基于高次最小二乘原理的連續(xù)剛構(gòu)橋撓曲線擬合分析

劉大洋，黃福偉，2，禹 鵬

（1.重慶交通大學(xué)土木建筑學(xué)院，重慶 400074；2.重慶交通科研設(shè)計院，重慶 400067）

0 引言

近年來，我國橋梁建設(shè)事業(yè)迅猛發(fā)展，在新建高速公路、高速鐵路中橋梁和隧道所占比例逐漸增加。杭州灣跨海大橋，膠州灣跨海大橋也進入正式運營階段。掌握這些大橋在運營階段所處的健康狀態(tài)，對整個橋梁結(jié)構(gòu)的安全具有重要意義。20世紀(jì)90年代以來，一些大橋逐步建立了相關(guān)的橋梁健康監(jiān)測系統(tǒng)，如香港青馬大橋、江蘇潤揚大橋、重慶大佛寺長江橋等。

目前在橋梁智能健康監(jiān)測中，測量橋梁幾何線型所需設(shè)備主要有全球定位裝置，可以轉(zhuǎn)化電信號進入自動化數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的直流差位移傳感器，然而要獲得整個橋梁的幾何線型，在全橋都安裝位移傳感器和相關(guān)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)顯然是不合理、不科學(xué)的。首先是監(jiān)測的成本增加，其次使得采集系統(tǒng)龐大而復(fù)雜。為了有效利用有限的傳感器，解決方法主要有以下兩個方面：

a）對于優(yōu)化傳感器在橋梁結(jié)構(gòu)的布置，目前有不少人員在這一方面進行了大量的研究，研究方法主要有遺傳算法、有效獨立法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等，取得大量成果，并應(yīng)用于工程實踐[1]；b）用有限的測點信息有效擬合全橋的監(jiān)測數(shù)據(jù)也非常重要，但是目前這一方面的研究較少[2]。本文以連續(xù)剛構(gòu)橋為研究橋型，以高次最小二乘原理為分析方法。對某連續(xù)剛構(gòu)橋的邊跨和1/2中跨的撓曲線方程進行擬合分析。

1 分析原理

1.1 撓曲線方程分析

在公路橋梁中，汽車活載所占的總荷載的比例較小，影響梁長期變形的荷載主要有橋梁結(jié)構(gòu)本身的自重，橋面鋪裝、欄桿等二期恒載，在本文中將以上荷載等效為均布荷載q，根據(jù)撓曲線方程有[3]：

式中：EI——全橋截面剛度；

ω″（x）——撓曲線方程二階導(dǎo)數(shù)；

M（x）——彎矩方程。

（1）式經(jīng)兩次積分得：

式中：c1、c2——積分常數(shù)

式中，M（x）在均布荷載作用下是關(guān)于x的二次表達(dá)式。綜上分析，在均布荷載作用下?lián)锨€方程是關(guān)于x的四次表達(dá)式。設(shè)撓曲線方程為：

1.2 擬合方法分析

最初撓曲線方程擬合采用牛頓插商法，牛頓插商法雖然不需要各測點的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，但是通過試算表明，在外插某一點和整個撓曲線時，出現(xiàn)明顯誤差甚至不收斂現(xiàn)象。如采用樣條插值法，需要知道各測點的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，但在實際工程中這點很難實現(xiàn)。比較分析，最終選用高次最小二乘原理擬合連續(xù)剛構(gòu)橋撓曲線方程。

由前面1.1節(jié)撓曲線方程分析中得知撓曲線是關(guān)于x的四次多項式，所以采用四次最小二乘原理擬合多項式擬合撓曲線方程。求最小二乘解得一般步驟如下[4]：

a）先根據(jù)φ（x）的特點，建立確定ak（k=1，2，3，…，n）的正規(guī)方程組；

b）然后通過解正規(guī)方程組求取最小二乘解φ*（x）對應(yīng)的ak*（k=1，2，3，…，n）；

具體計算方法如下，設(shè)擬合撓曲線方程：

即有φ0（x）=1；φ1（x）=x；φ2（x）=x2；φ3（x）=x3；φ4（x）=x4，相應(yīng)的正規(guī)方程組為：

代入測點數(shù)據(jù)，求解對應(yīng)的系數(shù)，對于實際工程中較多的數(shù)據(jù)，可用Excel編寫簡單程序求解。

2 算例分析

2.1 算例簡介

某高速公路三跨預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)剛構(gòu)橋，跨度為110m+200m+110m，采用C50混凝土，左右幅梁體均為單箱單室箱型截面梁，頂板寬13.4m，底板寬7m；根部梁高11.5m，跨中及邊跨端直線梁高3.5m；其余梁高按1.5次拋物線變化，頂板最小厚度0.32m；腹板厚度0.6m，0.7m，0.95m不等；底板厚度根部1.2m，跨中及邊跨直線段為0.32m。

2.2 算例分析方法

首先通過有限元軟件Midas建立全橋模型，定義時間依存性材料與邊界條件，輸入預(yù)應(yīng)力鋼束及預(yù)應(yīng)力荷載，以及自重、二期恒載等。以3年后全橋各節(jié)點撓度為基準(zhǔn)，用模型計算結(jié)果模擬實測值。驗算高次最小二乘原理擬合撓曲線的準(zhǔn)確性，計算相對誤差并分析誤差產(chǎn)生原因。

2.3 測點布置

由于全橋為對稱結(jié)構(gòu)，算例中只對邊跨與1/2中跨的撓曲線進行擬合，邊跨分為1/4段與2/4～4/4段兩次擬合，1/2中跨一次擬合。模擬實測值為模型中節(jié)段的兩端節(jié)點，測點不可能都剛好位于節(jié)段端點，所以實際測點取為距理想測點最近的節(jié)點。

經(jīng)建模計算與實際工程分析，預(yù)應(yīng)力剛構(gòu)橋在邊跨1/4段內(nèi)底板布置有較多預(yù)應(yīng)力鋼束，而在邊跨1/4段內(nèi)的彎矩比較小，加之混凝土的收縮徐變，使得在邊跨1/4段梁體出現(xiàn)明顯上拱，變形較為復(fù)雜。為了滿足撓曲線擬合的準(zhǔn)確性，將邊跨1/4段的撓曲線進行單獨擬合，邊跨1/4段布置5個均勻分布的測點。

邊跨2/4～4/4段測點布置，由于在靠近邊跨1/4段和邊墩附近的變形較為復(fù)雜，所以在邊跨2/4～4/4段內(nèi)測點未采用均勻布置，而是從邊跨到邊墩按2∶3∶3∶2的距離比布置5個測點，使得在靠近邊跨1/4段和邊墩附近的測點較密。

中跨測點布置為0/8中跨、1/8中跨、2/8中跨、3/8中跨、4/8中跨。

2.4 數(shù)據(jù)擬合處理

2.4.1 邊跨及1/2中跨的撓度實測值如表1所示。

表1 橋梁的實測撓度值

2.4.2 按照1.2節(jié)方法求解邊跨1/4段撓曲線方程，設(shè)邊跨撓曲線方程：

代入建立正規(guī)方程組（5）式，求解結(jié)果：a1=1.20×10-10；b1=1.17；c1=-2.88×10-2；d1=-2.01×10-3；e1=5.58×10-5

最終邊跨撓曲線方程擬合結(jié)果：

2.4.3 按照1.2節(jié)方法求解邊跨2/4～4/4段撓曲線方程，設(shè)邊跨2/4～4/4段撓曲線方程：

同理代入正規(guī)方程組，求解結(jié)果：a2=1.17×101；b2=-1.83×10-1；c2=-1.57×10-2；d2=3.19×10-4；e2=-1.61×10-6

最終邊跨2/4～4/4段撓曲線方程擬合結(jié)果：

2.4.4 按照1.2節(jié)方法求解1/2中跨撓曲線方程，設(shè)1/2中跨撓曲線方程：

同理代入正規(guī)方程組，求解結(jié)果：a3=-1.34×103；b3=3.43×101；c3=-3.08×10-1；d3=1.11×10-3；e3=-1.40×10-6

最終1/2中跨撓曲線方程擬合結(jié)果：

2.5 數(shù)據(jù)分析

由2.4節(jié)邊跨撓曲線方程，計算輸出邊跨1/4段各節(jié)點的四次最小二乘原理撓曲線擬合值，并與實測值進行誤差分析，邊跨1/4段的實測撓度值與四次最小二乘原理擬合撓度值分析如表2所示。

表2 邊跨1/4段實測撓度值與擬合撓度值分析

由上表可見邊跨1/4段內(nèi)擬合撓度值與實測撓度值的最大相對誤差為3.66%，撓曲線擬合結(jié)果的相對誤差均小于5%，表明高次最小二乘原理擬合連續(xù)剛構(gòu)橋邊跨1/4段撓曲線結(jié)果具有足夠精度。

邊跨1/4段的實測撓度值與四次最小二乘原理擬合撓度值分析如圖1所示。

圖1 邊跨1/4段的實測撓度值與擬合撓度值分析

由2.4節(jié)邊跨2/4～4/4段撓曲線方程，計算輸出邊跨2/4～4/4各節(jié)點的四次最小二乘原理撓曲線擬合值，并與實測值進行誤差分析，邊跨2/4～4/4段的實測撓度值與四次最小二乘原理擬合撓度值分析如表3所示。

表3 邊跨2/4～4/4段實測撓度值與擬合撓度值分析

由表3可見邊跨2/4～4/4段內(nèi)擬合撓度值與實測撓度值的最大相對誤差為4.79%，撓曲線擬合結(jié)果的相對誤差均小于5%，表明高次最小二乘原理擬合連續(xù)剛構(gòu)橋邊跨2/4～4/4段撓曲線結(jié)果具有足夠精度，可滿足實際工程需要。

邊跨2/4～4/4段的實測撓度值與四次最小二乘原理擬合撓度值分析如圖2所示。

圖2 邊跨2/4～4/4段的實測撓度值與擬合撓度值分析

由2.4節(jié)1/2中跨撓曲線方程，計算輸出1/2中跨各節(jié)點的四次最小二乘原理擬合撓度值，與實測撓度值進行誤差分析，1/2中跨的實測撓度值與四次最小二乘原理擬合撓度值分析如表4所示。

表4 1/2中跨段實測撓度值與擬合撓度值分析

由表4可見1/2中跨內(nèi)擬合撓度值與實測撓度值的最大相對誤差為4.32%，撓曲線擬合結(jié)果的相對誤差均小于5%，表明高次最小二乘原理擬合連續(xù)剛構(gòu)橋1/2中跨撓曲線結(jié)果具有足夠精度，可滿足實際工程需要。

1/2中跨的實測撓度值與四次最小二乘原理擬合撓度值分析如圖3所示。

圖3 1/2中跨的實測撓度值與擬合撓度值分析

在邊跨1/4段內(nèi)、邊跨2/4～4/4段內(nèi)，以及在1/2中跨撓曲線擬合結(jié)果與實測結(jié)果的最大相對誤差均4.79%，均小于5%。

3 結(jié)論

考慮橋梁健康監(jiān)測的經(jīng)濟成本和便利性，用有限的測點撓度值擬合全橋的撓曲線方程有重要意義，通過以上算例，可以得出以下結(jié)論：

a）相對于其它擬合方法，高次最小二乘原理擬合撓曲線方程具有方法簡單、思路清晰的優(yōu)點，有利于工程實踐，其不僅適用于連續(xù)剛構(gòu)橋撓曲線的撓曲線擬合，可推廣到其它梁式橋的撓曲線擬合；

b）算例分析結(jié)果在邊跨1/4段內(nèi)擬合值與實測值的最大相對誤差為3.66%，在邊跨2/4～4/4段內(nèi)擬合值與實測值的最大相對誤差為4.79%，在1/2中跨內(nèi)擬合值與實測值的最大相對誤差為4.36%，各段內(nèi)的撓曲線擬合的相對誤差均小于5%，表明高次最小二乘原理擬合連續(xù)剛構(gòu)橋撓曲線結(jié)果具有足夠精度，滿足實際工程需要。

[1]黃民水，朱宏平，李煒明.基于改進遺傳算法的橋梁結(jié)構(gòu)傳感器優(yōu)化布置[J].振動與沖擊，2008，27（3）：82-86.

[2]楊學(xué)山，侯興民，等.橋梁撓度測量的一種新方法[J].土木工程學(xué)報，2002，35（2）：92-96.

[3]江曉禹，龔暉.材料力學(xué)[M].成都：西南交通大學(xué)出版社，2009.

[4]顏慶津.數(shù)值分析[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2010.