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    Halo軌道族延拓方法及特性研究

    2013-11-26 10:51:00劉磊劉勇曹建峰唐歌實(shí)胡松杰
    關(guān)鍵詞:質(zhì)心步長(zhǎng)幅值

    劉磊 劉勇 曹建峰 唐歌實(shí) 胡松杰

    (1航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京100094)(2北京航天飛行控制中心,北京100094)

    1 引言

    限制性三體問(wèn)題的5個(gè)平動(dòng)點(diǎn)及其附近的周期軌道由于獨(dú)特的空間位置和動(dòng)力學(xué)特性,非常適合于空間觀測(cè)和中繼通信等應(yīng)用,或者作為深空探測(cè)的轉(zhuǎn)移中樞[1]。目前為止,國(guó)際上已經(jīng)成功發(fā)射了10個(gè)平動(dòng)點(diǎn)探測(cè)器;2011年我國(guó) “嫦娥二號(hào)”衛(wèi)星在探月任務(wù)結(jié)束后,也進(jìn)入了日-地月系L2點(diǎn)擬周期軌道開(kāi)展探測(cè)[2];此外國(guó)內(nèi)外還有多項(xiàng)平動(dòng)點(diǎn)探測(cè)任務(wù)處于計(jì)劃之中。在這些平動(dòng)點(diǎn)任務(wù)的設(shè)計(jì)階段,為了滿足航天測(cè)控能力約束,尤其是探測(cè)任務(wù)目標(biāo)的需求,必須首先了解目標(biāo)平動(dòng)點(diǎn)周期軌道的周期和運(yùn)動(dòng)范圍等特性。

    平動(dòng)點(diǎn)周期軌道的理論基礎(chǔ)為天體力學(xué)中的三體問(wèn)題,尤其是圓型限制性三體問(wèn)題,目前國(guó)內(nèi)外對(duì)其動(dòng)力學(xué)特性分析和相關(guān)解的研究較為充分[3-7],在Halo軌道族計(jì)算尤其是族參數(shù)選擇、族周期和幅值的變化特性等方面的研究則相對(duì)有限。為了全面了解平動(dòng)點(diǎn)大范圍Halo軌道的周期和運(yùn)動(dòng)范圍等特性,可以研究平動(dòng)點(diǎn)附近的Halo軌道族。不過(guò),由于Halo軌道族計(jì)算受族參數(shù)影響較大,在某些特定族參數(shù)下大幅值Halo軌道迭代不收斂,或者迭代結(jié)果與初值相差較大,不能得到完整連續(xù)的Halo軌道族。

    因此,本文基于微分修正和延拓法研究了Halo軌道族計(jì)算及其運(yùn)動(dòng)特性,克服了傳統(tǒng)Halo軌道設(shè)計(jì)方法在大幅值Halo軌道和完整Halo軌道族數(shù)值計(jì)算上的缺陷,得到了日-地月系,尤其是地月系共線平動(dòng)點(diǎn)連續(xù)完整的大范圍南北Halo軌道族,可用于我國(guó)未來(lái)深空探測(cè)的平動(dòng)點(diǎn)任務(wù)設(shè)計(jì)。

    2 數(shù)學(xué)模型

    2.1 Halo軌道設(shè)計(jì)

    限制性三體問(wèn)題中,第三體的質(zhì)量遠(yuǎn)小于兩個(gè)大天體的質(zhì)量。首先將質(zhì)量、長(zhǎng)度和時(shí)間單位歸一化[6],記μ為質(zhì)量稍小的大天體相對(duì)于兩個(gè)大天體質(zhì)量之和的比值;其次以兩大天體的質(zhì)心為原點(diǎn)O,兩大天體的連線為x軸,相對(duì)運(yùn)動(dòng)平面為xy平面,建立旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系或稱會(huì)合坐標(biāo)系。在圓型限制性三體問(wèn)題下,建立小天體在坐標(biāo)系Oxyz中的動(dòng)力學(xué)方程:

    式中Ω為等效勢(shì)[6]。

    在平動(dòng)點(diǎn)附近的運(yùn)動(dòng)相對(duì)于平動(dòng)點(diǎn)的偏差Δx、Δy和Δz為小量的情況下,將式(1)在平動(dòng)點(diǎn)附近作一階展開(kāi),得到平動(dòng)點(diǎn)附近周期運(yùn)動(dòng)的解析形式為

    式中Ax和Az分別為x和z方向的運(yùn)動(dòng)幅值;η和ζ分別為x和z方向的運(yùn)動(dòng)頻率,當(dāng)運(yùn)動(dòng)幅值充分大時(shí),非線性項(xiàng)的影響可能使得二者相等,從而形成Halo軌道;φ和ψ分別為x和z方向的初始相位。

    由式(2)可見(jiàn),Halo軌道關(guān)于xz平面對(duì)稱,且在xz平面附近運(yùn)動(dòng)方向垂直于xz平面,這一性質(zhì)對(duì)于Halo軌道的數(shù)值設(shè)計(jì)至關(guān)重要。Halo軌道數(shù)值設(shè)計(jì)的迭代初值可采用式(2)。如果對(duì)于初值要求較高,則可以基于式(2),由Lindstedt-Poincaré法得到共線平動(dòng)點(diǎn)Halo軌道的三階近似解[6]。

    微分修正中,利用Halo軌道的對(duì)稱性,可選擇初始狀態(tài)x0位于xz平面,在動(dòng)力學(xué)模型式(1)下由x0積分t時(shí)刻至末狀態(tài)xd,通過(guò)修正x0和t使得xd位于xz平面且滿足Halo軌道特性,即x和z方向速度為0,設(shè)xd的偏差量為δxd,修正量分別為δx0和δt,則迭代過(guò)程為

    式中Φij(i=2,4,6;j=1,3,5)表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣Φ(t1;t0)的第i行第j列個(gè)分量[3]。Φ(t1;t0)建立了由初始狀態(tài)到末狀態(tài)的單步線性估計(jì),也體現(xiàn)了末狀態(tài)對(duì)初始狀態(tài)的敏感性,如果考慮其余天體引力和光壓等攝動(dòng),則修改式(1)右端即可求解出對(duì)應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,即得完整力模型下的Halo軌道(族)。

    2.2 Halo軌道族參數(shù)與延拓計(jì)算

    式(3)為欠定方程組,一般固定一個(gè)待求參數(shù)后有確定解,這個(gè)固定參數(shù)即定義為Halo軌道族的族參數(shù),由此可選擇x0、z0、0或周期T作為族參數(shù),不過(guò)有些情況下會(huì)出現(xiàn)迭代不收斂情況。同時(shí)需指出,除族參數(shù)外的其余參數(shù)應(yīng)同步求解,文獻(xiàn)[3]中雖然也是固定z0,但是迭代時(shí)先積分至xz平面,然后改正x0和z0使得末狀態(tài)和為0,該方法對(duì)于大幅值Halo軌道會(huì)出現(xiàn)迭代發(fā)散現(xiàn)象,其原因在于預(yù)先施加約束而構(gòu)造的迭代序列偏離了真實(shí)的軌道解。

    式(3)還可以采用最小二乘法求解,其優(yōu)點(diǎn)在于收斂性較好,大幅值Halo軌道也可以收斂。不過(guò),由于所有參數(shù)均參與迭代改正,沒(méi)有反映族特征的明顯族參數(shù),此時(shí)雖然可以考慮選擇相關(guān)的Halo軌道幅值A(chǔ)x或Az作為族參數(shù),然而數(shù)值計(jì)算表明,軌道幅值較大時(shí)的最終結(jié)果與迭代初值相差較大,往往收斂于平面Lyapunov軌道,且得到的Halo軌道族連續(xù)性較差。

    選定族參數(shù)后,基于式(3)計(jì)算Halo軌道族。鑒于微分修正法極大地依賴于x0與真實(shí)解的逼近程度,大幅值Halo軌道計(jì)算時(shí)可能出現(xiàn)迭代發(fā)散,考慮采用延拓法計(jì)算Halo軌道族初值。延拓法是一種求解非線性方程組的大范圍收斂算法[8],對(duì)x0與真實(shí)解的逼近程度要求較低。對(duì)于如下非線性方程組

    延拓法的思想就是構(gòu)造一族映象H∶D×[0,1]?Rn+1→Rn,且有

    其中F0X()=0的解X0已知,H(X,1)=0的解即式(4)的解,于是式(4)的求解轉(zhuǎn)化為求如下同倫方程組的解Xν()

    式(3)對(duì)應(yīng)于延拓法中的待求問(wèn)題F(X),除族參數(shù)以外的變量即待求參數(shù)X,族參數(shù)即同倫方程組變量ν。利用延拓法計(jì)算Halo軌道族,首先在平動(dòng)點(diǎn)附近利用Halo軌道高階解和微分修正法,計(jì)算初始標(biāo)稱軌道,即式(5)中F0X()=0的解X0;其次,選擇同倫方程組變量ν,選取步長(zhǎng)Δν,利用式(3)計(jì)算族參數(shù)增加步長(zhǎng)Δν后X0的其余狀態(tài)參數(shù)的改變量,從而得到新的X0;最后,利用微分修正法迭代求解族參數(shù)增加步長(zhǎng)Δν后的Halo軌道。

    為了分析Halo軌道族的運(yùn)動(dòng)區(qū)域,定義微分修正后的Halo軌道在x和z方向的幅值為

    3 數(shù)值仿真

    由于地月系的μ值遠(yuǎn)大于日-地月系,因而二者Halo軌道族特性差別較大,同時(shí)L1和L2點(diǎn)附近的動(dòng)力學(xué)特性差別使得各自附近的運(yùn)動(dòng)也不相同。因此,本節(jié)數(shù)值計(jì)算地月系和日-地月系L1和L2點(diǎn)的南北Halo軌道族,給出軌道族的周期和運(yùn)動(dòng)幅值變化,通過(guò)計(jì)算給出最大的固定延拓步長(zhǎng),同時(shí)研究族參數(shù)選擇對(duì)Halo軌道族計(jì)算的影響。

    3.1 日-地月系Halo軌道族

    選擇x0作為族參數(shù)計(jì)算L1點(diǎn)北族Halo軌道,如圖1所示。圖1中○表示各Halo軌道的初始位置狀態(tài),●和■分別表示L1點(diǎn)和地月系質(zhì)心,曲線為軌道族中的Halo軌道。

    由圖1可見(jiàn),Halo軌道族在x方向由L1點(diǎn)拓展至地月系質(zhì)心,但是y和z方向上運(yùn)動(dòng)范圍有限。L1點(diǎn)附近的Halo軌道相對(duì)于yz面傾角最小,在地月系質(zhì)心附近傾角最大。另外,仿真中發(fā)現(xiàn)延拓步長(zhǎng)最大可達(dá)10-5,如果進(jìn)一步增大步長(zhǎng),則對(duì)初始軌道要求苛刻,迭代一般收斂于平面Lyapunov軌道。

    L1點(diǎn)北族Halo軌道族的軌道周期和運(yùn)動(dòng)幅值隨族參數(shù)x0的變化如圖2中的T1和Sx1及Sz1所示。為直觀起見(jiàn),圖2中將x0轉(zhuǎn)換為相對(duì)于地月系質(zhì)心的距離dx。以x0作為族參數(shù)計(jì)算L1點(diǎn)南族Halo軌道族,其周期T和運(yùn)動(dòng)幅值的變化與圖2中的T1和Sx1及Sz1完全相同,充分反映了南北Halo軌道族的對(duì)稱性。此外,以x0作為族參數(shù)計(jì)算L2點(diǎn)南北族Halo軌道族,其周期T約為110~180天,運(yùn)動(dòng)幅值Sx和Sz與L1點(diǎn)Halo軌道族基本相同。

    選擇0作為族參數(shù)無(wú)法計(jì)算得到L1點(diǎn)南北族整個(gè)Halo軌道族。不過(guò),可以獲得L2點(diǎn)南北族整個(gè)Halo軌道族,尤其是可以將軌道族延拓到地月系質(zhì)心附近很小范圍內(nèi),軌道周期和幅值的變化如圖2中的T2和運(yùn)動(dòng)幅值Sx2及Sz2所示。

    圖1 日-地月系L1點(diǎn)北族Halo軌道族Fig.1 North halo family of the libration point L1in the Sun-Earth/Moon system

    圖2 日-地月系L1點(diǎn)和L2點(diǎn)Halo軌道族的周期與幅值Fig.2 Periods and scopes of the halo family of the libration point L1and L2in the Sun-Earth/Moon system

    由圖2可見(jiàn),周期T2的變化范圍大于T1,二者最大值較為接近,但是T2最小可達(dá)約48天。Halo軌道族的運(yùn)動(dòng)幅值Sz大于Sx,Sz最大可達(dá)1.2×106km,Sx最大僅為5×105km。另外,雖然L1和L2點(diǎn)Halo軌道族在x和z方向的運(yùn)動(dòng)幅值的變化趨勢(shì)有所差異,但是它們的變化范圍大致相同,且均在平動(dòng)點(diǎn)與地月系質(zhì)心之間的某個(gè)位置出現(xiàn)最大值。

    如果選擇z0作為族參數(shù),則無(wú)法得到L1點(diǎn)和L2點(diǎn)的整個(gè)南北Halo軌道族。經(jīng)過(guò)分析可知,Halo軌道族在xz平面上沿z軸并非單調(diào)變化,固定步長(zhǎng)延拓失效,需要采用較為復(fù)雜的延拓步長(zhǎng)調(diào)整策略。如果選擇T作為族參數(shù),可以得到L1點(diǎn)附近絕大部分南北Halo軌道族。至于L2點(diǎn)附近,選擇T作為族參數(shù)的結(jié)果優(yōu)于選擇x0,其原因在于固定延拓步長(zhǎng)下x0失效時(shí)仍然可以用T延拓。

    本文計(jì)算了日-地月系L1和L2點(diǎn)的南北Halo軌道族,每個(gè)軌道族均用4個(gè)族參數(shù)進(jìn)行計(jì)算,共計(jì)16種情況,限于篇幅,且南北軌道族關(guān)于xy平面對(duì)稱,僅給出L1和L2點(diǎn)北族Halo軌道族仿真結(jié)果,如表1所示,其中Spx和Spz分別為Halo軌道族在x和z方向上距地月系質(zhì)心的變化范圍,P為軌道周期范圍,τ為最大延拓步長(zhǎng)。除τ外,其余各參數(shù)均給出變化范圍。

    表1 日-地月系Halo軌道族特性Tab.1 Characteristics of the halo family in the Sun-Earth/Moon system

    由表1可見(jiàn),Sx的最小范圍在以0為族參數(shù)時(shí)最小可達(dá)到約700km,選擇其余族參數(shù)時(shí)最大不超過(guò)2.2×105km,文獻(xiàn)[6]中由三階解析解給出的最小值約為2×105km,由此可見(jiàn)數(shù)值計(jì)算得到的Halo軌道族可達(dá)范圍遠(yuǎn)大于三階解析解結(jié)果,同時(shí),日-地月系L1點(diǎn)Halo軌道族應(yīng)選擇T或x作為族參數(shù),L2點(diǎn)軌道族應(yīng)選擇或T作為族參數(shù)。表1中的各項(xiàng)參數(shù)可為平動(dòng)點(diǎn)任務(wù)設(shè)計(jì)提供非常有益的參考。

    3.2 地月系Halo軌道族

    地月L1點(diǎn)南北軌道族,以z0作為族參數(shù)的范圍最大,如圖3所示,注意此處AU為地月距,■表示月球。

    由圖3可見(jiàn),軌道族從L1點(diǎn)向月球拓展,到達(dá)月球后仍可進(jìn)一步拓展,z0最大可以達(dá)到1個(gè)地月距左右,將之與圖2對(duì)比,充分說(shuō)明了不同三體系統(tǒng)的周期軌道運(yùn)動(dòng)范圍并不完全相同。軌道周期T由13.5天降低到最低約8天后,又快速增加到約12天,Sx和Sz的變化也較為復(fù)雜,且南族Halo軌道族的變化與北族類似,限于篇幅,此處略去變化圖。

    以其余族參數(shù)得到的L1軌道族中,僅以x0為族參數(shù)的結(jié)果與以z0為族參數(shù)的結(jié)果接近,以0和T為族參數(shù)的結(jié)果較差。對(duì)于L2點(diǎn)南北軌道族,以0作為族參數(shù)的結(jié)果范圍最大,其周期和幅值變化趨勢(shì)與以0為族參數(shù)的日-地月系L2點(diǎn)結(jié)果相同。以x0和T為族參數(shù)的結(jié)果略差于以0為族參數(shù)的結(jié)果,以z0為族參數(shù)的結(jié)果最差。因此,地月系L1點(diǎn)Halo軌道族應(yīng)選擇z或x作為族參數(shù),L2點(diǎn)軌道族應(yīng)選擇y方向速度或T作為族參數(shù)。

    地月系L1和L2點(diǎn)的北Halo軌道族特性如表2所示,其中僅給出較好的族參數(shù)結(jié)果。

    圖3 地月系L1點(diǎn)北族Halo軌道族Fig.3 North halo family of the libration point L1in the Earth-Moon system

    表2 地月系Halo軌道族特性Tab.2 Characteristics of the halo family in the Earth-Moon system

    由表2可見(jiàn),地月系L1點(diǎn)Halo軌道族在x和z方向的可達(dá)范圍和運(yùn)動(dòng)幅值遠(yuǎn)大于L2點(diǎn)Halo軌道族,不過(guò)軌道周期的變化范圍小于L2點(diǎn)Halo軌道族。另外,L2點(diǎn)Halo軌道族的延拓步長(zhǎng)最大可以達(dá)到0.1,L1點(diǎn)也可以達(dá)到10-3,遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于表1中日-地月系情況。

    4 結(jié)束語(yǔ)

    在圓型限制性三體問(wèn)題下,基于延拓法研究了固定步長(zhǎng)下族參數(shù)選擇對(duì)Halo軌道族計(jì)算的影響,給出了各Halo軌道族的軌道周期和空間位置變化特性。研究表明,日-地月系L1點(diǎn)Halo軌道族應(yīng)選擇軌道周期T或會(huì)合坐標(biāo)系x坐標(biāo)作為族參數(shù),L2點(diǎn)軌道族應(yīng)選擇y方向速度或T作為族參數(shù);地月系L1點(diǎn)Halo軌道族應(yīng)選擇z或x作為族參數(shù),L2點(diǎn)軌道族應(yīng)選擇y方向速度或T作為族參數(shù),且數(shù)值計(jì)算得到的Halo軌道族運(yùn)動(dòng)范圍大于解析解。

    文中僅用固定延拓步長(zhǎng)即可得到大幅值周期軌道和連續(xù)完整的周期軌道族,可用于任意三體系統(tǒng)平動(dòng)點(diǎn)周期軌道族計(jì)算,不過(guò)研究中發(fā)現(xiàn)固定延拓步長(zhǎng)情況下族參數(shù)的選擇影響很大,如果不是單調(diào)變化,則無(wú)法得到整個(gè)Halo軌道族。因此,后續(xù)研究計(jì)劃將考慮族參數(shù)的變化特性,制定變步長(zhǎng)計(jì)算策略。

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