一類平面二次系統(tǒng)(III)類方程的同宿分支問題

王寧寧，祝曉薇，張利群，丁本艷

(1.臨沂大學(xué) 理學(xué)院，山東 臨沂 276005;2.山東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250014)

0 引言

著名數(shù)學(xué)家希爾伯特早在二十世紀(jì)初的國際數(shù)學(xué)家大會上提出了23 個著名數(shù)學(xué)問題，對20 世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展起到了很大的推動作用. 其中，第16 個問題的后半部分為:多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的極限環(huán)的最大個數(shù)是多少?相對位置如何?自那以后特別是近幾十年來，數(shù)學(xué)工作者花費(fèi)了大量的時間和精力致力于該問題的研究，取得了一系列卓越的研究結(jié)果.其中在對平面二次系統(tǒng)的研究中，著名數(shù)學(xué)家葉彥謙先生給出了如下的葉彥謙分類:

關(guān)于二次微分系統(tǒng)的極限環(huán)問題的研究，近幾十年來已有大量的工作［1，2］.但是，通常采取的方法是作適當(dāng)?shù)淖儞Q把方程化為Liénard形式，再利用定性的方法來討論極限環(huán)的存在性.文［6］利用分支的方法，通過分析未擾方程的同宿軌經(jīng)擾動破裂以后的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形之間的相對距離，研究了一類含五個自由參數(shù)的平面二次微分系統(tǒng)(III)類方程的極限環(huán)的存在性問題.本文對文［6］中方程進(jìn)行改進(jìn)，并研究改進(jìn)后一類含六個自由參數(shù)的平面二次微分系統(tǒng)(III)類方程的同宿環(huán)的分支問題，給出系統(tǒng)存在極限環(huán)的條件.

1 引理

首先給出幾個引理.

考慮平面自治系統(tǒng)

及其擾動系統(tǒng)

引理1 (P －B 環(huán)域定理)［3］.設(shè)D是由兩條不相交的單閉曲線Γ1和Γ2所圍成的環(huán)域，并且系統(tǒng)在D內(nèi)無奇點(diǎn).如果當(dāng)時間t增加時從Γ1和Γ2上出發(fā)的軌線都進(jìn)入(都離開)D，那么在D內(nèi)至少存在一個穩(wěn)定(不穩(wěn)定)的極限環(huán).

注1.Γ1和Γ2可以部分地由軌線構(gòu)成，甚至上面可以出現(xiàn)有限個奇點(diǎn)，只要保證軌線一旦進(jìn)入(離開)D后不再離開(進(jìn)入)即可.

注2.D的內(nèi)邊界(不妨設(shè)為Γ1)可以縮為一個不穩(wěn)定(穩(wěn)定)的奇點(diǎn).

引理2［4，5］.假設(shè)1).系統(tǒng)(1)存在同宿于鞍點(diǎn)O(0，0)的同宿軌Γ，P0為Γ 上任意一點(diǎn)，過P0作(1)的橫截線l與Γ 在P0點(diǎn)的外法線方向共線.

2).擾動系統(tǒng)(2)在O(0，0)點(diǎn)附近的鞍點(diǎn)為的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形與l的交點(diǎn)分別為Ps和Pu.則在小擾動下，從Ps到Pu的有向距離與同向時為正)為:

2 主要結(jié)果

我們有如下定理:

(1)當(dāng)0＜δ＜2 時，系統(tǒng)(4)和(5)有鞍點(diǎn)不穩(wěn)定焦點(diǎn)

(3)當(dāng)－2＜δ＜0 時，系統(tǒng)(4)和(5)有鞍點(diǎn)，穩(wěn)定焦點(diǎn)

(4)當(dāng)δ ≤－2 時，系統(tǒng)(4)和(5)有鞍點(diǎn)，穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)

(1)當(dāng)0＜ps ＜2 時，系統(tǒng)(6)有鞍點(diǎn)O(0，0)，不穩(wěn)定焦點(diǎn)

(2)當(dāng)ps≥2 時，系統(tǒng)(6)有鞍點(diǎn)O(0，0)，不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)

(3)當(dāng)－2＜ps ＜0 時，系統(tǒng)(6)有鞍點(diǎn)O(0，0)，穩(wěn)定焦點(diǎn)

(4)當(dāng)ps≤－2 時，系統(tǒng)(6)有鞍點(diǎn)O(0，0)，穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)

考慮系統(tǒng)(6)的未擾系統(tǒng)(6)p =0:

系統(tǒng)(7)有鞍點(diǎn)O(0，0)，中心且系統(tǒng)(7)為Hamilton 系統(tǒng)，其首次積分為:

當(dāng)h =0 時，系統(tǒng)(8)為(7)過鞍點(diǎn)O(0，0)的同宿軌，記為Γ，即:Γ={u = u(t)，v = v(t)，t∈(－∞，+∞)}={(u，v):H(u，v)=0}，由系統(tǒng)(7)知Γ 為逆時針走向，經(jīng)計(jì)算易知，Γ 與v軸的交點(diǎn)為不妨設(shè)此時t =0，即u(0)=0，v(0)= －

當(dāng)n ＞0 時，系統(tǒng)(7)的同宿軌Γ 整體定義在v軸的負(fù)半平面，記其在v軸的右邊部分為Γ+，在v軸左邊部分為Γ－(當(dāng)n ＜0 時，系統(tǒng)(7)的同宿軌Γ 整體定義在v軸的正半平面，記其在v軸的左邊部分為Γ+，在v軸右邊部分為Γ－)，由(8)知Γ+與Γ－的表達(dá)式分別為則:

下面利用P － B 環(huán)域定理證明極限環(huán)的存在性.要證Γ 內(nèi)含有極限環(huán)，只需構(gòu)造環(huán)域定理所需的內(nèi)外境界即可.

(i)當(dāng)δ＞0 時，為系統(tǒng)(6)的不穩(wěn)定焦點(diǎn)(0＜δ＜2)或者不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)

(ii)當(dāng)δ＜0 時為系統(tǒng)(6)的穩(wěn)定焦點(diǎn)(－2＜δ＜0)或者穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)(δ ≤－2).

定理證畢.

［1］葉彥謙.極限環(huán)論［M］.上海:上?？萍汲霭嫔?，1995.

［2］葉彥謙.多項(xiàng)式微分系統(tǒng)定性理論［M］.上海:上?？萍汲霭嫔纾?995.

［3］張芷芬，丁同仁.微分方程定性理論［M］.北京:科學(xué)出版社.1985.

［4］張錦炎，馮貝葉.微分方程幾何理論和分支問題［M］.北京:北京大學(xué)出版社，2000.

［5］韓茂安，朱德明.微分方程分支理論［M］.北京:煤炭工業(yè)出版社，1994.

［6］朱曼，楊鎖玲.郭麗艷.一類平面二次系統(tǒng)(III)類方程的極限環(huán)存在性［J］.棗莊學(xué)院學(xué)報，2012，29(2):42 －46.