的50%～60%，其中耐力項(xiàng)目可以適當(dāng)增加到65%或70%.

蛋白質(zhì)提供熱能的比例占總熱能的12%～15%，其中優(yōu)質(zhì)蛋白不能低于30%（少年運(yùn)動(dòng)員可以適當(dāng)增加蛋白質(zhì)的攝入，以滿足發(fā)育生長(zhǎng)的需要）.

1.3 早、中、晚三餐及訓(xùn)練中加餐的比例分配

為了保證上、下午的訓(xùn)練，要合理安排一日三餐的熱能供給.為保證上午的訓(xùn)練課的質(zhì)量，運(yùn)動(dòng)員的早餐應(yīng)該提供25%左右的熱能，且各種營(yíng)養(yǎng)素齊全和均衡.午餐熱能應(yīng)占35%～40%，這將有利于下午的訓(xùn)練課.由于運(yùn)動(dòng)員晚上主要是休息，晚餐的熱能比例不要超過30%.訓(xùn)練中的加餐的總量所占的比例很小（僅占5%～10%），但對(duì)于保證訓(xùn)練質(zhì)量也是至關(guān)重要的.

表1 優(yōu)秀運(yùn)動(dòng)員的一日熱能供給標(biāo)準(zhǔn)

2 基于博弈模型的共同進(jìn)化算法

2.1 基于博弈模型的共同進(jìn)化算法

每個(gè)種群相當(dāng)于對(duì)局者，且種群個(gè)體的適應(yīng)值作為博弈的獎(jiǎng)賞被估算.這個(gè)獎(jiǎng)賞來自于另一個(gè)對(duì)立種群的對(duì)局者.根據(jù)博弈模型，可以實(shí)現(xiàn)基于博弈模型的進(jìn)化算法[4].貫穿博弈始終，每個(gè)對(duì)局者都試圖最優(yōu)化它們自己的目標(biāo).在進(jìn)化種群中，所有個(gè)體被賦予一個(gè)適應(yīng)值，適應(yīng)值的大小是根據(jù)其在博弈中獲勝的比率來決定.下面描述為了搜索MOP的ESS而設(shè)計(jì)的共同進(jìn)化算法[5-6].

為了設(shè)計(jì)基于博弈模型的共同進(jìn)化算法，需要先產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)的種群.種群中每個(gè)個(gè)體都被賦予一個(gè)適應(yīng)值.在博弈過程中，第1個(gè)種群的每個(gè)個(gè)體和剩余種群的其他個(gè)體進(jìn)行博弈.其適應(yīng)值分別由公式（1）和（2）計(jì)算.在剩余種群的其他個(gè)體依次執(zhí)行同樣操作.利用變異、交叉等操作，獨(dú)立地產(chǎn)生種群的下一代個(gè)體.

下面列出了基于博弈模型的共同進(jìn)化算法的步驟：

步驟1：隨機(jī)產(chǎn)生兩個(gè)種群.

步驟2：主要種群的第1個(gè)個(gè)體與另一個(gè)種群的每個(gè)個(gè)體進(jìn)行博弈，計(jì)算出它的適應(yīng)值.按同樣方式，也可以計(jì)算出第2個(gè)種群的對(duì)應(yīng)個(gè)體的適應(yīng)值.

步驟4：按照第2步和第3步的處理過程，對(duì)于第2個(gè)種群的所有個(gè)體執(zhí)行同樣操作.

式（1）～（3）中：xi和yj分別表示第1個(gè)種群和第2個(gè)種群的個(gè)體.圖1中，fa（yj）,fa（xi）,fb（yj）和fb（xi）是xi或yj分別對(duì)于fa（x），fb（x）的值.在公式（3）中，fa_max（x）和fb_max（x）指出fa（x），fb（x）對(duì)于給定變量的最大值.

步驟5：使用公式（1）和（2），確定的Fitness（xi）和Fitness（yj），計(jì)算對(duì)應(yīng)的適應(yīng)值，獨(dú)立地產(chǎn)生出每個(gè)種群的下一代個(gè)體.

步驟6：終止條件不滿足的話，則重復(fù)執(zhí)行第2和第3步.

圖1 計(jì)算收益值的目標(biāo)函數(shù)

2.2 改進(jìn)的基于博弈模型共同進(jìn)化的降維技術(shù)（GMCE）

一個(gè)超多目標(biāo)優(yōu)化問題，目標(biāo)集合ρ={ρ1，ρ2，ρ3，…，ρn}，決策變量集合X={x1，x2，x3，…，xk，…，xm}.假設(shè)目標(biāo)對(duì)ρ1，ρ2之間存在沖突關(guān)系.超多目標(biāo)優(yōu)化問題ρ分為2個(gè)子問題，即問題a：ρa(bǔ)={ρ1，ρ3，…，ρn},Xa={x1，x2，x3，…，xm}；問題b：ρb={ρ2，ρ3，…，ρn}，Xb={x1，…，xm}.

假設(shè)2個(gè)子種群Popa和Popb，分別來表示問題a和問題b.各種群可以選擇先進(jìn)的多目標(biāo)技術(shù)優(yōu)化.通過對(duì)基于博弈模型共同進(jìn)化算法的一些改進(jìn)，結(jié)合常用的多目標(biāo)技術(shù)可以設(shè)計(jì)求解上述問題的算法.

在種群中所有個(gè)體都被賦予一個(gè)適應(yīng)值.在博弈中，第1個(gè)種群的每個(gè)個(gè)體與剩余種群的其他個(gè)體進(jìn)行博弈，適應(yīng)值由（1）和（2）計(jì)算.在剩余種群的其他個(gè)體用相同的方式依次執(zhí)行同樣操作.使用這個(gè)適應(yīng)值以及交叉、變異操作，獨(dú)立地來產(chǎn)生每個(gè)種群的下一代個(gè)體.

改進(jìn)的博弈模型共同進(jìn)化降維算法描述如下：

假設(shè)一個(gè)超多目標(biāo)優(yōu)化問題，目標(biāo)集合ρ={ρ1，ρ2，ρ3，…，ρn},決策變量集合X={x1，x2，x3，…，xk，…，xm}.假設(shè)目標(biāo)對(duì)ρ1，ρ2，它們之間存在完全協(xié)調(diào)關(guān)系，則根據(jù)協(xié)調(diào)關(guān)系的定義，可以刪除其中的1個(gè)目標(biāo)，且不會(huì)影響它的優(yōu)化結(jié)果，這樣可以自動(dòng)達(dá)到降維的目的.如果目標(biāo)對(duì)ρ1，ρ2之間互相獨(dú)立，則可以轉(zhuǎn)化成2個(gè)獨(dú)立的n-1維的優(yōu)化問題.即：子問題1的目標(biāo)集合為{ρ1，ρ3，…，ρn}，決策變量集合為{x1，x2，…，xk，…，xm}和子問題2目標(biāo)集合為{ρ2，ρ3，…，ρn},決策變量集合也為{x1，x2，…，xk，…，xm}；可以各自獨(dú)立優(yōu)化子問題1和子問題2，最后合并其各自的優(yōu)化結(jié)果得到完整問題的最優(yōu)解.如果ρ1，ρ2之間存在沖突關(guān)系，則可以劃分多目標(biāo)優(yōu)化問題為2個(gè)（n-1）維子問題，即問題a：ρa(bǔ)={ρ1，ρ3，…，ρn},Xa=X={x1，…，xm}；問題b：ρb={ρ2，ρ3，…，ρn}，Xb=X={x1，…，xm}.它們共同進(jìn)化，各自實(shí)現(xiàn)ρa(bǔ)和ρb的目標(biāo).采用改進(jìn)的基于博弈模型的共同進(jìn)化算法如下：

步驟1：設(shè)Popa（t）為子種群1，Popb（t）為子種群2，它們分別代表問題a和問題b；生成初始種群Popa（t），Popb（t），t=0；其中t為進(jìn)化代數(shù).

步驟2：計(jì)算種群1（即子問題a）的每個(gè)個(gè)體的目標(biāo)值.但ρ1的目標(biāo)值采用（4）式來計(jì)算.種群1的個(gè)體與另一個(gè)種群的每個(gè)個(gè)體進(jìn)行博弈，計(jì)算反饋的獎(jiǎng)賞值和.

對(duì)于每個(gè)個(gè)體的目標(biāo)向量采用NSGA-II方法的進(jìn)行分層的非支配排序，對(duì)于同層的非支配集合，計(jì)算它的支配度，按支配度來分類.這樣可以得到各個(gè)個(gè)體目標(biāo)向量的排序，根據(jù)排序同時(shí)結(jié)合密度估計(jì)策略計(jì)算Popb（t）每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)值.

計(jì)算它的適應(yīng)值級(jí)別.第2個(gè)種群的對(duì)立個(gè)體的適應(yīng)值按同樣方式依次被計(jì)算.

步驟3：對(duì)于第2個(gè)種群的所有個(gè)體按照第2步類似方法執(zhí)行.

計(jì)算種群2（即子問題b）的每個(gè)個(gè)體的目標(biāo)值.但子問題b的ρ2的目標(biāo)值采用（5）式來計(jì)算.種群2的個(gè)體與另一個(gè)種群的每個(gè)個(gè)體進(jìn)行博弈，計(jì)算ρ2目標(biāo)反饋的獎(jiǎng)賞值和.

采用NSGA-II算法，對(duì)每個(gè)個(gè)體的目標(biāo)向量進(jìn)行分層非支配排序，對(duì)于同層的非支配集合，計(jì)算它的支配度，按支配度來分類.這樣可以獲得個(gè)體的目標(biāo)向量排序，根據(jù)排序結(jié)果結(jié)合密度估計(jì)策略計(jì)算Popa（t）中每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)值.

步驟4：對(duì)于第2個(gè)種群的所有個(gè)體同樣執(zhí)行第2步和第3步的處理過程.

式（4）和（5）中：xai和xbi分別表示第1個(gè)種群和第2個(gè)種群的個(gè)體，分別是種群1中個(gè)體k的ρ2目標(biāo)值和種群2中個(gè)體i的ρ1目標(biāo)值；ρ1amax和ρ2bmax指出對(duì)于種群1給定個(gè)體和種群2的給定個(gè)體在目標(biāo)ρ2中的最大值.其他符號(hào)的含義類似.

步驟5：如果滿足的算法終止條件，則轉(zhuǎn)步驟7；否則轉(zhuǎn)步驟6.

步驟6：對(duì)于子種群1：Popa（t）和子種群2：Popb（t），根據(jù)已經(jīng)被計(jì)算出的適應(yīng)值，可以分別執(zhí)行選擇、雜交、變異等遺傳操作，最后產(chǎn)生出下一代種群Pop（t+l）；t=t+l，轉(zhuǎn)步驟2.

步驟7：輸出結(jié)果，算法終止.

3 結(jié)果與分析

使用博弈模型共同進(jìn)化的降維技術(shù)來解決運(yùn)動(dòng)員營(yíng)養(yǎng)配餐設(shè)計(jì)優(yōu)化問題[7]，就是在給定的運(yùn)動(dòng)員標(biāo)準(zhǔn)的情況下，在配餐中搜索發(fā)現(xiàn)各類食物及其量的Pareo最優(yōu)解集，尋找目標(biāo)函數(shù)空間中的目標(biāo)函數(shù)的Pareo最優(yōu)邊界．作者以乒乓球運(yùn)動(dòng)員作為配餐對(duì)象，其中運(yùn)動(dòng)員的基本情況為：性別女，年齡20歲，體重60 kg，身高160 cm，中度勞動(dòng)強(qiáng)度.該配餐的目標(biāo)確定為：能量、蛋白質(zhì)、脂肪、鈉.配餐方案及營(yíng)養(yǎng)評(píng)估如表2、表3所示.

從表2和表3可以看出，將博弈模型共同進(jìn)化的降維技術(shù)應(yīng)用于運(yùn)動(dòng)員配餐系統(tǒng)提高了配餐求解效果，在4目標(biāo)問題求解時(shí)，能夠較好地滿足配餐目標(biāo)需求，各個(gè)目標(biāo)的誤差率都小于10%.配餐方案符合專家建議的飲食要求，效果理想.

表2 乒乓球運(yùn)動(dòng)員配餐方案

表3 乒乓球運(yùn)動(dòng)員配餐方案營(yíng)養(yǎng)評(píng)估

4 結(jié)論

對(duì)運(yùn)動(dòng)員營(yíng)養(yǎng)配餐設(shè)計(jì)中的多目標(biāo)優(yōu)化模型進(jìn)行了研究，提出了改進(jìn)的博弈模型共同進(jìn)化降維技術(shù)，并且應(yīng)用到運(yùn)動(dòng)員營(yíng)養(yǎng)配餐設(shè)計(jì)中，該方法在應(yīng)用于運(yùn)動(dòng)員配餐中獲得了較好的效果，尤其在目標(biāo)多于3個(gè)的情況下，運(yùn)用該算法對(duì)多個(gè)配餐方案進(jìn)行了分析，優(yōu)化結(jié)果驗(yàn)證了算法的有效性和合理性.

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