具有多時滯脈沖單種群系統(tǒng)的正周期解

李永亮

(湖北民族學院 數(shù)學系,湖北 恩施 445000)

具有多時滯脈沖單種群系統(tǒng)的正周期解

李永亮

(湖北民族學院 數(shù)學系,湖北 恩施 445000)

本文研究了一類具有多時滯脈沖單種群模型.利用迭合度連續(xù)性定理,討論了系統(tǒng)正周期解的存在性. 此外,并應(yīng)用實例和數(shù)據(jù)模擬來驗證分析了主要結(jié)論.

正周期解;時滯;脈沖;單種群系統(tǒng)

在實現(xiàn)生物資源可持續(xù)開發(fā)的前提下，追求最大產(chǎn)量或是最佳經(jīng)濟效益是人們對資源管理的兩個基本目標，近年來，研究生物資源管理受到越來越多人的關(guān)注，諸如漁業(yè)和投放等生物資源開發(fā)的生物經(jīng)濟模型的研究已經(jīng)得到了很有意義的結(jié)論[4、5、7-9].在現(xiàn)實生活中，人們對自然資源的管理和開發(fā)總是季節(jié)性的或是離散的，而且是瞬時或是短時間完成的，但這個短暫的干擾時間直接影響生物系統(tǒng)的動態(tài)行為，考慮到這些瞬時作用，從數(shù)學的角度來描述這種發(fā)展過程要用到脈沖微分方程.實踐證明，脈沖方程模型是對某些自然現(xiàn)象、生物變化過程等更為真實的反映，也正因為如此，近年來脈沖方程理論和應(yīng)用方面得到了迅速發(fā)展[6,8].單種群脈沖系統(tǒng)是最簡單的一類脈沖種群系統(tǒng)，其研究成果相對比較完善并具有廣泛的應(yīng)用[1-3,10-12].

本文研究一類具有多時滯的單種群人口增長模型(詳見文獻[1]中的模型(1.4))：

(1)

在上述模型中,如果考慮脈沖擾動的作用,便得到如下形式：

(2)

且：y(t)=φ(t),對-τ≤t≤0,φ∈L([-τ,0],[0,+]),φ(0)>0

(3)

這里Z+是正整數(shù)集.

記L([-τ,0],[0,+])是[-τ,0]上的勒貝格可測函數(shù), 其中τ=max1≤i≤nmaxt∈[0,ω]{τi(t)},而τi(t)∈((-,+),(-,+))為時滯，r(t)∈((-,+),(-,+))是內(nèi)稟增長率，無時滯競爭率a(t)∈([0,+),[0,+))和時滯競爭率bi(t)∈([0,+),[0,+))都是局部可和的ω-周期函數(shù).顯然方程(1)含有一個非負的反饋控制項bi(t)y(t-τi(t))，可以把它當成是對種群增長率起負面作用的(見文獻[9-11]).脈沖βk為常數(shù),當βk<0時表示在t=tk收獲,而當βk>0時表示在t=tk對種群的投放.

在文獻[1]中討論了脈沖單種群模型,但不包含本文所討論的情形.在文獻[1]中,作者考慮的是一個一般的具有多時滯的脈沖單種群模型, 但假設(shè)是強時滯,且所有時滯都是非負ω-周期的.

1 準備工作

本文主要是對方程(2)的持久生存和滅絕及正周期解的存在性建立易于證明的充分條件.基于此首先給出(H1)-(H3)的假設(shè)條件和兩個定義.

(H2) {βk}是實數(shù)列且βk>-1,k∈Z+;

(H3) 存在一個正整數(shù)q使得tk+q=tk+ω,βk+q=βk.

定義1 函數(shù)y(t)在區(qū)間y(t)∈([-τ,),[0,))[0,t1]和[tk,tk+1]是方程(2)在[-τ,)的解,如果它滿足下面三個條件:

(D1)y(t)在區(qū)間[0,t1]和[tk,tk+1]上是絕對連續(xù)的;

(D3) 在[0,){tk}上y(t)幾乎處處滿足方程(2),在每個脈沖點t=tk(k∈Z+)滿足

定義2 若函數(shù)y(t)是方程(2)的解,且滿足y(t+ω)=y(t),則稱y(t)是方程(2)的一個ω-周期解.

2 正周期解的存在性

在本節(jié)將討論方程(2)～(3)正周期解的存在性.在討論之前，首先給出將要用的假設(shè)條件(H4):

(H4) ∏0

注記1 由文獻[12]中定理2.1,可知上面的假設(shè)條件(H4)蘊含∏0

考慮一個具有多時滯的無脈沖的單種群模型，形式如下：

(4)

其中：A(t)=∏0

(5)

引理1 如果系統(tǒng)滿足條件(H1),(H2)和(H4),則:

1)若u(t)是方程(4)在[-τ,)的一個解,那么y(t)=∏0

2)若y(t)是方程(3)在[-τ,)上的一個解,那么u(t)=∏0

證明首先,證明條件(1)的結(jié)論.容易得出y(t)=∏0

∏0

(6)

(7)

和y(tk)=∏0

(8)

于是對于每個k=1,2,…,有由方程(6),(7)和(8)知y(t)是方程(2)的解，故命題得證.

作變換u(t)=ex(t)，方程(4)等價于:

(9)

為了研究方程(9),需要作一些準備知識,即對迭合度連續(xù)性定理的部分內(nèi)容作一個簡潔的陳述.

設(shè)X和Z是實Banach空間,稱L:DomL∩X→Z是一個指標為零的Fredholm映射且存在線性連續(xù)投影P:X→X,Q:Z→Z,使得ImP=KerL,KerQ=ImL和X=KerL⊕KerQ,Z=ImP⊕ImL,記Lp是L在DomL∩KerP上的限制，Lp是可逆的,其逆記為KP:ImL→DomL∩KerP,并記J:ImQ→KerL是一個從ImQ到KerL的同構(gòu)映射.

(a)對任意的λ∈(0,1)，方程x=λNx的每個解x滿足x??Ω；

(b)對每一個x∈?Ω∩KerL和deg{JQN,Ω∩KerL,0}≠0,QNx≠0,

現(xiàn)在來討論方程(2)正周期解的存在性.

證明為了利用引理2,令X=Z={x(t)∈C(R,R),x(t+t)=x(t)},X和Z都是Banach空間,對任意的x∈X(或Z),定義范數(shù)||x||=maxt∈[0,ω].

(10)

設(shè)x(t)∈X是式(8)對一個確定的λ∈(0,1)一個解. 則在[0,ω]上積分上式可得:

ω.

(11)

ω.

(12)

因為x(t)∈X, 于是存在ξ∈[0,ω],使得x(ξ)=mint∈[0,ω]x(t)，于是可得:

(13)

(14)

聯(lián)立式(12),可得:

(15)

另一方面, 存在η∈[0,ω],使得η∈[0,ω]x(η)=maxt∈[0,ω]x(t). 那么由式(11)有:

(16)

即:

(17)

因此,由式(12)和式(17)知:

(18)

方程(15)和 (18)兩式蘊涵著:

(19)

顯然M1與參數(shù)λ無關(guān).記M=M1+m0,這里m0取充分大,使得方程：

(20)

的每個解v*滿足|v*|

當x∈?Ω∩KerL=?Ω∩R,x是一個常向量，在R上有|x|=M.于是:

(21)

引理2的條件(b)也滿足.由式(20)和Brouwer度公式,直接計算表明:deg{JQNx,Ω∩KerL,0}≠0.

引理2的所有假設(shè)條件均滿足.因此，由引理2可得方程(9)有一個ω-周期解,再由變換x(t)=lnu(t)可知系統(tǒng)(2)存在一個正的ω-周期解.

3 結(jié)論

本文討論了一個具有脈沖效應(yīng)的單種群周期系統(tǒng). 利用迭合度的分析方法,得到了系統(tǒng)正周期解存在的充分條件.定理2.1[12]的假設(shè)條件(H4)表明系統(tǒng)存在一個非自然限制的脈沖擾動.$ar{r}>0$ 表示種群的內(nèi)稟增長率為正.

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PositivePeriodicSolutionofSingle-SpeciesSystemwithMulti-timeDelays

LI Yong-liang

(Department of Mathematics,Hubei University for Nationalities，Enshi 445000,China)

In this paper, we investigate a single-species system with multi-time delays. By using the coincidence degree theory, the positive periodic solution of system is discussed. In addition, the practical application and numerical analysis are also used to illustrate the result.

Positive periodic solution;delay;impulsive;single-species system

2013-05-02.

湖北省科技廳軟科學項目(2012GDA01309).

李永亮 (1968- )，男，講師，碩士，主要從事生物數(shù)學、數(shù)值計算的研究.

O175

A

1008-8423(2013)02-0184-04