兩兩可換的對(duì)合矩陣的群逆和可逆性

李虹曄, 崔小琴

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖北 黃石 435002)

1 引言及預(yù)備引理

冪等矩陣和對(duì)合矩陣是矩陣分析和算子理論中,兩類最基本的矩陣,它們?cè)诰仃嚪治觥⑺阕永碚?、統(tǒng)計(jì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等中起著很重要的作用.在[1]中Graybill F A發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)冪等矩陣的線性組合在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的作用.人們對(duì)于這兩類矩陣組合的問(wèn)題有不少的研究成果.例如:秩、可逆性、群逆、Drain逆等.在[2]和[3]中,Tian研究了兩個(gè)冪等陣的線性組合及塊為冪等陣的組合的分塊矩陣的秩.在[4-7]中,Zuo和Gro J ,Trenkle G,以及Koliha J J,Rakocevic V研究了兩個(gè)冪等矩陣的線性組合可逆性.在[8-11]中Deng和Zhang研究了冪等矩陣的和與差的Drain逆.本文先研究了兩個(gè)冪等(對(duì)合)矩陣之差的可逆性和群逆的充要條件，并給出了三個(gè)兩兩可換的對(duì)合矩陣組合的群逆和可逆性的幾個(gè)充要條件.

設(shè)P∈n×n,令,則P∈?A=I-2P∈,從而A∈?∈

設(shè)A∈n×n,如果存在唯一的X∈n×n使得AXA=A,XAX=X,AX=XA成立.則稱A是一個(gè)群逆陣,且X是A的 群逆.用A#來(lái)表示A的群逆.容易證明,若A的群逆存在,則群逆一定唯一.且A是群逆陣?r(A)=r(A2) .用表示所有的n階群逆陣組成的集合,即:

由文獻(xiàn)[12]，我們有

引理1 設(shè)P是冪等矩陣,則存在n階可逆陣S,使得

a)M#存在?A#與C#都存在,并且AπBCπ=0 .其中Aπ=I-AA#,Cπ=I-CC#.

b)如果M#存在,則

其中X=(A#)2BCπ+BCπ+AπB(C#)2-A#BC#.

2 主要結(jié)果及其證明

定理1 若P,Q是兩個(gè)冪等矩陣,則有

1)P-Q可逆當(dāng)且僅當(dāng)I-PQ和P+Q-PQ可逆.

2)P-Q是群逆陣,則I-PQ和P+Q-PQ是群逆陣.

證明1):? 設(shè)P-Q可逆，則(P-Q)2是可逆的. ?x∈N(I-PQ),有

x=Px=PQx,QPx=QPPQx=QPQx=Qx,(P-Q)2x=(P+Q-PQ-QP)x=0

可得出x=0 .從而I-PQ是可逆的.

又因?yàn)?x∈N(P+Q-PQ), 則有Px+(Q-PQ)x=0.兩邊同乘P,可得出Px=0,有

(Q-PQ)x=0=(Q2-PQ)x=(Q-P)Qx=0

又因?yàn)镻-Q可逆,則

Qx=0,Px=Qx=0=(P-Q)x=0

P-Q可逆,則x=0.從而P+Q-PQ是可逆的.

? 設(shè)I-PQ與P+Q-PQ都可逆,對(duì)?x∈N(P-Q) ,則有

Px=Qx=PQx=QPx,PQPQx=PQPx

而

(I-PQ)(P+Q-PQ)x=(P+Q-PQ-PQP-PQ+PQPQ)x=

Px+Qx-2PQx-PQPx+PQPQx=0

因?yàn)镮-PQ與P+Q-PQ都可逆,有x=0.從而P-Q可逆.

2)P-Q是群逆陣,由引理1，設(shè)

定理2 設(shè)A,B是兩個(gè)對(duì)合矩陣，有

1)A-B可逆當(dāng)且僅當(dāng)3I+A+B-AB, 3I-A-B-AB可逆.

2)A-B是群逆陣,則3I+A+B-AB,3I-A-B-AB是群逆陣.

證明 設(shè)

由定理1,我們得到A-B可逆，當(dāng)且僅當(dāng) 3I+A+B-AB和 3I-A-B-AB都可逆.同時(shí)由A-B是群逆陣，則3I+A+B-AB和3I-A-B-AB是群逆陣.

定理3 設(shè)A,B,C滿足A2=B2=C2=I,且A,B,C兩兩可換

T=aI+bA+cB+dC+eAB+fBC+gAC+hABC

則有

其中Ei和λi，i=1,2,…,8 定義如下:

λ1=a+b+c+d+e+f+g+h,λ2=a+b+c-d+e-f-g-h

λ3=a+b-c-d-e+f-g+h,λ4=a+b-c+d-e-f+g-h

λ5=a-b+c+d-e+f-g-h,λ6=a-b+c-d-e-f+g+h

λ7=a-b-c-d+e+f+g-h,λ8=a-b-c+d+e-f-g+h

證明 由于A,B,C可對(duì)角化且它們兩兩可換,所以我們可以對(duì)A,B,C作如下的分解

A=S(I⊕I⊕I⊕I⊕-I⊕-I⊕-I⊕-I)S-1

B=S(I⊕I⊕-I⊕-I⊕I⊕I⊕-I⊕-I)S-1

C=S(I⊕-I⊕-I⊕I⊕I⊕-I⊕-I⊕I)S-1

那么可分別計(jì)算

A+A2=S(2I⊕2I⊕2I⊕2I⊕0⊕0⊕0⊕0)S-1

B+B2=S(2I⊕2I⊕0⊕0⊕2I⊕2I⊕0⊕0)S-1

C+C2=S(2I⊕0⊕0⊕2I⊕2I⊕0⊕0⊕2I)S-1

A-A2=S(0⊕0⊕0⊕0⊕-2I⊕-2I⊕-2I⊕-2I)S-1

B-B2=S(0⊕0⊕-2I⊕-2I⊕0⊕0⊕-2I⊕-2I)S-1

C-C2=S(0⊕-2I⊕0⊕-2I⊕0⊕-2I⊕0⊕-2I)S-1

從上面的表達(dá)式中,觀察可得

又因?yàn)?/p>

則可得

λ1=a+b+c+d+e+f+g+h,λ2=a+b+c-d+e-f-g-h

λ3=a+b-c-d-e+f-g+h,λ4=a+b-c+d-e-f+g-h

λ5=a-b+c+d-e+f-g-h,λ6=a-b+c-d-e-f+g+h

λ7=a-b-c-d+e+f+g-h,λ8=a-b-c+d+e-f-g+h

我們知道

參考文獻(xiàn)：

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