離散時延系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定問題

李 薇

（山西職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 太原030006）

0 引言

切換系統(tǒng)是混合系統(tǒng)的一個子類，在過去的幾年中已經(jīng)引起了極大的關(guān)注.切換系統(tǒng)是一族由連續(xù)或離散動力學(xué)描述的子系統(tǒng)和一個描述連續(xù)動力學(xué)和離散動力學(xué)之間切換的一個規(guī)則組成的.例如文[1]中攪拌油箱反應(yīng)器，文[2]中的風(fēng)速渦輪調(diào)節(jié)器.研究目的是尋找一個不含保守性或較小保守性的條件來保證在任意切換信號下切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性.文[2]中提出一個切換二次李亞普諾夫函數(shù)（SQLF）方法，把針對多處發(fā)生不確定的系統(tǒng)的多二次穩(wěn)定性技術(shù)應(yīng)用到一類離散時間切換控制問題中.因為SQLF要求相鄰兩個子系統(tǒng)是遞減的，所以被認(rèn)為是在那些保守性方法（利用單個李亞普諾夫函數(shù)）和其他一些方法（在數(shù)值上很難證明）的一個折衷方案[3].在本文中研究帶有時延和參數(shù)不確定切換線性離散時延系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定問題.參數(shù)不確定性是時變的但是范數(shù)有界的，并且假設(shè)時延是時變的和有界的，這包含了常數(shù)時延和模型依賴常數(shù)時延這些特殊情形.針對相關(guān)的系統(tǒng)通過構(gòu)造一個SQLF得到魯棒穩(wěn)定性條件.這個條件依賴于上時延界和下時延界.這個穩(wěn)定性判據(jù)能夠利用線性矩陣不等式（LMI）來表示并且可以利用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)值軟件很容易地檢驗.基于這一點，魯棒鎮(zhèn)定性問題可以通過設(shè)計一組所謂的時延或無記憶狀態(tài)反饋控制器來解決.這些控制器根據(jù)系統(tǒng)模型進行切換.因為所得到的期望控制器的存在條件不是一個嚴(yán)格的LMI，所以利用錐補線性化算法來獲得控制器和一個次優(yōu)時延上界.對所有容許不確定性這個時延上界使得所研究的切換系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

1 問題公式化和預(yù)備知識

考慮一類帶有時變時延線性離散時間切換系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下:

其中x（k）∈Rn是狀態(tài)向量；u（k）∈Rl是控制輸入；｛Φ（k），k＝－dM，－dM＋1，…，0｝是給定的初始條件序列；i是i（k）的簡要表示，是時間的一個分段常函數(shù)，稱為一個切換信號，在有限集I＝｛1，…，s｝中取值，s＞1是子系統(tǒng)的數(shù)目.在任意離散時刻k切換信號i依賴于k或x（k），或者都依賴，或者依賴于其他切換規(guī)則；對每個i∈I，Ai，Adi，Bi代表了名義系統(tǒng)，且Ai，Adi，Bi是已知適當(dāng)維數(shù)的實常數(shù)矩陣.ΔAi（k），ΔAdi（k），ΔBi（k）是實值時變矩陣函數(shù)，它們代表了時變泛數(shù)有界參數(shù)不確定性.

本文的目標(biāo)是針對相應(yīng)的不確定切換系統(tǒng)（1）得到魯棒穩(wěn)定性條件并設(shè)計一個鎮(zhèn)定的狀態(tài)反饋控制器.假設(shè)控制器有如下的形式

其中當(dāng)K2i＝0時，穩(wěn)定的控制器可能被稱為無記憶狀態(tài)反饋控制器（SMSFC），K2i≠0時控制器可能被稱為切換時延狀態(tài)反饋控制器（SDSFC）.

引理1[4]假設(shè)，那么對于任何矩陣滿足，下面的不等式成立

引理2[5]對于給定的適當(dāng)維數(shù)的矩陣ψ1，ψ2，ψ3，且＝ψ1.那么

對所有的W（k）成立，且滿足WT（k）W（k）≤I，當(dāng)且僅當(dāng)對一些ε＞0有

2 對名義系統(tǒng)的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定問題

在本節(jié)中我們首先考慮名義切換系統(tǒng)，形式如下:

下面的定理給出了系統(tǒng)（4）的一個充分條件.

定理1 不受外力?i∈I的系統(tǒng)（4）即u（k）≡0時是漸近穩(wěn)定的如果存在n×n矩陣Pi＞0，Xi＞0，Yi，?i∈I，Q＞0，R＞0使得下面的LMI對?（i，j）∈I×I成立

其中Λij＝－Pi＋dMXj＋Yj＋YTj＋（dM－dm＋1）Q.

證明 略.

定理2 考慮（4）中的切換系統(tǒng).一個形如（3）式的穩(wěn)定的狀態(tài)反饋控制器存在如果存在n×n矩陣Ji＞0，Pi＞0，Xi＞0，Yi，?i∈I，Q＞0，R＞0，Z＞0和l×n矩陣K1i和K2i使得（6）和下面的條件成立

其中Λij和定理1中的一樣.

證明 考慮帶有控制器（3）的相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)，把（5）式中的Ai和Adi分別用Ai＋BiK1i和Adi＋BiK2i代替.利用diag｛P－1j，R－1，I，I｝變換為和（5）式有一致的形式，我們有

那么通過定義Ji＝P－1i，Z＝R－1就可以獲得所要得到的結(jié)果.

盡管我們不總是能找到全局最優(yōu)解，但是所提的非線性最小值問題比最初的非凸可行性問題更容易一些.算法如下:

算法SSC（解決一個穩(wěn)定控制器）

Step 1 尋找一個可行集（Pi，Ji，Xi，Yi，K1i，K2i，R，Q，Z，?i∈I）0滿足（6），（7）.令k＝0.

Step 2 解決下面的LMI問題

Step 3 把所獲的矩陣變量（Pi，Ji，Xi，Yi，K1i，K2i，R，Q，Z，?i∈I）代入（9）.如果條件（9）對一些充分小的標(biāo)量δ滿足那么輸出的可行解（Pi，Ji，Xi，Yi，K1i，K2i，R，Q，Z，?i∈I）存在，否則跳到Step 4.

Step 4 如果k＞N存在，其中n是迭代所允許的最大值1否則跳到Step 5.

Step 5 令k＝k＋1，（Pi，Ji，Xi，Yi，K1i，K2i，R，Q，Z，?i∈I）k＝（Pi，Ji，Xi，Yi，K1i，K2i，R，Q，Z，?i∈I），繼續(xù)Step 2.

上述所設(shè)計算法的目的是針對已知的dm和dM尋找期望控制器的一個可行解，那么基于這一點，當(dāng)我們增加一個離線輸出步驟時對于已知的dm也能夠找到次優(yōu)最大時延界dM.

3 不確定切換系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定問題

3.1 魯棒穩(wěn)定性

下面的定理提出了不確定切換系統(tǒng)（1）在u（k）＝0時的魯棒穩(wěn)定性條件.

定理3 在（1）、（2）中不受外力的系統(tǒng)（1）當(dāng)u（k）＝0時是魯棒漸近穩(wěn)定的如果存在n×n矩陣Pi＞0，Xi＞0，Yi，?i∈I，Q＞0，Z＞0和標(biāo)量εi＞0滿足（6）和下面的LMI

其中Λij和定理1中定義的一樣.

證明 把（5）中的Ai和Adi分別用A＋GiΔi（k）F1i和Adi＋GiΔi（k）F2i來代替.找到和引理2中對應(yīng)的變量如下:

如果（6）和下面的不等式成立，我們可以很容易地得出結(jié)論.不等式如下:那么相應(yīng)的系統(tǒng)是魯棒漸近穩(wěn)定的.利用Schur補引理，由（11）式可得（10）式，定理證明完畢.

3.2 魯棒鎮(zhèn)定問題

不確定切換系統(tǒng)（1）鎮(zhèn)定的狀態(tài)反饋控制器的存在條件描述如下:

定理4 考慮（1）、（2）的不確定切換系統(tǒng)（1）.一個形如（3）式的魯棒鎮(zhèn)定狀態(tài)反饋控制器存在如果存在矩陣Ji＞0，Pi＞0，Xi＞0，Yi，?i∈I，Q＞0，R＞0，Z＞0，1×n矩陣K1i和K2i和標(biāo)量εi＞0滿足（6），（8）和下面的不等式

其中Λij和定理1中的一樣.

證明 利用證明定理2和3中所提供的技術(shù)來證明這個結(jié)論.

4 說明例子

在這一節(jié)中我們用一個數(shù)值例子來證明所獲理論結(jié)果的適用性.

考慮（1）和（2）中的不確定切換系統(tǒng)由兩個子系統(tǒng)組成.對于子系統(tǒng)（1），系統(tǒng)動力學(xué)被描述為:

對于子系統(tǒng)（2），系統(tǒng)動力學(xué)被描述為:

假設(shè)切換信號是由下面的算法隨機產(chǎn)生的.算法如下:

算法GSS（產(chǎn)生切換信號）:

對于采樣T＝1到時長

切換值＝rand

如果切換值≥Con

切換信號（采樣T）＝2

否則

切換信號（采樣T）＝1；

結(jié)束

其中工作表函數(shù)產(chǎn)生隨機數(shù)，它們均勻分布在間隔（0，1）.

那么在這個例子假設(shè)算法GSS的時長＝100，Con＝0.6切換信號能夠通過Matlab來實現(xiàn)，圖1顯示了一種可能的情形.

首先我們檢驗u（k）≡0時不確定切換系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性.假設(shè)時變時延d（k）的最小界dm＝2，那么利用定理3，我們找到dM＝5，這意味著上述系統(tǒng)對于2≤d（k）≤5是漸近穩(wěn)定的.

圖1 切換信號

進一步基于定理4的條件和算法SSC，選擇ε1＝ε2＝0.1，我們分別利用SMSFC和SDSFC獲得最大時延界dM＝7和dM＝12.這意味這在評價系統(tǒng)中應(yīng)用這樣的控制器時允許的時延是增加的.此外證明了SDSFC有更好的性能.同時獲得SMSFC和SDSFC的控制器增益如表1所示，相應(yīng)地獲得時延界dM＝7和dM＝12.

當(dāng)SMSFCdM＝7時，k11＝ [0. 0 38 5 －0.800 9]；k12＝ [－ 0 .293 2 0.862 9]

d2i＝[00]，?i＝1，2

當(dāng)SDSFCdM＝12時，k11＝ [0. 0 65 2 －0.800 0]；k12＝ [－ 0 .230 7 1.074 0]

k21＝ [0. 1 14 3 0.084 8]；k22＝ [－ 0 .191 7 －0.062 0].

另外，應(yīng)用SMSFC和SDSFC我們分別假設(shè)時延變量在2≤d（k）≤7和2≤d（k）≤12中隨機地變化.對于初始條件x[ ]＝ －0.5 0.3T我們獲得相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的控制軌跡和狀態(tài)相應(yīng)分別如圖2和圖3所示.從曲線中可以很明顯地看到在隨機產(chǎn)生的切換信號下和變化的不確定參數(shù)下切換系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的.

圖2 兩個不同控制器下的控制軌跡

圖3 兩個不同控制器下閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)相應(yīng)

5 結(jié)論

在本文，研究了帶有有界時變時延和泛數(shù)有界時變不確定切換線性離散時間系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定問題.針對相應(yīng)的系統(tǒng)構(gòu)造了一個切換二次李亞普諾夫函數(shù)并利用LMI公式得到依賴時延界的魯棒穩(wěn)定性判據(jù)，這個判據(jù)能夠利用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)字軟件很容易檢驗.此外，魯棒鎮(zhèn)定問題也可以通過設(shè)計一組所謂的切換時延或無記憶狀態(tài)反饋控制器來解決.利用錐補線性化算法來獲得控制器和次優(yōu)上界時延使得相應(yīng)的系統(tǒng)對所有允許的不確定能夠穩(wěn)定.介紹了一個數(shù)值例子來說明所提方法的有效性.

[1]Nael H El－Farra，Prashant Mhaskar，Panagiotis D Christofides.Output feedback control of switched nonlinear systems using multiple Lyapunov functions[J].Systems ＆ Control Letters，2005，54（12）:1 163－1 182

[2]Leithd J，Shortenr N，Leitheadw E，et al.Issues in the design of switched linear control systems[J].Int.J.Adapt.Control Signal Process，2003，17（2）:103－118

[3]Daafouzj，Riedingerp，Iungc.Stability analysis and control synthesis for switched systems[J].Automatic Control，2002，4（11）:1 883－1 887

[4]Monny S，Parkp，Kwonw H，et al.Delay－dependent robust stabilization of uncertain state－delaye dsystems[J].International Journal of Control，2001，74（14）:1 447－1 455

[5]Xiel，F(xiàn)um，Desouzac.E.H∞control and quadratic stabilization of systems with parameter uncertainty via output feedback[J].Automatic Control，1992，37:1 253－1 256