鋼筋混凝土板式樓梯的非線性有限元分析

李艷嬌，李瑞敏

（1.沈陽(yáng)建筑大學(xué) 建筑設(shè)計(jì)研究院，遼寧 沈陽(yáng) 110015；2.沈陽(yáng)機(jī)床（集團(tuán)）有限責(zé)任公司 設(shè)計(jì)研究院，遼寧 沈陽(yáng) 110142）

混凝土板式樓梯因其設(shè)計(jì)和施工簡(jiǎn)單、外形美觀等優(yōu)點(diǎn)，成為建筑工程中應(yīng)用非常廣泛的一種樓梯形式.在實(shí)際工程的設(shè)計(jì)中，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，通常把梯板、梯梁和平臺(tái)板都簡(jiǎn)化為僅受豎向載荷的受彎構(gòu)件.實(shí)際上，在水平地震作用下，梯板為拉彎和壓彎構(gòu)件，梯柱為雙向受剪和受彎構(gòu)件，平臺(tái)梁和平臺(tái)板在梯板的斜撐作用下為空間彎、剪、扭矩復(fù)雜受力構(gòu)件［1］，所以實(shí)際受力狀態(tài)與理論計(jì)算之間必然存在著一定的誤差.隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)在工程應(yīng)用領(lǐng)域的不斷發(fā)展，人們可以通過(guò)有限元分析的方法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行更為精確的分析.為了更加準(zhǔn)確地了解混凝土板式樓梯的實(shí)際受力狀況，本文基于大型通用有限元軟件ABAQUS對(duì)一實(shí)際工程中的鋼筋混凝土板式樓梯進(jìn)行了精細(xì)化的有限元建模與分析，為結(jié)構(gòu)工程師提供一些參考.

1 工程概況

某二層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)工程中的樓梯設(shè)計(jì)為鋼筋混凝土板式樓梯，混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C30，鋼筋屈服強(qiáng)度為360MPa.受建筑條件的限制，梯柱寬僅能取200mm，考慮到梯柱在地震中受到較大剪力，為了提高其抗震性能，設(shè)計(jì)中對(duì)梯柱箍筋進(jìn)行全高加密.在豎向及水平地震作用下，梯板不僅受到彎矩作用，還會(huì)受到較大軸力，所以梯板負(fù)筋沿板通長(zhǎng)布置.休息平臺(tái)高1.5m，樓層高3 m，結(jié)構(gòu)平面尺寸見(jiàn)圖1.平臺(tái)板鋼筋直徑8mm、間距200mm，雙層雙向配筋，其他構(gòu)件的配筋見(jiàn)圖2.

2 有限元模型的建立

2.1 建模方法、單元、材料模型的選擇

鋼筋混凝土材料是由鋼筋與混凝土這兩種力學(xué)性能差別較大的材料組合而成的復(fù)合材料，所以對(duì)它的精確模擬是很復(fù)雜的.目前主要有整體式、組合式和分離式三種建模方法.整體式建模方法是指將鋼筋混凝土看作是一種連續(xù)均質(zhì)的材料，材料的本構(gòu)是鋼筋和混凝土共同作用的體現(xiàn)；組合式建模方法是假設(shè)鋼筋與混凝土之間粘結(jié)良好，將二者分層組合或采取帶鋼筋的等參單元；分離式建模方法是指將混凝土和鋼筋分別建立模型并選擇合適的單元，通過(guò)連接單元或相互作用考慮二者之間的相互作用關(guān)系.本文采取分離式建模方法，混凝土與鋼筋的相互作用通過(guò)ABAQUS軟件的“嵌入”功能使二者自由度耦合，不考慮混凝土與鋼筋之間的粘結(jié)滑移作用.由于本文主要進(jìn)行樓梯結(jié)構(gòu)的整體受力及變形分析，不進(jìn)行構(gòu)件內(nèi)部的微觀受力機(jī)理的研究，所以不考慮鋼筋與混凝土之間的粘結(jié)滑移作用，這樣會(huì)使得結(jié)構(gòu)承載力的計(jì)算結(jié)果偏高，但對(duì)于結(jié)構(gòu)整體的受力特點(diǎn)影響不大.

圖1 樓梯平面圖（mm）Fig.1 The ichnography of stair（Unit：mm）

圖2 樓梯構(gòu)件配筋圖（mm）Fig.2 The rebar diagram of stair members（Unit：mm）

ABAQUS 單元庫(kù)中提供了廣泛的單元類型，可以適用不同的結(jié)構(gòu)類型和幾何特征的需要［2］.C3D8R 單元是三維八節(jié)點(diǎn)線性縮減積分單元，它是實(shí)體單元的一種，可以模擬幾乎任何形狀的結(jié)構(gòu).它的優(yōu)勢(shì)在于減少計(jì)算時(shí)間，在網(wǎng)格劃分合理的情況下具有很好的計(jì)算精度，所以本文選用C3D8R 單元來(lái)模擬混凝土.T3D2單元是二節(jié)點(diǎn)三維桁架單元，它僅受軸向的拉力或壓力.由于鋼筋是一種細(xì)長(zhǎng)型的材料，通?？梢圆豢紤]它的抗剪作用［3］，所以本文用T3D2這種線形單元來(lái)模擬鋼筋的力學(xué)行為.

材料模型的選擇是有限元模擬的基礎(chǔ)，對(duì)模擬的結(jié)果有很大的影響.混凝土由于其組成材料的多樣性及不均勻性，其力學(xué)行為比較復(fù)雜，但主要表現(xiàn)為受拉開(kāi)裂破壞和受壓破碎破壞，且抗壓強(qiáng)度遠(yuǎn)大于抗拉強(qiáng)度.混凝土受拉時(shí)，主要表現(xiàn)為脆性，具有較小的不可逆變形，因此工程上可以把它視為彈性材料.混凝土受壓時(shí)，其內(nèi)部裂紋的開(kāi)展是導(dǎo)致其破壞的根源，而混凝土的破壞則經(jīng)歷了內(nèi)部裂紋產(chǎn)生、擴(kuò)展和延伸直至混凝土斷裂成碎塊而失去承載力的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程是連續(xù)的.ABAQUS軟件為混凝土提供了混凝土彌散裂縫模型、混凝土開(kāi)裂模型和混凝土塑性損傷模型，其中的混凝土塑性損傷模型考慮了材料拉壓強(qiáng)度的不同，將損傷指標(biāo)引入模型來(lái)描述混凝土材料的剛度退化.單軸拉伸時(shí)在應(yīng)力達(dá)到單軸抗拉強(qiáng)度前為彈性，材料達(dá)到破壞應(yīng)力時(shí)產(chǎn)生裂縫；單軸壓縮時(shí)，材料經(jīng)歷應(yīng)力達(dá)屈服應(yīng)力前的彈性階段、屈服后的強(qiáng)化階段和極限應(yīng)力后的軟化階段，適用于中等圍壓下的混凝土構(gòu)件的模擬，可用于往復(fù)加載和動(dòng)態(tài)加載，收斂性好［4］，本文選用該模型模擬混凝土.對(duì)于混凝土材料的單軸受壓和受拉的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系，本文采用《鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》GB 50010—2010［5］附錄C 中給出的混凝土本構(gòu)關(guān)系曲線，具體見(jiàn)規(guī)范.混凝土彈性模量30 GPa，泊松比0.2，密度2 500kg／m3.

鋼筋的本構(gòu)模型主要有三種：理想彈塑性的雙直線模型，適合描述流幅較長(zhǎng)的鋼筋；彈塑性強(qiáng)化的二折線模型，適合描述沒(méi)有明顯流幅的高強(qiáng)度鋼筋或鋼絲；彈塑性強(qiáng)化的三折線模型，適合描述流幅較短的鋼筋［6］.相對(duì)于混凝土材料，鋼筋的材質(zhì)均勻，力學(xué)計(jì)算假定與實(shí)際受力狀態(tài)比較符合，可視為一種理想材料來(lái)輸入其本構(gòu)關(guān)系.本文鋼筋采用理想彈塑性雙直線本構(gòu)關(guān)系模型，認(rèn)為鋼筋在達(dá)到屈服點(diǎn)之前是彈性的，在屈服點(diǎn)之后是完全塑性的.鋼筋彈性模量200GPa，泊松比0.3，密度7 800kg／m3.

2.2 網(wǎng)格的劃分及邊界條件的設(shè)定

網(wǎng)格類型選用計(jì)算速度快且精度高的結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格，網(wǎng)格劃分采取尺寸由大到小的原則，兩次劃分所得計(jì)算結(jié)果的差值小于5%時(shí)即停止，確定采用最后一次劃分的網(wǎng)格尺寸.本文經(jīng)過(guò)試算確定最小網(wǎng)格尺寸為0.05m.混凝土和鋼筋的有限元模型分別見(jiàn)圖3、圖4.

圖3 混凝土有限元模型Fig.3 The finite element model of concrete

圖4 鋼筋有限元模型Fig.4 The finite element model of rebar

邊界條件為約束梯柱底面及第一跑樓梯與地面接觸部位的所有自由度.

2.3 載荷狀況

豎向載荷包括結(jié)構(gòu)自重及2kPa的面層及抹灰載荷，活載荷為3.5kPa［7］；水平地震作用通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)施加水平位移載荷近似考慮，根據(jù)《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》［8］5.5.5條規(guī)定，混凝土框架結(jié)構(gòu)的最大彈性層間位移角不應(yīng)大于1／550，本文將結(jié)構(gòu)的水平位移加載至10 mm（層間位移角1／300），使材料進(jìn)入彈塑性來(lái)考察結(jié)構(gòu)的受力狀況.文獻(xiàn)［9］研究表明，順梯板方向樓梯類似框架結(jié)構(gòu)的支撐，在該方向樓梯與框架間相互作用遠(yuǎn)大于垂直梯板方向，所以本文在樓層處的順梯板方向?qū)翘菔┘铀轿灰戚d荷.水平位移的施加通過(guò)在樓層處梁兩端設(shè)置彈性鋼墊塊與梁耦合完成，這樣可以避免在一點(diǎn)處施加而產(chǎn)生的應(yīng)力過(guò)度集中問(wèn)題.

樓梯的常規(guī)設(shè)計(jì)僅考慮豎向載荷作用，不進(jìn)行抗震設(shè)計(jì).所以本文分別對(duì)結(jié)構(gòu)在豎向載荷作用下、豎向載荷及水平載荷共同作用下兩種狀況進(jìn)行分析.

3 結(jié)果分析

3.1 豎向載荷作用下的結(jié)果分析

3.1.1 應(yīng)力分析

圖5為豎向載荷作用下混凝土的Mises應(yīng)力云圖，從圖中可以看出，混凝土應(yīng)力較大的部位主要集中在梯板與梯梁的連接處、梯梁和平臺(tái)板跨中、梯柱的柱頂和柱腳.最大應(yīng)力為2.0MPa，出現(xiàn)在梯梁跨中的下部.圖6為鋼筋的Mises應(yīng)力云圖，從圖中可以看出，TL1 是梯板與平臺(tái)板的支座，受力最大，所以TL1跨中下部鋼筋應(yīng)力最大，最大應(yīng)力為9.545MPa，但遠(yuǎn)小于鋼筋的屈服強(qiáng)度.由上述分析可知，由于本文的樓梯在設(shè)計(jì)中采取了抗震加強(qiáng)措施，所以在豎向載荷作用下材料的應(yīng)力遠(yuǎn)小于其設(shè)計(jì)強(qiáng)度，結(jié)構(gòu)完全滿足日常使用的要求.

圖5 豎向載荷下混凝土Mises應(yīng)力云圖Fig.5 The Mises stress contour of concrete under vertical load

圖6 豎向載荷下鋼筋Mises應(yīng)力云圖Fig.6 The Mises stress contour of steel under vertical load

3.1.2 變形分析

圖7為結(jié)構(gòu)豎向位移云圖，從圖中可以看出，梯梁跨中和梯板跨中內(nèi)側(cè)豎向位移最大，最大值為0.46mm.可見(jiàn)，梯板沿寬度方向的位移并不相同，而是內(nèi)側(cè)位移大于外側(cè)位移.《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》［5］3.4.3規(guī)定樓梯受彎構(gòu)件的撓度限值為l0／200（l0為構(gòu)件的計(jì)算跨度），本文得到最大撓度為0.46mm，僅為計(jì)算跨度的1／9130，遠(yuǎn)小于規(guī)范的限值，說(shuō)明僅在豎向載荷下常規(guī)的簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)方法完全滿足規(guī)范對(duì)結(jié)構(gòu)變形的要求.

圖7 豎向載荷下結(jié)構(gòu)豎向位移云圖Fig.7 The vertical displacement contour of structure under vertical load

3.2 豎向和水平載荷共同作用下的結(jié)果分析

3.2.1 應(yīng)力分析

在豎向載荷和水平位移載荷共同作用下，計(jì)算結(jié)果顯示，在水平位移加載至2.5mm 時(shí)休息平臺(tái)處的柱底鋼筋應(yīng)力最先達(dá)到屈服，隨著位移的增大，屈服區(qū)域不斷增多.水平位移達(dá)到10mm 時(shí)，混凝土的Mises應(yīng)力云圖和等效塑性應(yīng)變?cè)茍D見(jiàn)圖8和圖9，鋼筋的Mises應(yīng)力云圖見(jiàn)圖10.從圖中可以看出，應(yīng)力較大部位集中在休息平臺(tái)處梯柱的柱底和柱頂及梯梁的跨中，塑性應(yīng)變集中在平臺(tái)處梯柱的柱底和柱頂.由上述分析可見(jiàn)，樓梯在常規(guī)設(shè)計(jì)時(shí)，雖然采取了加密箍筋及梯板雙層雙向配筋等加強(qiáng)措施，但樓梯在較小水平位移時(shí)梯柱鋼筋便進(jìn)入屈服狀態(tài)，主要是由于休息平臺(tái)處的梯柱形成了短柱，受力明顯大于樓層處的梯柱.

圖8 豎向和水平載荷下混凝土Mises應(yīng)力云圖Fig.8 The Mises stress contour of concrete under vertical and horizontal load

圖9 豎向和水平載荷下混凝土等效塑性應(yīng)變?cè)茍DFig.9 The equivalent plastic strain contour of concrete under vertical and horizontal load

圖10 豎向和水平載荷下鋼筋Mises應(yīng)力云圖Fig.10 The Mises stress contour of rebar under vertical and horizontal load

3.2.2 變形分析

圖11為結(jié)構(gòu)的一個(gè)加載點(diǎn)處的水平力－位移曲線，在位移較小時(shí)，水平力和位移成線性關(guān)系，隨著位移的增大，位移的增速大于力的增速，說(shuō)明材料逐漸進(jìn)入彈塑性階段，結(jié)構(gòu)的承載力降低.圖12為結(jié)構(gòu)在水平位移為10mm 時(shí)的豎向位移云圖，最大豎向變形出現(xiàn)在梯板與梯梁和休息平臺(tái)中部相交的位置，最大豎向位移為7.07mm，滿足規(guī)范的限值要求.

圖11 水平力－位移曲線Fig.11 The horizontal force－displacement curve

圖12 豎向和水平載荷下結(jié)構(gòu)豎向位移云圖Fig.12 The vertical displacement contour of structure under vertical and horizontal load

4 結(jié) 論

（1）ABAQUS可以用于復(fù)雜混凝土結(jié)構(gòu)的精細(xì)化有限元分析，得到應(yīng)力及應(yīng)變等力學(xué)參數(shù)，為設(shè)計(jì)者更好地進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供參考.

（2）通過(guò)簡(jiǎn)化計(jì)算設(shè)計(jì)的混凝土板式樓梯在日常使用情況下完全滿足結(jié)構(gòu)的承載力和變形要求.

（3）在豎向載荷和水平載荷共同作用下，休息平臺(tái)處的梯柱形成了短柱，其受力明顯大于樓層處的梯柱，鋼筋極易進(jìn)入屈服狀態(tài).

（4）采取箍筋加密等加強(qiáng)措施對(duì)限制結(jié)構(gòu)豎向變形作用明顯，但對(duì)減小水平載荷下鋼筋的應(yīng)力作用不大，所以樓梯的水平荷載荷不容忽視，應(yīng)加強(qiáng)地震作用下樓梯的計(jì)算和分析.

［1］沈靚，柳炳康，張瑜中，等.汶川地震中框架樓梯典型震害分析與有限元計(jì)算［J］.工程抗震與加固改造，2010，32（4）：114－119.（Shen Liang，Liu Bingkang，Zhang Yuzhong，et al.Typical Seismic Damage Analysis and Finite Element Calculation of Stair in Framein Wenchuan Earthquake［J］.Earthquake Resistant Engineering and Retrofitting，2010，32（4）：114－119.

［2］ABAQUS Analysis User’s Manual［M］.USA：ABAQUS Inc.，2004.

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［6］莊茁，張帆，岑松.ABAQUS 非線性有限元分析與實(shí)例［M］.北京：科學(xué)出版社，2005：239－243.（Zhuang Zhuo，Zhang Fan，Cen Song.ABAQUS Nonlinear Finite Element Analysis and Instance［M］.Beijing：Science Press，2005：239－243.）

［7］中華人民共和國(guó)住房和城鄉(xiāng)建設(shè)部.GB 50009—2012建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范［S］.北京：中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2012：14－16.（Ministry of Housing and Urban－Rural Development.GB 50009—2012 Load Code for the Design of Building Structures［S］.Beijing：China Architecture ＆ Building Press，2012：14－16.）

［8］中華人民共和國(guó)建設(shè)部.GB 50011—2010建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范［S］.北京：中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2010：46－47.（Ministry of Construction.Code for Seismic Design of Buildings GB 50011—2010［S］.Beijing：China Building Industry Press，2010：46－47.）

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