動力調(diào)諧陀螺儀模型快速開環(huán)辨識

楊 光，李醒飛，孫 建，趙建遠(yuǎn)

(天津大學(xué)精密測試技術(shù)及儀器國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072）

動力調(diào)諧陀螺儀是一種工作于閉環(huán)狀態(tài)的角速率測量元件．因其內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜，批量生產(chǎn)難以保證其傳遞函數(shù)模型參數(shù)一致，同時，這些參數(shù)還會因內(nèi)部機(jī)械磨損、應(yīng)力配合等因素發(fā)生改變．為了實(shí)時調(diào)整回路參數(shù)，保證閉環(huán)伺服性能，需要對動力調(diào)諧陀螺儀傳遞函數(shù)參數(shù)模型進(jìn)行快速辨識，為陀螺儀伺服回路設(shè)計(jì)調(diào)整提供依據(jù)[1]．

目前關(guān)于動力調(diào)諧陀螺儀傳遞函數(shù)模型辨識的研究多使用正弦掃頻信號作為激勵信號，逐點(diǎn)檢測系統(tǒng)對不同頻率正弦信號的響應(yīng)，獲取系統(tǒng)頻率特性曲線，并通過最小二乘擬合、傅里葉變換等方法得到頻率響應(yīng)函數(shù)[2]．該方案具有穩(wěn)定、可靠等優(yōu)點(diǎn)，但測試速度較慢，另外在開環(huán)測試中，輸入信號幅度受對象特性限制，因而信噪比低，影響辨識精度．激勵信號的選擇在系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型辨識中起著重要作用，包括信號類型、階次等參數(shù)的確定．n 階系統(tǒng)開環(huán)可辨識條件是激勵信號滿足2n 階持續(xù)激勵條件[3]，以充分激發(fā)出系統(tǒng)的所有模態(tài)．Callafon 等[4]的研究表明激勵信號頻率段應(yīng)大于對系統(tǒng)所感興趣的頻率段．Pintelon 等[5]指出周期信號的激勵可以簡化辨識算法．采用多正弦信號作為激勵信號兼具上述特點(diǎn)，可以一次性激勵系統(tǒng)在各個頻率上的特征[6]，相比掃頻信號效率更高．同時，與最小二乘法相比，基于外加輸入自回歸(auto regressive exogenous，ARX)模型采用預(yù)報(bào)誤差法進(jìn)行模型參數(shù)估計(jì)可以簡化辨識過程，降低參數(shù)估計(jì)誤差、提高抑制噪聲能力[7-9]．

筆者使用多正弦信號作為激勵，對信號帶寬、幅值進(jìn)行選擇，獲得適宜于慣性元件測試的激勵信號．在此基礎(chǔ)上建立動力調(diào)諧陀螺儀模型辨識平臺，獲得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并基于ARX 模型采用預(yù)報(bào)誤差法進(jìn)行陀螺參數(shù)模型辨識．最后對辨識得到的模型進(jìn)行了有效性驗(yàn)證．

1 動力調(diào)諧陀螺儀模型

典型的兩自由度動力調(diào)諧陀螺儀由陀螺馬達(dá)及懸掛在撓性支撐上的轉(zhuǎn)子飛輪、信號器和力矩器等組成．在調(diào)諧狀態(tài)下，其傳遞函數(shù)模型結(jié)構(gòu)如圖1 所示．圖中：J 為陀螺轉(zhuǎn)動慣量；H 為陀螺角動量；KT和KP分別為力矩器和信號器增益系數(shù)；Φx、Φy分別為陀螺儀殼體相對慣性空間的運(yùn)動轉(zhuǎn)角在陀螺儀殼體坐標(biāo)系Oxyz 的Ox 和Oy 軸上的分量；α、β分別為陀螺儀轉(zhuǎn)子相對殼體偏角在殼體坐標(biāo)系Oy 和Ox 軸上的分量；Mx、My分別為作用于轉(zhuǎn)子上的外力矩M在陀螺儀殼體坐標(biāo)系Ox 和Oy 軸上的分量．令Φx= Φy= 0，動力調(diào)諧陀螺儀開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣可以表示為

圖1 動力調(diào)諧陀螺儀參考模型Fig.1 Reference model of DTG

通過對力矩器施加激勵信號，檢測信號器輸出響應(yīng)，可以對系統(tǒng)參數(shù)模型進(jìn)行辨識．

2 模型辨識

辨識過程需要考慮輸入輸出數(shù)據(jù)、模型類和辨識準(zhǔn)則3 方面的內(nèi)容[3]．首先進(jìn)行辨識激勵信號的設(shè)計(jì)，即如何設(shè)計(jì)辨識實(shí)驗(yàn)獲取辨識數(shù)據(jù)．

2.1 辨識激勵信號設(shè)計(jì)

本文采用多正弦信號作為動力調(diào)諧陀螺儀模型辨識的激勵信號，其時域表達(dá)式為

式中：ia 為正弦量的幅值；0f 為起始頻率；fΔ 為頻率間隔；iφ為初相角，按線性分布．

可以看出，多正弦信號具有周期性、帶寬和頻譜可以任意精確設(shè)定以及無雜散頻率成分等優(yōu)點(diǎn)．另外，當(dāng)初始相角按線性分布時，信號可以獲得較低的峰值因子[6]，這樣既可以增加輸入信號幅度，提高信噪比，又能保證激勵平穩(wěn)均勻，適宜于慣性器件的參數(shù)辨識．

另外，通過對動力調(diào)諧陀螺儀工作頻帶進(jìn)行加權(quán)可以更充分地激發(fā)出對象的動態(tài)特性．綜上所述，對應(yīng)激勵信號時域表達(dá)式為

式中p 為對應(yīng)工作頻帶ωn1～ωn2的加權(quán)．

2.2 基于漸進(jìn)理論的模型辨識

確定辨識信號，并通過辨識實(shí)驗(yàn)獲取輸入輸出數(shù)據(jù)后，下面需要選擇模型類，并按照相應(yīng)的辨識準(zhǔn)則進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，得到系統(tǒng)模型估計(jì)?(j) Gω．系統(tǒng)辨識漸進(jìn)定理指出：當(dāng)系統(tǒng)辨識模型階數(shù)n 和數(shù)據(jù)樣本數(shù)N 趨于無窮時，估計(jì)模型漸進(jìn)收斂于真實(shí)模型．對于開環(huán)實(shí)驗(yàn)，模型估計(jì)方差[10-11]為

式中Φu和Φv分別為系統(tǒng)輸入信號和噪聲信號的功率譜密度．

由式(4)可知：①模型估計(jì)方差與輸入信號功率譜相關(guān)，因此在選取激勵信號加權(quán)值p 時，要保證盡可能大幅度激勵對象的工作頻段，以提高模型估計(jì)的準(zhǔn)確性．②只要能保證足夠的樣本數(shù)據(jù)和模型階次，模型的估計(jì)值將漸近收斂于模型的真實(shí)描述．即模型估計(jì)的漸近特性與模型結(jié)構(gòu)沒有關(guān)系，所以在選取模型類時選擇結(jié)構(gòu)簡單的ARX 模型．

描述動力調(diào)諧陀螺儀模型的ARX 模型類可表示為

式中：u(t)、y (t)分別為激勵信號、響應(yīng)信號；Gij(q)為動力調(diào)諧陀螺儀子模型，i 和j 分別表示輸出通道和輸入通道序號．

子模型的ARX 模型結(jié)構(gòu)為

對應(yīng)差分方程可以描述為

模型參數(shù)估計(jì)采用預(yù)報(bào)誤差法，該方法不需要數(shù)據(jù)概率分布的先驗(yàn)知識，直接極小化預(yù)報(bào)誤差準(zhǔn)則函數(shù)即可．模型階的確定采用赤池信息準(zhǔn)則(AIC)[3]，模型的有效性檢驗(yàn)采用計(jì)算模型預(yù)測輸出與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合度的方案．另外，由于動力調(diào)諧陀螺儀自身結(jié)構(gòu)及加工裝配工藝限制，系統(tǒng)測試數(shù)據(jù)會包含馬達(dá)轉(zhuǎn)頻干擾以及陀螺電源頻率干擾等，可以通過數(shù)據(jù)處理濾除．

3 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

為驗(yàn)證實(shí)際系統(tǒng)測試效果，以某型號動力調(diào)諧陀螺儀為辨識對象進(jìn)行參數(shù)模型辨識測試．選用NI采集卡PCI-6251 對動力調(diào)諧陀螺儀施加激勵并采集響應(yīng)數(shù)據(jù)，上位機(jī)用于對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和模型辨識．實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖2 所示．

實(shí)驗(yàn)以交叉軸傳遞函數(shù)辨識為例(Gij(s)，i = 2,j= 1)，將多正弦信號作為輸入信號，正弦量幅值300,mV，起始頻率f0＝1,Hz，頻率間隔Δf＝1,Hz，終止頻率600,Hz，共600 個正弦波疊加，為了保證響應(yīng)的穩(wěn)定性，持續(xù)激勵20,s．

圖2 動力調(diào)諧陀螺儀模型測試系統(tǒng)Fig.2 Model testing system of DTG

根據(jù)本文的辨識方法，得到系統(tǒng)ARX 模型為

將以上辨識結(jié)果轉(zhuǎn)換為連續(xù)傳遞函數(shù)，進(jìn)而得到系統(tǒng)頻率特性曲線，如圖3(a)所示，可以看出，頻率特性主要包括3 個峰值，其中455,Hz 是反映系統(tǒng)動態(tài)特性的章動頻率，250,Hz 和500,Hz 分別為陀螺轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)頻干擾以及陀螺電源頻率干擾，并非系統(tǒng)對激勵信號的響應(yīng)，因此對響應(yīng)數(shù)據(jù)中的干擾頻率進(jìn)行濾波處理，保留反映系統(tǒng)主要動態(tài)性的信息，重新進(jìn)行模型辨識，得到辨識結(jié)果為

同上，可以轉(zhuǎn)換得到動力調(diào)諧陀螺儀交叉軸頻率特性曲線如圖3(b)所示．

按照上面測試方法進(jìn)行5 組重復(fù)實(shí)驗(yàn)，擬合結(jié)果修正取平均，化簡可得到交叉軸的傳遞函數(shù)模型為

由式(10)可以得到參量H 和J 的實(shí)測值：H = 0.024 kg· m2· rad/s ，J = 8.4 ×1 0?6kg· m2．這與設(shè)計(jì)和生產(chǎn)參考值 H0= 0.025 kg· m2· rad/s ，J0=8.8 ×10?6kg· m2具有一致性，驗(yàn)證了設(shè)計(jì)指標(biāo)．

圖3 多正弦激勵辨識結(jié)果Fig.3 Identification results got by the motivation of multisine

同時，為了進(jìn)一步驗(yàn)證模型的可靠性，將基于該辨識模型獲得的仿真輸出與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，結(jié)果如圖4 所示，兩組數(shù)據(jù)擬合度為95.3%，辨識得到的模型足以描述系統(tǒng)主要動態(tài)特性，滿足控制器設(shè)計(jì)的需求．

圖4 辨識模型的仿真輸出與驗(yàn)證數(shù)據(jù)的比較Fig.4 Comparison between validation data and simulation output of identification model

最后，使用傳統(tǒng)的系統(tǒng)掃頻測試與本方案進(jìn)行對比驗(yàn)證，同樣選擇頻段1～600,Hz，進(jìn)行多次重復(fù)性實(shí)驗(yàn)．為防止轉(zhuǎn)子偏擺過大，掃頻測試信號幅值定為60,mV．激勵時間與前面保持一致，每個頻率持續(xù)激勵20,s，共測試100 個頻率點(diǎn)．辨識結(jié)果如圖5 所示，可以看到掃頻得到的結(jié)果與按本文方案辨識得到的結(jié)果具有一致性．

圖5 ARX模型辨識與掃頻得到交軸頻率特性比較Fig.5 Comparison of the cross-axis frequency characteristic got by sweep and the ARX model identification

將兩種方案進(jìn)行對比，結(jié)果如表1所示．由表1 可以看出多正弦信號激勵測試時間約20,s，而傳統(tǒng)掃頻法辨識卻需要2,000,s．可見，由于多正弦信號可以在短時間內(nèi)對系統(tǒng)工作頻段給予充分激勵，因而采用該方案可極大提高辨識效率．另外，多正弦信號輸入激勵均勻，保證陀螺轉(zhuǎn)子不會超出限定的工作區(qū)間，因而激勵幅值遠(yuǎn)高于掃頻信號，同等條件下提高了輸入信噪比，獲得相對較高的模型擬合度.

表1 模型辨識方案比較Tab.1 Comparison of model identification program

4 結(jié) 語

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與掃頻辨識方案相比，采用本文辨識方案，辨識效率得到大幅提高，測試時間由2,000,s 縮短為20,s；進(jìn)一步改善辨識精度，模型對數(shù)據(jù)的擬合度由92.5%提高到95.3%；此外，本辨識方案大幅度提高了輸入信噪比．為快速辨識動力調(diào)諧陀螺儀的參數(shù)模型并進(jìn)行伺服回路優(yōu)化設(shè)計(jì)，保證閉環(huán)伺服性能提供了可靠保證．同時，本方案也適用于液浮陀螺、石英撓性加速度計(jì)等慣性元件的傳遞函數(shù)測試建模．

［1］萬健如，張建松，陳 超，等. 垂直陀螺180°回轉(zhuǎn)伺服變結(jié)構(gòu) PID 控制[J]. 天津大學(xué)學(xué)報(bào)， 2006 ，39(8)：913-917.Wan Jianru，Zhang Jiansong，Chen Chao，et al. Variable PID control method for 180° back swing serve control system of vertical gyro[J]. Journal of Tianjin University，2006，39(8)：913-917(in Chinese).

［2］張連超， 范世 珣，范大鵬，等. 動力調(diào)諧陀螺再平衡回路數(shù)字化的研究與實(shí)現(xiàn)[J]. 光學(xué)精密工程，2007，15(12)：1974-1981.Zhang Lianchao，F(xiàn)an Shixun，F(xiàn)an Dapeng，et al. Research and implementation of digital control of dynamically tuned gyroscope rebalance loop[J]. Opt Precision Eng，2007，15(12)：1974-1981(in Chinese).

［3］Ljung L. System Identification：Theory for the User[M].2nd ed. NJ，Upper Saddle River：Prentice-Hall，1999.

［4］de Callafon R A，Van den Hof P M J. Multivariable feedback relevant system identification of a wafer stepper system[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology，2001，9(2)：381-390.

［5］Pintelon R，Vandersteen G，Locht L D. Experimental characterization of operational amplifiers ： A system identification approach(Part I)：Theory and simulations[J]. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement，2004，53(3)：854-862.

［6］侯國屏，吳 靜，董甲瑞. Multitone 信號及其在測量中的應(yīng)用[J]. 清華大學(xué)學(xué)報(bào)： 自然科學(xué)版，2007(10)：1574-1577.Hou Guoping，Wu Jing，Dong Jiarui. Multitone signals and its applications in measurement [J]. Journal of Tsinghua University：Science and Technology，2007(10)：1574-1577(in Chinese).

［7］Yang M，Makis V. ARX model-based gearbox fault detection and localization under varying load conditions[J]. Journal of Sound and Vibration，2010，329(24)：5209-5221.

［8］Karny M，Pavelkova L. Projection-based Bayesian recursive estimation of ARX model with uniform innovations[J]. Systems and Control Letters ， 2007 ， 56(9/10)：646-655.

［9］Li H，Wang D，Chen Z. Adaptive Hammerstein predistorter using the recursive prediction error method[J].Tsinghua Science and Technology，2008，13(1)：17-22.

［10］Ljung L. Asymptotic variance expressions for identified black-box transfer function models[J]. IEEE Transactions on Automatic Control，1985，30(9)：834-844.

［11］Zhu Y C. Multivariable System Identification for Process Control[M]. Netherlands：Elsevier Science Ltd，2001.