附有等式約束的Kalman濾波方法及其在邊坡監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用

徐衛(wèi)東，伍錫銹，歐海平

（廣州市城市規(guī)劃勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院，廣東 廣州 510060）

在邊坡、橋梁、大壩等結(jié)構(gòu)物變形監(jiān)測(cè)應(yīng)用中，監(jiān)測(cè)點(diǎn)的變形特征與其監(jiān)測(cè)對(duì)象本身特點(diǎn)或外在荷載因素具有很大的關(guān)聯(lián)性，以及由此而產(chǎn)生的諸多先驗(yàn)信息在實(shí)際變形監(jiān)測(cè)應(yīng)用中并沒有得到很好的利用。如高層建筑在風(fēng)力荷載下的振動(dòng)變形方向主要表現(xiàn)在順風(fēng)向且在垂直方向上位移變形很?。粯蛄旱撵o載或動(dòng)載撓度監(jiān)測(cè)中，橋梁水平位置變化較小，振動(dòng)特性主要表現(xiàn)在橋梁的垂直振動(dòng)方向上。在實(shí)際監(jiān)測(cè)應(yīng)用中可根據(jù)具體情況利用這些已知先驗(yàn)信息建立參數(shù)的約束條件，并將其視為虛擬完美觀測(cè)，同其他觀測(cè)量一并處理，從而提高參數(shù)估計(jì)的精度和可靠性［1－5］。如果建立的是等式約束條件，則形成具有等式約束的平差問題；如果建立的是不等式約束條件，則形成具有不等式約束的平差問題，不等式約束的解算一般較困難，難以用某種統(tǒng)一的解算方法得到其最優(yōu)估計(jì)［6］。在邊坡監(jiān)測(cè)應(yīng)用中，邊坡下滑的特性與其地質(zhì)條件具有很大的關(guān)聯(lián)性，以及在某些實(shí)際邊坡監(jiān)測(cè)應(yīng)用中，邊坡的坡向以及大致下滑方向可以在監(jiān)測(cè)之前得到，并可以將其視為一種先驗(yàn)信息，從而建立一種先驗(yàn)約束條件。

Kalman濾波是一種對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理的方法，常應(yīng)用于動(dòng)態(tài)定位、變形監(jiān)測(cè)應(yīng)用中，其能夠從帶有噪聲干擾的信號(hào)中提取得到有用信號(hào)的參數(shù)估計(jì)方法，其采用遞推的算法并能夠在未得到下一期觀測(cè)數(shù)據(jù)之前對(duì)狀態(tài)參數(shù)做出下一步預(yù)測(cè)估計(jì)［7］。本文針對(duì)邊坡變形監(jiān)測(cè)應(yīng)用，根據(jù)邊坡下滑方向建立參數(shù)的等式約束條件，將其引入Kalman濾波方程；其思路是在原有的濾波方法的基礎(chǔ)上，增加附有約束信息的條件方程，以改善濾波處理結(jié)果，并以某實(shí)際邊坡監(jiān)測(cè)實(shí)例證明本方法的有效性和可行性。

1 等式約束方程的建立

將邊坡下滑方向信息引入濾波模型中，增加濾波狀態(tài)模型信息。假設(shè)邊坡在水平面投影上沿某直線方向滑動(dòng)，則該直線方程可以表示為［1］

式中：n，e為邊坡監(jiān)測(cè)點(diǎn)的北向和東向坐標(biāo)參數(shù)，vN，vE為監(jiān)測(cè)點(diǎn)在北向和東向的下滑速度，r為直線斜率表示為邊坡的下滑方向，m為常數(shù)。若將其寫成矩陣的形式則可以表達(dá)為

其中：Xk＝（neuvNvEvU）為第k個(gè)歷元的狀態(tài)向量

2 附有等式約束的Kalman濾波算法

在濾波模型中引入約束條件方程，使得狀態(tài)方程之間滿足新的約束條件關(guān)系。其解決辦法是利用約束方程消去部分狀態(tài)參數(shù)，再進(jìn)行濾波計(jì)算。但是，這樣將會(huì)改變?yōu)V波方程形式以及狀態(tài)參數(shù)個(gè)數(shù)，以及需要對(duì)原來的濾波方程進(jìn)行修改，使計(jì)算復(fù)雜化，并且不利于附有等式約束的濾波向不等式約束的濾波的擴(kuò)展；另一種解決辦法是將其并入濾波狀態(tài)方程和觀測(cè)方程中，不改變?yōu)V波方程遞推解形式。下面以最小方差準(zhǔn)則進(jìn)行附加約束條件的濾波公式推導(dǎo)。設(shè)增加約束條件后系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程分別為［1，5，8－9］

設(shè)增加約束條件后的修正狀態(tài)估計(jì)值為X′（在下面公式推導(dǎo)中略去下標(biāo)k），則在最小方差估計(jì)準(zhǔn)則下滿足E（PX－X′P2｜L）＝min的條件下，使得式（6）成立。

由

建立拉格朗日方程，則

由于Kalman濾波估值可以表示為

代入得

將式（10）兩邊分別對(duì)X′，λ求偏導(dǎo)得

解得

增加等式約束條件，即增加新的狀態(tài)向量參數(shù)約束方程。由于Kalman濾波的特點(diǎn)是采用時(shí)間域上的遞推算法，其不僅適合于計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)，且存儲(chǔ)量小，不需要大量的存儲(chǔ)空間。下面以在標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波的基礎(chǔ)上推導(dǎo)附有約束條件的濾波遞推方程，其利用約束條件對(duì)狀態(tài)模型信息的一步預(yù)測(cè)值進(jìn)行修正。

其標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波狀態(tài)一步預(yù)測(cè)值為

約束條件方程修正的狀態(tài)一步預(yù)測(cè)為

計(jì)算預(yù)測(cè)狀態(tài)協(xié)方差矩陣

濾波增益矩陣

狀態(tài)估計(jì)方程

計(jì)算新的狀態(tài)向量協(xié)方差矩陣

3 實(shí)例計(jì)算分析

實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)來源于2008年常吉高速一邊坡GPS連續(xù)變形監(jiān)測(cè)系統(tǒng)8號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)，數(shù)據(jù)通訊采用GPRS無線通訊，連續(xù)觀測(cè)約184d，并隔3h靜態(tài)解算一個(gè)觀測(cè)結(jié)果，由于山區(qū)信號(hào)質(zhì)量較差，觀測(cè)結(jié)果受到比較強(qiáng)的噪聲干擾影響。邊坡的約束條件方程式（1）中r＝－0.782 4，m＝0。濾波動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型采用常速度模型［10］，狀態(tài)向量Xk＝（neuvNvEvU）T。下面分別列出原始觀測(cè)結(jié)果圖和采用本文附加約束條件的Kalman濾波方法處理效果圖，其中水平方向?yàn)闀r(shí)間，豎直方向?yàn)樽冃瘟?，三條曲線至上而下分別表示北方向N，高程方向U，東方向E的變形量，見圖1和圖2；并畫出濾波處理前和分別采用標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波與附有約束條件的濾波方法處理之后的監(jiān)測(cè)點(diǎn)水平面投影點(diǎn)位運(yùn)動(dòng)軌跡圖，見圖3和圖4，其中橫坐標(biāo)表示E方向，縱坐標(biāo)表示N方向，圖3中直線表示邊坡的下滑方向。

圖4 監(jiān)測(cè)點(diǎn)水平面投影點(diǎn)位運(yùn)動(dòng)軌跡（濾波之后）

由計(jì)算結(jié)果可以看出：

由于山區(qū)信號(hào)質(zhì)量較差，信號(hào)遮擋比較嚴(yán)重，且由于受到多路徑效應(yīng)、周跳、信號(hào)中斷等影響，從圖1中可以看出觀測(cè)結(jié)果受到很強(qiáng)的隨機(jī)噪聲干擾影響和乃至大于觀測(cè)隨機(jī)噪聲數(shù)倍的觀測(cè)粗差影響；圖2可以看出經(jīng)過附有等式約束Kalman濾波方法能夠比較好的去除隨機(jī)噪聲和觀測(cè)粗差影響；圖3中可以看出直接觀測(cè)結(jié)果由于噪聲干擾影響，其運(yùn)動(dòng)軌跡在邊坡下滑方向擺動(dòng)很大，甚至由于粗差影響完全大角度的偏離了邊坡下滑方向；圖4中對(duì)比于標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波處理效果本文附加等式約束的濾波方法處理后其點(diǎn)位運(yùn)動(dòng)軌跡與邊坡下滑方向基本一致，其與實(shí)際邊坡下滑情況相符，也證明了本文方法的可行性和有效性。

4 結(jié)束語

在變形監(jiān)測(cè)中，諸多監(jiān)測(cè)對(duì)象變形特點(diǎn)的先驗(yàn)信息可以利用，本文利用邊坡坡向和下滑方向?yàn)橐环N先驗(yàn)信息，從而利用該先驗(yàn)信息建立等式約束方程并引入Kalman濾波器，經(jīng)過實(shí)例證明本方法具有一定的可行性和有效性。本文方法的不足之處是邊坡的下滑方向并非是某完全確定的一個(gè)方向，其只是大致趨向于某個(gè)方向，解決的辦法是建立不等式約束條件方程，將其下滑方向確定為某區(qū)間內(nèi)，從而進(jìn)行不等式約束解算，但是不等式約束解算困難，難以以某種統(tǒng)一的解算方法得到最優(yōu)估計(jì)；附加等式約束的方法相比而言解算稍微簡(jiǎn)單并能夠得到最優(yōu)估計(jì)，從理論上和計(jì)算上更易于被人們所接受，具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

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