E0互補問題的變形凝聚同倫算法

王秀玉, 姜興武, 李 琳

(1. 長春工業(yè)大學 基礎科學學院, 長春 130012; 2. 吉林工商學院 基礎部, 長春 130062)

考慮非線性互補問題: 求x≥0, 滿足f(x)≥0, 且有xTf(x)=0, 其中f(x)=(f1(x),f2(x),…,fn(x))T是向量值的光滑函數(shù). 當f為線性函數(shù)時, 互補問題稱為線性互補問題. 當f為E0-映射時, 互補問題稱為E0互補問題. 求解互補問題等價于求解下列非線性非光滑方程組：

(1)

上述互補問題廣泛應用于經(jīng)濟、 工程生產(chǎn)及各種均衡模型中, 目前, 已有許多求解互補問題的方法, 如信賴域法[1]、 迭代法[2]、 投影法[3]、 例外族法[4]和同倫方法[5-9]等. 其中同倫方法由于具有大范圍收斂性, 已成為求解非線性數(shù)學問題的重要工具之一. 文獻[5-6]系統(tǒng)地研究了利用同倫方法求解互補問題; 文獻[7]利用文獻[5]的同倫方程討論了半定線性互補問題的可解性; 文獻[8]推廣了文獻[7]的結論, 給出了一類非單調(diào)互補問題解的存在性; 文獻[9]建立了與文獻[5-8]不同的同倫方程, 但缺少互補問題解存在的條件.

文獻[10]研究了凝聚函數(shù)的性質(zhì), 給出g(x,μ)光滑逼近極大函數(shù)g(x). 本文利用凝聚函數(shù)的變形形式構造同倫方程, 對E0互補問題進行求解.

設x≥0(x>0)表示向量x的每個分量為非負(正)數(shù);f′表示向量值函數(shù)f: Rn→Rn的Jacobi矩陣;h表示數(shù)量值函數(shù)h: Rn→R的梯度.

1 變形凝聚函數(shù)

1)g(x)≤g(x,μ)≤g(x)+μlnm;

1)c(x)-μlnm≤c(x,μ)≤c(x);

本文令

φ: R2→R,φ(a,b)=-μln(e-a/μ+(1-μ)ce-b/μ),

c>0為常數(shù),φ(a,b)稱為變形凝聚函數(shù). 顯然有

φ(a,b)=-μln(e-a/μ+eln(1-μ)ce-b/μ)=-μln(e-a/μ+e-(b-μln(1-μ)c)/μ).

又由引理2可知

min(a,b-μln(1-μ)c)-μln2≤φ(a,b)≤min(a,b-μln(1-μ)c),

因而有

利用凝聚同倫方法求解非線性互補問題, 做如下假設：

(H1)fi(x)(i∈M)是Cl(l≥2)函數(shù);

定義1[11]如果對任意的x,y∈Rn, 且x-y≥0, 必存在指標i, 使得xi>yi, 且有fi(x)≥fi(y), 則映射f稱為E0-映射,E0-映射也稱為半單調(diào)映射.

2 互補問題的變形凝聚同倫算法

H(x,x(0),μ)=Φ(x)-μx(0)=0,

(2)

其中

對于給定的x(0), 式(2)也記為

(3)

證明: 將x(0)視為變量, 將以x(0),x,μ為自變量的同倫方程記為Hx(0)(x,μ), 其Jacobi矩陣記為

證明: 若Γx(0)是一條無界曲線, 則存在點列{(x(k),μk)∈Γx(0)}, 使得‖(x(k),μk)‖→∞, 由同倫方程(2)可得

(4)

解式(4)得

由式(5)得

(6)

(7)

與條件1矛盾, 因此,Γx(0)是一條光滑的有界曲線.

證明: 由定理1和定理2易知Γx(0)為有界曲線. 由一維流形分類定理知,Γx(0)微分同胚于單位圓周或單位區(qū)間(0,1](證明與文獻[9]的定理2.1類似). 注意到

是非奇異的, 得Γx(0)不能微分同胚于單位圓周, 而只能微分同胚于單位區(qū)間. 記(x(*),μ*)為Γx(0)的極限點, 則只可能發(fā)生以下4種情形:

1)μ*∈[0,1], ‖(x(*)‖→∞;

2)μ*=1, ‖x(*)‖<∞;

3) ‖x(*)‖<∞,μ*∈(0,1), 且x(*)∈?Θμ*;

下面利用預估-校正算法對同倫方程(2)產(chǎn)生的路徑進行跟蹤, 從而得到非線性互補問題的解, 算法步驟與文獻[12]相同.

命題1若Γx(0)為光滑曲線, 則在初始點x(0)處的正方向η(0)滿足

證明: 由

得

(8)

其中

從而有

例1

經(jīng)簡單計算易知f為E0-映射且顯然條件1成立. 計算結果列于表1.

表1 例1的計算結果

例2

表2 例2的計算結果

由表1和表2可見, 本文算法的計算速度和精度均優(yōu)于文獻[12].

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