Banach空間中解決變分包含問(wèn)題的一類廣義增生映射和預(yù)解式算子

管金林，胡長(zhǎng)松，王 歆，郭 宇

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖北 黃石 435002)

0 引言和預(yù)備知識(shí)

在2001年，Huang[1]第一次提出了廣義m- 增生映射和預(yù)解式算子的概念，之后，很多學(xué)者對(duì)增生映射和預(yù)解式算子進(jìn)行了研究，參照文獻(xiàn)[2～6]. 在文獻(xiàn)[7]中，Ahmad在Hilbert空間中提出用一類H(A,B)-C0單調(diào)映射來(lái)解決一種變分包含問(wèn)題.

本文主要對(duì)文獻(xiàn)[7]進(jìn)行推廣，我們將文獻(xiàn)[7]中的Hilbert空間推廣到更一般的Banach空間，并且將文獻(xiàn)[7]中的H(A,B)-C0單調(diào)映射推廣為H(A1,…,Am)-C0增生映射，從而進(jìn)一步推廣了文獻(xiàn)[7]的結(jié)果.

定義 1[7]映射f:X→X′ 稱為

i)Lipschitz連續(xù)的，如果存在一個(gè)常數(shù)σ>0，使得

‖f(x)-f(y)‖≤σ‖x-y‖,?x,y∈X

ii)ζ-擴(kuò)張的，如果存在一個(gè)常數(shù)ζ>0，使得‖f(x)-f(y)‖≥ζ‖x-y‖,?x,y∈X；如果ζ=1，則f為擴(kuò)張的.

定義 2[8]對(duì)于q>1，映射Jq:X→2X*稱為廣義對(duì)偶映射，如果有如下定義：

Jq(x)={f∈X*:〈x,f〉=‖x‖q,‖x‖q-1=‖f‖},?x∈X

定義 3[8]Banach空間X稱為光滑的，如果對(duì)于每個(gè)x∈X且‖x‖=1，存在唯一的f∈X*，使得‖f‖=f(x)=1 .X的光滑模為函數(shù)ρX:[0,∞)→[0,∞) ，定義為：

定義 4[8]Banach空間X稱為

ii)q- 一致光滑的，對(duì)于q>1，如果存在常數(shù)c>0，使得ρX(τ)≤cτq,τ∈[0,∞).

引理 1[8]設(shè)q>1為一實(shí)數(shù)，設(shè)X為一致光滑的Banach空間，且Jq:X→2X*為正規(guī)化對(duì)偶映射，則X為q- 一致光滑的當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)常數(shù)Cq>0，使得對(duì)于每個(gè)x,y∈E

‖x+y‖q≤‖x‖q+q〈y,Jq(x)〉+Cq‖y‖q

不失一般性，我們假設(shè)后文中m為一偶數(shù).

i)H(u1,…,ui-1,Ai(x),ui+1,…,un) 稱為關(guān)于Ai強(qiáng)上強(qiáng)制的，如果存在一個(gè)常數(shù)μi>0，使得

其中ωi=H(u1,…,ui-1,Ai(x),ui+1,…,un),ω′=H(u1,…，ui-1,Ai(y),ui+1,Ai(y),ui+1,…,un)

?x,y∈X,u1∈X1,u2∈X2,…,ui-1∈Xi-1,ui+1∈Xi+1,…,um∈Xm

ii)H(u1,…,ui-1,Ai(x),ui+1,…,un) 稱為關(guān)于Ai松弛上強(qiáng)制的，如果存在一個(gè)常數(shù)γi>0，使得

其中ωi=H(u1,…,ui-1,Ai(x),ui+1,…,un),ω′=H(u1,…,ui-1,Ai(y),ui+1,…,un)

?x,y∈X,u1∈X1,u2∈X2,…,ui-1∈Xi-1,ui+1∈Xi+1,…,um∈Xm

iii)H(A1,A2,…,Am) 稱為關(guān)于A1,A2,…,Am混合Lipschitz連續(xù)的t>0，如果存在一個(gè)常數(shù)，使得:

‖H(A1(x),A2(x),…,Am(x))-H(A1(y),A2(y),…,Am(y))‖≤t‖x-y‖,?x,y∈X

iv)H(A1,A2,…,Am) 稱為關(guān)于A1,A2,…,Am混合強(qiáng)增生的，如果存在一個(gè)常數(shù)ρ>0，使得

〈H(A1(x),A2(x),…,Am(x))-H(A1(y),A2(y),…,Am(y)),Jq(x-y)〉≥ρ‖x-y‖q,?x,y∈X

v)H(A1,A2,…,Am) 稱為關(guān)于A1,A2,…,Am對(duì)稱上強(qiáng)制的，如果對(duì)于每個(gè)i∈{1,3,…,m-1},H(…,Ai,…) 關(guān)于Aiμi強(qiáng)上強(qiáng)制的，并且對(duì)于每個(gè)j∈{2,4,… ,m}，H(…,Aj,…)關(guān)于Aj為γj松弛上強(qiáng)制的.

i)M(…,fi,…)稱關(guān)于fi為αi- 強(qiáng)增生的，如果存在一個(gè)常數(shù)αi>0，使得

〈u-v,Jq(x-y)〉≥αi‖x-y‖q,?x,y∈X,u∈M(…,fi(x),…),v∈M(…,fi(y),…)

ii)M(…,fi(y),…)稱關(guān)于fi為βi- 松弛增生的，如果存在一個(gè)常數(shù)βi>0，使得

〈u-v,Jq(x-y)〉≥-βi‖x-y‖q,?x,y∈X,u∈M(…,fi(x),…),v∈M(…,fi(y),…)

iii)M(f1,f2,…,fm)稱為關(guān)于f1,f2,…,fm對(duì)稱增生的，如果對(duì)于每個(gè)i∈{1,3,… ，m-1}，M(…,fi,…)關(guān)于fi為αi- 強(qiáng)增生的，并且對(duì)于每個(gè)j∈{2,4,…,m},M(…,fj,…)關(guān)于fi為βj- 松弛增生的.

定義7 設(shè)G:X→X，多值映射T:X?X稱為

i) 關(guān)于G松弛Lipschitz連續(xù)的，如果存在一個(gè)常數(shù)k>0，使得

〈G(u)-G(v),Jq(x-y)〉≤-k‖x-y‖q,?x,y∈X,u∈T(x),v∈T(y)

ii) 關(guān)于G松弛增生的，如果存在一個(gè)常數(shù)c>0，使得

〈G(u)-G(v),Jq(x-y)〉≥-c‖x-y‖q,?x,y∈X,u∈T(x),v∈T(y)

〈H(Ai(xn),…,Am(xn))-H(A1(xn-1),…,Am(xn-1)),Jq(P(un)-P(un-1))〉≥δ‖xn-xn-1‖q,?xn,xn-1∈X,un∈R(xn),un-1∈R(xn-1).

〈u-v,Jq(x-y)〉≥Km‖x-y‖q

其中u∈M(f1(x),f2(x),…,fm(x)),v∈M(f1(y),f2(y) ，… ，fm(y))

Km=(α1+α3+…+αm-1)-(β2+β4+…+βm)

證明 由定義6中的(i)，(ii)和(iii)易證，在此略去.

引理3 設(shè)Ai:X→Xi(i∈{1,2,…,m} )為單值映射，H(A1,A2,…,Am) 為關(guān)于Ai(i∈{1,2,…,m}) 對(duì)稱上強(qiáng)制的，伴隨系數(shù)μi(i∈{1,3,…,m-1}) 和γj(j∈{2,4,… ，m}),Ai(i∈{1,3,…m-1} )為 擴(kuò)張的且Aj(j∈{2,4,…m}) 為σjLipschitz連續(xù)的，則對(duì)于?x,y∈X，有：

〈H(A1(x),A2(x),…,Am(x))-H(Ai(y),A2(y),…,Am(y)),Jq(x-y)〉≥Zm‖x-y‖q

證明 因?yàn)镠(A1,A2,…,Am)為關(guān)于Ai(i∈{1,2,…,m}) 對(duì)稱上強(qiáng)制的，伴隨系數(shù)μi(i∈{1,3,…,m-1} ) 和γj(j∈{2,4,… ，m}),則有

〈H(A1(x),A2(x),…,Am(x))-H(A1(y),A2(y),…,Am(y)),Jq(x-y)〉 ≥

(μ1‖A1(x)-A1(y)‖q+μ3‖A3(x)-A3(y)‖q+…+μm-1‖Am-1(x)-Am-1(y)‖q)-

(γ2‖A2(x)-A2(y)‖q+γ4‖A4(x)-A4(y)‖q+…+γm‖Am(x)-Am(y)‖q)

又因?yàn)锳i(i∈{1,3,…,m-1}) 為ζi- 擴(kuò)張的且Aj(j∈{2,4,…,m} )為σj- Lipschitz連續(xù)的，則有

〈H(A1(x),A2(x),…,Am(x))-H(A1(y),A2(y),…,Am(y)),Jq(x-y)〉≥

1 主要結(jié)果

證明 假設(shè)映射(H(A1,A2,…,Am)+λM(f1,f2,…,fm))-1不是單值的，則存在x1,x2,u∈X，使得

u∈(H(A1,A2,…,Am)+λM(f1,f2,…,fm))(x1),u∈(H(A1,A2,…,Am)+λM(f1,f2,…,fm))(x1)

從而有

λ-1(-H(A1(x1),A2(x1),…,Am(x1))+u)∈M(f1(x1),f2(x1),…,fm(x1))

λ-1(-H(A1(x2),A2(x2),…,Am(x2))+u)∈M(f1(x2),f2(x2),…,fm(x2))

因?yàn)镸關(guān)于Ai和fi(i∈ {1,2,…,m}) 為H(A1,…,Am)-Co- 增生的，由引理2和引理3得

0=λ〈λ-1(u-H(A1,A2,…,Am)(x1))-λ-1(u-H(A1,A2,…,Am)(x2))

Jq(x1-x2)+〈H(A1,A2,…,Am)(x1)-H(A1,A2,…,Am)(x2),Jq(x1-x2)〉≥

λKm‖x1-x2‖q+Zm‖x1-x2‖q

因此我們有x1=x2，從而(H(A1,A2,…,Am)+λM(f1,f2,…,fm))-1為單值的，證畢.

(1)

下面我們證明(1)式定義的預(yù)解式算子的Lipschitz連續(xù)性.

證明 設(shè)?u,v∈X，由(1)式得

為了方便，我們記

從而有

λ-1(u-H(A1(K(u)),A2(K(u)),…,Am(K(u))))∈M(f1(K(u)),f2(K(u)),…,fm(K(u)))

λ-1(v-H(A1(K(u)),A2(K(u)),…,Am(K(v))))∈M(f1(K(v)),f2(K(v)),…,fm(K(v)))

由引理2得

Km‖K(u)-K(v)‖q≤

〈λ-1(u-H(A1(K(u)),A2(K(u)),…,Am(K(u))))-

λ-1(v-H(A1(K(v)),A2(K(v)),…,Am(K(v)))),Jq(K(u)-K(v))〉=

λ-1〈u-v,Jq(K(u)-K(v))〉-λ-1〈H(A1(K(u)),A2(K(u)),…,Am(K(u)))〉-

H(A1(K(v)),A2(K(v)),…,Am(K(v))),Jq(K(u)-K(v))〉

(2)

由引理3和(2)式得

‖u-v‖‖K(u)-K(v)‖q-1≥

〈u-v,Jq(K(u)-K(v))〉≥

λKm‖K(u)-K(v)‖q+〈H(A1(K(u),A2(K(u)),…,Am(K(u)))-

H(A1(K(v)),A2(K(v)),…,Am(K(v))),Jq(K(u)-K(v))〉≥

λKm‖K(u)-K(v)‖q+Zm‖K(u)-K(v)‖q=

(λKm+Zm)‖K(u)-K(v)‖q

因此‖K(u)-K(v)‖≤θ‖u-v‖，即

下面我們利用H(A1,…,Am)-Co-增生映射來(lái)解決一個(gè)變分包含問(wèn)題，我們尋找x∈X，u∈R(x),v∈S(x) 以及ω∈T(x) ，使得

0∈P(u)-(F(v)-G(ω))+M(f1(x),f2(x),…,fm(x))

(3)

(5)

在(5)式的基礎(chǔ)上，我們定義如下算法

迭代算法 對(duì)于任意的x0∈X,u0∈R(x0),v∈S(x0) 和ω∈T(x0) ，{xn},{un},{vn} 和{ωn} 由下列迭代序列計(jì)算得出：

(6)

un∈R(xn),‖un+1-un‖≤(1+(1+n)-1)D(R(xn+1),R(xn))

(7)

vn∈S(xn),‖vn+1-vn‖≤(1+(1+n)-1)D(S(xn+1),S(xn))

(8)

ωn∈T(xn),‖ωn+1-ωn‖≤(1+(1+n)-1)D(T(xn+1),T(xn))

(9)

其中n=0,1,2,… 且λ>0 為一常數(shù).

i)H(A1,A2,…,Am)關(guān)于Ai(i∈{1,2,…,m-1}) 為μi- 強(qiáng)上強(qiáng)制的，關(guān)于Aj(j∈{2,4,…,m})為γj- 松弛上強(qiáng)制的；

ii)Ai(i∈{1,3,…,m-1}) 為ζi- 擴(kuò)張的且Aj(j∈{2,4,…,m} )為σj- Lipschitz連續(xù)的；

iii)H(A1,A2,…,Am) 為關(guān)于常數(shù)t>0 混合Lipschitz連續(xù)的；

iv)H(A1,A2,…,Am)為關(guān)于P和R混合強(qiáng)增生的，伴隨系數(shù)δ>0 ；

v)M(f1,f2,…,fm)關(guān)于fi(i∈{1,3,…m-1})為αi- 強(qiáng)增生的，并且關(guān)于fj(j∈{2,4,…m})為βj- 松弛增生的；

vi)R,S和T為D- Lipschitz連續(xù)映射，伴隨系數(shù)分別為e,h和d；

vii)P,F和G為L(zhǎng)ipschitz連續(xù)映射，伴隨系數(shù)分別為ρ,ξ和r；

viii)S為關(guān)于F松弛Lipschitz連續(xù)的，伴隨系數(shù)k>0；

ix)T為關(guān)于G松弛增生的，伴隨系數(shù)c>0；

則變分包含問(wèn)題(2)有唯一解(x,u,v,ω) (其中x∈X,u∈R(x),v∈S(x),ω∈T(x))并且由迭代算法生成的{xn},{un},{vn} 和{ωn} 強(qiáng)收斂到x,u,v和w.

證明 由(6)式，并且利用預(yù)解式算子的連續(xù)性得

θ1‖H(A1(xn),A2(xn),…,Am(xn))-H(A1(xn-1),A2(xn-1),…,Am(xn-1))-λ(P(un)-P(un-1)‖+θ1‖xn-xn-1+λ(F(vn)-F(vn-1)-(G(ωn)-G(ωn-1)))‖+θ1‖xn-xn-1‖

(10)

因?yàn)镽,S和T為D- Lipschitz連續(xù)映射，P,F和G為L(zhǎng)ipschitz連續(xù)映射，因此得

‖P(un)-P(un-1)‖≤ρ‖un-un-1‖≤ρ(1+(1+n)-1)D(R(xn)-R(xn-1))≤

ρe(1+(1+n)-1)‖xn-xn-1‖

(11)

‖F(xiàn)(vn)-F(vn-1)‖≤ξ‖vn-vn-1‖≤ξ(1+(1+n)-1)D(S(xn)-S(xn-1))≤

ξh(1+(1+n)-1)‖xn-xn-1‖

(12)

‖G(ωn)-G(ωn-1)‖≤r‖ωn-ωn-1‖≤r(1+(1+n)-1)D(T(xn)-T(xn-1))≤

rd(1+(1+n)-1)‖xn-xn-1‖

(13)

由于H(A1,A2,…,Am)為混合Lipschitz連續(xù)的，且關(guān)于P和R為混合強(qiáng)增生的，利用(11)式有

‖H(A1(xn),A2(xn),…,Am(xn))-H(A1(xn-1),A2(xn-1),…,Am(xn-1))-λ(P(un)-P(un-1))‖q≤λq‖P(un)-P(un-1)‖q-q〈H(A1(xn),A2(xn),…,Am(xn))-

H(A1(xn-1),A2(xn-1),…,Am(xn-1)),Jq(P(un)-P(un-1))〉+

Cq‖H(A1(xn),A2(xn),…,Am(xn))-H(A1(xn-1),A2(xn-1),…,Am(xn-1))‖q≤

λqρqeq(1+(1+n)-1)q‖xn-xn-1‖q-qδ‖xn-xn-1‖q+Cqtq‖xn-xn-1‖q=

(λqρqeq(1+(1+n)-1)q-qδ+Cqtq)‖xn-xn-1‖q

(14)

又因?yàn)镾為關(guān)于F松弛Lipschitz連續(xù)的，T為關(guān)于G松弛增生的，利用(12),(13)式可得

‖xn-xn-1+λ(F(vn)-F(vn-1)-(G(ωn)-G(ωn-1)))‖q≤

‖xn-xn-1‖q+q〈λ(F(vn)-F(vn-1))-λ(G(ωn)-G(ωn-1)),Jq(xn-xn-1)〉+

Cqλq‖F(xiàn)(vn)-F(vn-1)-(G(ωn)-G(ωn-1))‖q≤

‖xn-xn-1‖q+qλ〈F(vn)-F(vn-1),Jq(xn-xn-1-qλ(G(ωn)-G(ωn-1)),Jq(xn-xn-1)〉+

Cqλq‖F(xiàn)(vn)-F(vn-1)‖+‖G(ωn)-G(ωn-1)‖q≤

‖xn-xn-1‖q-qλk‖xn-xn-1‖q+qλc‖xn-xn-1‖q+

(15)

由(10),(14)和(15)式可得

‖xn+1-xn‖≤L(θn)‖xn-xn-1‖

其中

令n→∞，我們可得L(θn)→L(θ)，其中

由條件x)可得 00 和L(θ0)∈(0,1)，使得對(duì)于所有n≥n0有

‖xn+1-xn‖≤L(θn)‖xn-xn-1‖

(16)

由(16)式遞推下去可得

‖xn+1-xn‖≤L(θ0)n-n0‖xn0+1-xn0‖

從而得

下面我們證明u∈R(x),v∈S(x)以及ω∈T(x)，

d′(u,R(x))=inf{‖u-y‖:y∈R(x)}≤

‖u-un‖+d′(un,R(x))≤

‖u-un‖+D(R(xn),R(x))≤

‖u-un‖+ρ‖xn-x‖→0 當(dāng)n→∞

從而可得d′(u,R(x))=0，因?yàn)镽(x)∈CB(X)，因此有u∈R(x)，類似可得v∈S(x) 以及ω∈T(x)

由定理1得(x,u,v,ω) 為問(wèn)題(3)的解. 證畢.

注：將本文中的Banach空間加強(qiáng)為Hilbert空間，H(A1,…,Am)-C0-增生映射改為H(A,B)-C0單調(diào)映射，即可得到文獻(xiàn)[7]中定理3.1，定理3.2，定理4.1的相關(guān)結(jié)論，因此本文推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)[7]的相關(guān)結(jié)果.

參考文獻(xiàn)：

[1]Huang N J, Fang Y P.Generalized m-accretive mappings in Banach spaces[J]. J Sichuan Univ,2001,38(4): 591～592．

[2]Chang S S.Set-valued variational inclusions in Banach spaces[J]. J Math Anal Appl,2000,248:438～454．

[3]Zou Y Z, Huang N J. H(, )-accretive operator with an application for solving variational inclusions in Banach spaces[J]. Appl Math Comput, 2008,204:809～816．

[4]K R Kazmi, F A Khan, Mohammad Shahzad.A system of generalized variational inclusions involving generalized H(. , .)-accretive mapping in q-uniformly smooth Banach spaces[J]．Appl Math Comput,2011,217:9679～9688.

[5]Ahmad R, Dilshad M, Wong M M, et al.H(, )-cocoercive operator and an application for solving generalized variational inclusions[J]. Abstr Appl Anal,2011, 261534 .

[6]Huang N J.A new class of generalized set-valued implicit variational inclusions in Banach spaces with an application[J]. Comput Math Appl，2001,41:937～943．

[7]R Ahmad, M Akram, Yao J C.Generalized Monotone Mapping with an Application for Solving a Variational Inclusion Problem[J].J Optim Theory Appl, 2012,DOI:10.1007/s10957-012-0182-7.

[8]Xu H K. Inequalities in Banach spaces with applications[J]. Nonlinear Anal,1911,16(12): 1127～1138.