復合凸優(yōu)化問題的穩(wěn)定強對偶

趙 丹,孫祥凱

(1. 重慶工商大學融智學院,重慶 400033；2. 重慶工商大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,重慶 400067)

復合凸優(yōu)化問題(即目標函數(shù)是凸函數(shù)的復合)應用廣泛. 許多最優(yōu)化問題,如極大極小優(yōu)化問題、 凸優(yōu)化問題及目標函數(shù)是凸函數(shù)和線性算子復合的約束優(yōu)化問題等都可以作為復合凸優(yōu)化問題的特例；許多實際應用的最優(yōu)化問題模型,如位置問題、 交通運輸問題和經(jīng)濟學問題等都涉及到復合凸函數(shù)[1-5]. 對于復合凸優(yōu)化問題對偶問題的研究,目前主要借助共軛函數(shù)上圖的性質(zhì)引入各種約束品性并用其刻畫對偶理論[6-8]. 但上述問題都要求相關(guān)函數(shù)具有連續(xù)性或下半連續(xù)性及相關(guān)集合具有閉性的假設(shè),且許多實際問題中,常會遇到相關(guān)函數(shù)不具有連續(xù)性或相關(guān)集合不具有閉性假設(shè)的情形. 目前利用該方法研究無約束優(yōu)化問題以及無限約束優(yōu)化問題的對偶問題報道較少[9-10]. 基于此,本文在所考慮函數(shù)不一定下半連續(xù)或集合不一定閉的情形下,通過引入復合凸優(yōu)化問題的對偶問題,借助約束品性刻畫了其穩(wěn)定強對偶及強對偶.

對于乘積空間X*×R,本文賦予w(X*,X)和通常的歐氏拓撲的乘積拓撲.

定義1[2]設(shè)M?X,Z?X,若M∩Z=clM∩Z,則稱集合M相對于子空間Z是閉的.

所謂穩(wěn)定強對偶,是指對給定優(yōu)化問題的目標函數(shù)做一個線性擾動后而得到的新問題的強對偶. 對于問題(P),它的最優(yōu)值記為val(P).

由文獻[6]中命題3.1可得下述弱對偶.

定理1(穩(wěn)定弱對偶) 問題(Pp)和(Dp)之間的弱對偶成立,即 val(Pp)≥val(Dp).

定理2(弱對偶) 問題(P)和(D)之間的弱對偶成立,即val(P)≥val(D).

假設(shè)(clg)°h為真函數(shù),clg為真的K-遞增函數(shù). 因為函數(shù)h可能取值+∞,所以定義g(+∞)=+∞.

定義3若下述包含關(guān)系成立：

則稱點對(g,h)滿足約束品性(NCQ).

注1易證式(1)的反包含關(guān)系成立,所以式(1)可由下式代替:

所以(p,0,r)∈{(p,0,r): (p,r)∈epi(g°h)*}∩(X*×{0}×R). 故式(2)成立. 證畢.

定理3(穩(wěn)定強對偶) 點對(g,h)滿足約束品性(NCQ)當且僅當對于任意的p∈X*,val(Pp)=val(Dp),并且(Dp)至少存在一個最優(yōu)解.

證明：充分性. 若val(Pp)=-∞,則結(jié)論顯然成立. 設(shè)val(Pp)∈R,則(p,(g°h)*(p))=epi(g°h)*. 因為點對(g,h)滿足約束品性(NCQ),所以

因此點對(g,h)滿足約束品性(NCQ). 證畢.

由定理3易得下述強對偶結(jié)論:

定理4(強對偶) 若點對(g,h)滿足約束品性(NCQ),則val(P)=val(D),并且(D)至少存在一個最優(yōu)解.

注2當函數(shù)f,g為下半連續(xù)、h為K-上圖閉時,文獻[6]的定理5.1借助約束品性(CQ)刻畫了問題(P)和(D)之間的強對偶. 而當函數(shù)f,g不是下半連續(xù)、h不是K-上圖閉時,本文借助約束品性(NCQ)刻畫了問題(P)和(D)之間的強對偶. 顯然本文結(jié)果推廣并改進了已有的結(jié)果.

[1] Burke J V,Ferris M C. A Gauss-Newton Method for Convex Composite Optimization [J]. Mathematical Programming,1995,71(2): 179-194.

[2] Combari C,Laghdir M,Thibault L. A Note on Subdifferentials of Convex Composite Functionals [J]. Archiv der Mathematik,1996,67(3): 239-252.

[3] Zalinescu C. Convex Analysis in General Vector Spaces [M]. Singapore: World Scientific,2002.

[4] ZHENG Xi-yin,Ng K F. Strong KKT Conditions and Weak Sharp Solutions in Convex Composite Optimization [J]. Mathematical Programming,2011,126(2): 259-279.

[5] KOU Xi-peng,PENG Xing-yuan,ZHU Sheng-kun. Second-Order Optimality Conditions for Constrained Set Valued Optimization Problems [J]. Journal of Jilin University: Science Edition,2012,50(2): 244-250. (寇喜鵬,彭興媛,朱勝坤. 約束集值優(yōu)化問題的二階最優(yōu)性條件 [J]. 吉林大學學報: 理學版,2012,50(2): 244-250.)

[6] Bot R I,Grad S M,Wanka G. A New Constraint Qualification for the Formula of the Subdifferential of Composed Convex Functions in Infinite Dimensional Spaces [J]. Mathematische Nachrichten,2008,281(8): 1088-1107.

[7] Bot R I,Grad S M,Wanka G. Generalized Moreau-Rockafellar Results for Composed Convex Functions [J]. Optimization,2009,58(7): 917-933.

[8] Bot R I. Conjugate Duality in Convex Optimization [M]. Berlin: Springer-Verlag,2010.

[9] LI Chong,FANG Dong-hui,Lopez G,et al. Stable and Total Fenchel Duality for Convex Optimization Problems in Locally Convex Spaces [J]. SIAM Journal on Optimization,2009,20(2): 1032-1051.

[10] Fang D H,Li C,Ng K F. Constraint Qualifications for Optimality Conditions and Total Lagrange Dualities in Convex Infinite Programming [J]. Nonlinear Analysis: Theory,Methods &Applications,2010,73(5): 1143-1159.

[11] Jeyakumar V,Dinh N,Lee G M. A New Closed Cone Constraint Qualification for Convex Optimization [R]. Sydney: University of New South Wales,2004.