電磁發(fā)射軌道受指數(shù)函數(shù)磁壓力的瞬態(tài)響應(yīng)

劉 峰，劉 文

(燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004)

電磁發(fā)射技術(shù)是利用電磁發(fā)射彈丸射程遠(yuǎn)、速度快、殺傷力大；射擊無聲響、無煙霧、無炮口火焰, 具有良好的射擊隱蔽性；射程調(diào)整方便, 不受推進(jìn)劑原料的影響；電能可用任何初級能源來產(chǎn)生等優(yōu)點(diǎn)，因此，電磁發(fā)射技術(shù)將在炮彈發(fā)射、導(dǎo)彈發(fā)射、魚雷發(fā)射、火箭彈發(fā)射、飛機(jī)彈射及航天發(fā)射等技術(shù)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，其軍事應(yīng)用潛力非常大。近幾年，美國陸軍正在進(jìn)行彈丸速度為2.5 ～4km/s的電磁炮研究，以期作為未來主戰(zhàn)坦克的主炮，形成新的反裝甲能力。隨著電磁發(fā)射技術(shù)的日趨成熟，電磁炮將在21世紀(jì)逐步走向武器化，在軍事領(lǐng)域?qū)@得廣泛應(yīng)用[1-2]。

國內(nèi)前期做的研究大都是對低于四階或四階偏微分方程的求解，目前尚未有人研究過高于四階偏微分方程的初邊值問題的求解，影響軌道的彈性摩擦阻尼力的因素也不例外，因而研究其影響因素是非常有意義的。本文通過求控制方程解析解研究了影響梁動力響應(yīng)因素，將電磁發(fā)射裝置軌道看作移動載荷作用下彈性基礎(chǔ)上的簡支梁，借助積分變換及其逆變換等方法求其解析解，借助軟件編程及運(yùn)行結(jié)果顯示：梁的動態(tài)響應(yīng)受摩擦阻尼系數(shù)，材料阻尼系數(shù)，彈性系數(shù)的影響程度不同。

1 發(fā)射原理

電流流經(jīng)導(dǎo)軌、電樞及在其周圍形成強(qiáng)磁場，該磁場和流經(jīng)電樞的電流互相作用，產(chǎn)生強(qiáng)大的電磁力，推動了電樞及其前面發(fā)射載荷沿導(dǎo)軌做加速運(yùn)動，直到將載荷發(fā)射出去為止。

初值條件及邊界條件[3-5]為：

(1)

式中:ψ為梁的撓度。

2 求解控制方程的積分變換法

研究問題的控制方程為：

(2)

式中：cs為梁材料應(yīng)變阻尼系數(shù);λ為彈性基礎(chǔ)的彈性常數(shù);c為彈性基礎(chǔ)粘滯外阻尼系數(shù);梁單位長度質(zhì)量m=ρlh,ρ為軌道材料密度;l和h分別為軌道梁橫截面寬和高度;EI為梁的抗彎剛度;函數(shù)qeixu(x)指以速度v沿著軌道向前傳播的電磁力，v由Heaviside單位階躍函數(shù)H(x-vt)表示，其中u(x)=[1-H(x-vt)]。

由初始條件和邊界條件，對式(2)關(guān)于t、x進(jìn)行拉普拉斯變換，得到:

(3)

(4)

(5)

(6)

1)當(dāng)z≠0，φ>0時，z為實(shí)數(shù)，則對(4)進(jìn)行拉普拉斯逆變換，再計算，將式(6)代入得:

(7)

(8)

3)當(dāng)z=0時，α1=α2=-γ，進(jìn)行拉普拉斯逆變換再借助求解留數(shù)的方法計算得到:

(9)

對式(7)、(8)、(9)進(jìn)行傅里葉逆變換，得:

(10)

(11)

(12)

探討z為實(shí)數(shù)或虛數(shù)時的情形：

解得:

(13)

式(13)的根為:

k=0,1,2,3

(14)

其中，β1、β2分別為σ1、σ2的輻角主值。

1)σ1>0,σ2>0由式(14)知，σ1>σ2,式(13)在w∈(0,+∞)上有兩個實(shí)根w1,2=|σ1,2|1/4=σ1,21/4， 在w∈(0,w2)，w∈(w1,+∞) 上，φ>0,z為實(shí)數(shù)；在w∈(w2,w1)上，φ<0，z為純虛數(shù)。

2)σ1>0,σ2<0由式(14)知w=σ21/4無實(shí)根，w=σ11/4有兩個相異的實(shí)根：x1=-|σ1|1/4=-σ11/4<0，x2=|σ1|1/4=σ11/4>0。

當(dāng)w∈(0,x2)時，φ<0,z為純虛數(shù)，當(dāng)w∈(x2,+∞)時，φ>0,z為實(shí)數(shù)。

3)σ1<0,σ2<0或σ1,σ2為虛數(shù)，由式(14)知，式(13)無實(shí)根。當(dāng)w∈(0,+∞)時，恒有φ>0，z為實(shí)數(shù)。

4)σ1=σ2=0，由(14)知式(13)當(dāng)w=0時有唯一根，φ(0)=0，w∈(0,+∞)時，φ>0,z為實(shí)數(shù)。

3 動態(tài)響應(yīng)的解析解

上面對z值的不同情況的討論結(jié)果，得到軌道梁動力響應(yīng)解析解ψ(x,t)有以下形式：

1) 當(dāng)z≠0，σ1>0,σ2>0時

①L>w1

(15)

②w1>L≥w2

(16)

③w1>w2>L

Aeiwxdw

(17)

2) 當(dāng)z≠0,σ1>0,σ2<0時

①L>x2

(18)

②L≤x2

Leiwxdw

(19)

3) 當(dāng)z≠0,σ1<0,σ2<0或者σ1=σ2=0或者σ1、σ2為虛數(shù)時，軌道梁響應(yīng)解析解ψ(x,t)與式(15)相同。

4) 當(dāng)z=0時

Peiwxdw

(20)

式(15)～(20)為簡諧壓力移動載荷作用下軌道的動態(tài)響應(yīng)解析解的表達(dá)式。

4 數(shù)值算例

通過所求軌道瞬態(tài)響應(yīng)的解析式，編程顯示，分析各系數(shù)數(shù)對軌道瞬態(tài)響應(yīng)的影響。軌道及荷載參數(shù)見表1。

表1 軌道和荷載相關(guān)參數(shù)

圖1是軌道梁撓度受到粘滯外阻尼系數(shù)的影響曲線。能夠在圖上看出粘滯外阻尼系數(shù)對軌道梁撓度的影響很顯著，軌道梁撓度隨著粘滯外阻尼系數(shù)的增大而減小。

圖2是材料應(yīng)變阻尼系數(shù)對軌道梁撓度的影響曲線。材料應(yīng)變阻尼系數(shù)對撓度有顯著影響，軌道梁的最大變形撓度隨著材料應(yīng)變阻尼系數(shù)的增大而增大。

圖3是彈性系數(shù)對軌道梁撓度的影響曲線。彈性系數(shù)對撓度的影響不明顯，撓度曲線隨著彈性系數(shù)的增加而呈下降的趨勢。

5 結(jié) 論

在求解控制方程解析解的基礎(chǔ)上，研究了影響梁瞬態(tài)動力響應(yīng)的主要因素，將電磁發(fā)射軌道模擬為移動載荷作用下彈性基礎(chǔ)梁，考慮阻尼力的因素，推導(dǎo)出控制方程的解析解，同時分析了形態(tài)壓力對電磁發(fā)射軌道的瞬態(tài)影響。這可以更好的理解電磁軌道發(fā)射裝置的工作性能，為電磁發(fā)射裝置的設(shè)計提供了理論依據(jù)及技術(shù)支持，可提高其安全性、可靠性。

計算分析表明：材料應(yīng)變阻尼系數(shù)、粘滯外阻尼系數(shù)、彈性系數(shù)對軌道梁撓度產(chǎn)生的影響呈現(xiàn)周期性的變化，在一個周期內(nèi)，軌道梁的撓度隨著粘滯外阻尼系數(shù)的增大而減小。隨著材料應(yīng)變阻尼系數(shù)的增大而增大。而彈性系數(shù)對撓度的影響不太明顯，撓度曲線隨著彈性系數(shù)的增加而呈下降的趨勢。

[1] 古剛，向陽，張建.國際電磁發(fā)射技術(shù)研究[J].艦船科學(xué)技術(shù)，2007,29(1):156-158.

GU Gang,XIANG Yang,ZHANG Jian. International electromagnetic launch technology[J].Ship Science and Technology, 2007,29(1): 156-158.(in Chinese)

[2] 王靜端.電磁發(fā)射技術(shù)的發(fā)展及其軍事應(yīng)用[J].火力與指揮控制，2001,26(1):5-7.

WANG Jing-duan.Development of military applications of electromagnetic launch technology[J].Firepower and Command and Control, 2001, 26(1):5-7. (in Chinese)

[3] LIU Wen, SHAN Rui. Mathematic model and analytic solution for a cylinder subject to exponential function[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2009, 22(4): 587-593.

[4] LIU Zhu-bai, SHAN Rui, LIU Wen, et al.Solution of a hollow thick-wall cylinder subject to quadric function pressures and its limit when →∞[J] .Science in China：Series E, 2004, 47(2):229-236.

[5] LIU Wen, LI Min, BAI Xiang-zhong et al. Deformation calculating of electromagnetic launcher’s rail subjected to logarithmic magnetic pressure[J]. Modern Applied Science，2010,4(8): 127-133.