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    奇素數(shù)函數(shù)及應(yīng)用

    2013-11-01 08:26:48李明玉
    渭南師范學(xué)院學(xué)報 2013年12期
    關(guān)鍵詞:判別函數(shù)合數(shù)素數(shù)

    李明玉

    (渭南市氣象局,陜西渭南714000)

    1 奇素數(shù)函數(shù)V(u)

    定義1 如果 U={u|u∈Z,且u≠0,u≠-4ab+a - b,u≠4ab- a - b,u≠4ab+a+b,a,b∈N},則

    稱作奇素數(shù)函數(shù),u稱作奇素數(shù)函數(shù)變量.

    定理1 給出函數(shù)變量 u,u∈Z,如果u≠0,u≠-4ab+a-b,u≠4ab-a-b,u≠4ab+a+b,a,b∈N,則函數(shù)的值域構(gòu)成奇素數(shù)全集.

    證明 設(shè)f(x)=︱4x+1︱為奇數(shù)函數(shù),x∈z.

    首先證明f(x)=︱4x+1︱包含了所有的奇素數(shù).

    當(dāng)x=0時,f(x)=|4x+1|=1,即它既不是合數(shù),也不是素數(shù);

    當(dāng)x>0時,f(x)=|4x+1|?f(x)=4x+1;

    當(dāng)x<0時,f(x)=|4x+1|?f(x)=4×|x|-1.

    設(shè)N是正整數(shù),則

    N ≡1(mod 4),N=4x+1;

    N≡2(mod 4),N是偶數(shù),其中只有2是素數(shù);

    N≡3(mod 4),N=4x-1;

    N≡0(mod 4),N沒有素數(shù),是偶合數(shù).

    由此可見,所有的奇素數(shù)都包含在奇數(shù)函數(shù)f(x)=|4x+1|之中,無一例外.

    下面證明,若x∈ Z,x≠0,x≠-4ab+a - b,x≠4ab- a - b,x≠4ab+a+b,a,b∈N,則f(x)=|4x+1|都是奇素數(shù).

    設(shè) f(x)=|4x+1|是奇合數(shù),x≠0,則 ?y1,y2∈ N,使 f(x)=|4x+1|=y1y2.

    由于f(x)為奇數(shù),所以y1,y2均為奇數(shù),即?a,b∈N,使得y1=4a+1或者4a-1;y2=4b+1或者4b-1.

    由于a,b的任意性,所以f(x)=|4x+1|=y1y2只能是下面三種情況之一:

    所以,如果f(x)=|4x+1|為合數(shù),則x的值只能為x=-4ab+a-b,或x=4ab+a+b,或x=4ab- a - b.也就是說,若 x∈ Z,x≠0,x≠-4ab+a - b,x≠4ab-a - b,x≠4ab+a+b,a,b∈N,則f(x)=|4x+1|都是奇素數(shù).

    因為u∈Z,u≠0,u≠-4ab+a-b,u≠4ab-a-b,u≠4ab+a+b,所以,函數(shù)V(u)= ︱4u+1︱既沒有1和奇合數(shù),又包含了所有的奇素數(shù).因此,V(u)=︱4u+1︱的值域是奇素數(shù)全集.

    2 簡化素數(shù)函數(shù)V(m)

    定義2 如果m={m|m∈Z,且m≠0,m≠-6ab+a-b,m≠6ab-a-b,m≠6ab+a+b,a,b∈ N},則

    稱作簡化素數(shù)函數(shù),亦稱作不小于5的素數(shù)函數(shù),m稱作簡化素數(shù)函數(shù)變量.

    雖然函數(shù)V(m)比奇素數(shù)函數(shù)V(u)少了奇素數(shù)3,但在使用中就方便多了.與奇素數(shù)函數(shù)V(u)相比,簡化素數(shù)函數(shù)V(m)在函數(shù)值域相同的情況下,其函數(shù)變量的定義域的取值范圍卻顯著縮小,因此,在實際計算中,工作量明顯減少,數(shù)字越大越明顯.所以,將函數(shù)(2)稱作簡化素數(shù)函數(shù).

    定理2 給出函數(shù)變量m,m∈Z,如果m≠0,m≠-6ab+a-b,m≠6ab-a-b,m≠6ab+a+b,a,b∈ N,則函數(shù)的值域是不小于5的素數(shù)集合.

    證明 設(shè)f(x)=|6x+1|是奇數(shù)函數(shù),x∈Z.

    首先證明f(x)=|6x+1|,包含了除2和3之外的所有素數(shù).

    當(dāng)x=0時,f(x)=|6x+1|=1,即它既不是合數(shù),也不是素數(shù);

    當(dāng)x>0時,f(x)=|6x+1|?f(x)=6x+1;

    當(dāng)x<0時,f(x)=|6x+1|?f(x)=6×|x|-1.

    設(shè)N是正整數(shù),則

    N ≡1(mod 6),N=6x+1;

    N≡2(mod 6),N是偶數(shù),其中只有2是素數(shù);

    N≡3(mod 6),N是能被3整除的數(shù),其中只有3是素數(shù);

    N≡4(mod 6),N是偶數(shù),都是合數(shù);

    N≡5(mod 6),N=6x-1;

    N≡0(mod 6),N沒有素數(shù),是偶合數(shù).

    由此可見,除了2和3外,奇數(shù)函數(shù)f(x)=|6x+1|包含了其余所有的素數(shù).

    下面證明,若x∈ Z,x≠0,x≠-6ab+a - b,x≠6ab- a - b,x≠6ab+a+b,a,b∈N,則f(x)=|6x+1|都是奇素數(shù).

    設(shè) f(x)=|6x+1| 是合數(shù),x≠0,則 ?y1,y2∈ N,使 f(x)=|6x+1|=y1y2.

    由于f(x)為奇數(shù),所以y1,y2均為奇數(shù),即?a,b∈N,使得y1=6a+1,或6a-1,或6a+3;y2=6b+1,或6b - 1,或6b+3.

    又由于f(x)=|6x+1|=y1y2是不存在素因子3的奇數(shù),因此,y1,y2均不可能為6a+3和6b+3.

    所以y1=6a+1或6a-1;y2=6b+1或6b-1.

    由于a,b的任意性,所以f(x)=|6x+1|=y1y2只能是下面三種情況之一:

    所以,如果f(x)=|6x+1|為合數(shù),則x的值只能為x=-6ab+a-b,或x=6ab+a+b,或x=6ab- a - b.也就是說,若 x∈ Z,x≠0,x≠-6ab+a - b,x≠6ab-a - b,x≠6ab+a+b,a,b∈N,則f(x)=|6x+1|都是大于3的奇素數(shù).

    由于奇數(shù)函數(shù)f(x)=|6x+1|包含了除2和3之外的全部素數(shù).又因為m∈Z,m≠0,m≠-6ab+a-b,m≠6ab+a+b,m≠6ab-a-b,所以,函數(shù)V(m)=|6m+1|既沒有1和合數(shù),又包含了除2和3之外的全部素數(shù).因此,V(m)=|6m+1|的值域是不小于5的素數(shù)集合.

    3 應(yīng)用

    3.1 求素數(shù)判別函數(shù)f(b)

    若函數(shù)f(b)的值都不是整數(shù)時,則n就是素數(shù),否則就是合數(shù).

    例1 用判別函數(shù)識別299是素數(shù)還是合數(shù).

    因為判別函數(shù)值是整數(shù),所以299是合數(shù),299=13×23.

    例2 用判別函數(shù)識別253是素數(shù)還是合數(shù).

    因為判別函數(shù)值是整數(shù),所以253是合數(shù),253=11×23.

    3.2 求素數(shù)及個數(shù)

    例3 求51到100內(nèi)的素數(shù)和素數(shù)個數(shù).

    解 在函數(shù)V(u)=︱4u+1︱中,

    1

    若u1=-4ab+a-b,有 -25≤-4ab+a-b≤-13,即

    而u1≠-4ab+a-b,所以{u1}={-15,-17,-18,-20,-21}.

    2

    若u2=4ab-a-b和u2=4ab+a+b,有 13≤4ab-a-b≤24,13≤4ab+a+b≤24,即

    而 u2≠ 4ab - a - b,u2≠4ab+a+b,所以{u2}={13,15,18,22,24}.

    所以{u}={u1}∪ {u2}={-15,-17,-18,-20 -21}∪ {13,15,18,22,24}={- 15,- 17,- 18,- 20,- 21,13,15,18,22,24}.

    所以n(U)=10.

    將素數(shù)函數(shù)變量代入V(u)=|4u+1|,得:

    例4 求9951到10000內(nèi)的素數(shù)和素數(shù)個數(shù).

    解 設(shè)素數(shù)函數(shù)為V(m)=|6m+1|,M為素數(shù)函數(shù)變量m的集合,M補為素數(shù)函數(shù)變量集合的補集,則M補={-6ab+a-b}∪{6ab-a-b}∪{6ab+a+b}.

    若m1=-6ab+a-b,則 -1666≤-6ab+a-b≤-1659,(這時設(shè)m1∈M補1).

    當(dāng)a=b時,-6ab+a-b=-6a2≥-1666,有 a≤16.同理可得:b≤16.

    當(dāng)a=1時,-1666≤-6b+1-b≤-1659,即238≥b≥238,則有

    當(dāng)a=2時,-1666≤-6×2b+2-b≤-1659,即128≥b≥128,則有

    同理可得:

    若 m2=6ab-a-b,m2=6ab+a+b,則1659≤6ab-a-b≤1666,1659≤6ab+a+b≤1666(這時設(shè)m2∈M補2).

    當(dāng)a=b時,6ab-a-b=6a2-2a≤1666, 6ab+a+b=6a2+2a≤1666.即

    解得:

    所以a≤16.

    由于6ab-a-b和6ab+a+b都是對稱函數(shù),所以a和b是同型項,b不需計算.

    當(dāng)a=1時,1659≤6b-1-b≤1666,即 332≤b≤333.

    1659≤6b+1+b≤1666,即237≤b≤237.

    所以6ab-a-b=6×1×332-1-332=1659,6ab-a-b=6×1×333-1-333=1664,6ab+a+b=6×1×237+1+237=1660,

    同理可得:

    則 M={1661,1662}.

    所以n(M)=2.

    所以從9951到10000內(nèi)的素數(shù)為{9967,9973},共2個.

    3.3 梅森素數(shù)的素數(shù)函數(shù)F(p)

    因為 - 2p-2≤- 1,即2p-2≥1,所以 p ≥2.

    又因為 - 2p-2≠- 4ab+a - b,即2p-2≠4ab - a+b,有2p≠16ab - 4a+4b.

    所以p≠log2(16ab-4a+4b)=2+log2(4ab-a+b).

    所以梅森素數(shù)的素數(shù)函數(shù)是:F(p)=2p-1,其中p≥2,p≠2+log2(4ab - a+b),a,b≥1,a,b∈N.

    3.4 高斯素數(shù)的素數(shù)函數(shù)F(u)

    所謂高斯素數(shù),就是在奇素數(shù)函數(shù)V(u)=︱4u+1︱中,素數(shù)函數(shù)變量為負(fù)整數(shù)的一類素數(shù).高斯素數(shù)是在復(fù)數(shù)域中仍不能分解的一類素數(shù).這類素數(shù)形如4u-1.

    因為F(u)=4u-1=-﹝ -(4u-1)﹞ =-﹝4×(-u)+1﹞ =|4×(-u)+1|,而 -u≤-1,即 u ≥1.

    又因為 -u≠-4ab+a-b,即u≠4ab-a+b.

    所以高斯素數(shù)的素數(shù)函數(shù)是:F(u)=4u - 1,其中 u≥1,u≠4ab - a+b,a,b≥1,u,a,b∈ N.

    3.5 形如 s2+1的素數(shù)函數(shù)F(s)

    在二次式s2+1中,當(dāng)s是奇數(shù)時,s2+1是偶數(shù),其中,只有s=1時,s2+1是素數(shù)2,其余都是合數(shù).所以,素數(shù)s2+1中的奇數(shù)變量不是變量,而是常量1;當(dāng)s是偶數(shù)時,s2+1是奇數(shù),所以,s2+1既有合數(shù),也有素數(shù).因此,素數(shù)s2+1的變量s是偶數(shù),不是奇數(shù).因而,s2能被4整除.

    又因為s是偶數(shù),所以s≤-2n或s≥2n,n∈N.

    所以s2≠4×(4ab-a-b), s2≠4×(4ab+a+b),

    因為此函數(shù)的變量都是偶數(shù),所以,我們將它稱作偶變量素數(shù)函數(shù)F(s).

    3.6 孿生素數(shù)的素數(shù)函數(shù)F(mr)

    所謂孿生素數(shù)是指差為2的相鄰素數(shù).

    當(dāng)素數(shù)函數(shù)變量m1>0時,則其素數(shù)p1可表示為p1=6m1+1.

    當(dāng)素數(shù)函數(shù)變量m2<0時,則其素數(shù)p2可表示為

    如果m1=-m2,則p1-p2=(6m1+1)-﹝6×(-m2)-1﹞

    這說明了當(dāng)素數(shù)變量m1=-m2時,則其素數(shù)就是一對孿生素數(shù).

    設(shè) m1,m2,mr都是素數(shù)函數(shù)變量,m1≥ 1,m2≤- 1,mr=m1= - m2,則 mr≥ 1.

    因為m1≠6ab-a-b, m1≠6ab+a+b,所以mr≠6ab-a-b, mr≠6ab+a+b

    又因為m2≠-6ab+a-b,所以mr≠6ab-a+b.

    所以孿生素數(shù)的素數(shù)函數(shù)是:F(mr)=6mr±1.其中 mr≥1,mr≠6ab-a-b,mr≠6ab+a+b,mr≠ 6ab - a+b,a,b ≥1,mr,a,b ∈ N.

    3.7 費馬素數(shù)的素數(shù)函數(shù)F(k)

    設(shè) n=2k,則 F(k)=2n+1=2n+1+1 - 1=2 × (2n-1+1)- 1.

    因為n=2k,所以n-1是奇數(shù),2n-1+1能被3整除.

    又因為n=2k,所以k≥1,k∈N.

    所以費馬素數(shù)的素數(shù)函數(shù)可以表示為:

    3.8 艾森斯坦素數(shù)的素數(shù)函數(shù)F(n)

    數(shù)學(xué)家艾森斯坦也定義了一種素數(shù):形如n+mω的數(shù)被稱為艾森斯坦整數(shù),而艾森斯坦素數(shù)則是艾森斯坦整數(shù)的一個子集.這類素數(shù)都是除以3余2的素數(shù),除了2不可以用函數(shù)表示外,其余素數(shù)都可以用6n-1來表示.

    因為F(n)=6n-1=-﹝6×(-n)+1﹞ =|6×(-n)+1|,所以艾森斯坦素數(shù),除了2,其余素數(shù)都是簡化素數(shù)函數(shù)V(m)=|6m+1|中變量為負(fù)整數(shù)的一類素數(shù).

    因為 -n≤-1,所以n≥1,又因為 -n≠-6ab+a-b,所以n≠6ab-a+b.所以艾森斯坦素數(shù),除了2,都可以用下列函數(shù)表示:

    3.9 等差素數(shù)的變量是等差數(shù)列

    設(shè)素數(shù) p1,p2,p3是等差數(shù)列,則 p2- p1=p3- p2.

    當(dāng)素數(shù)函數(shù)變量mi≥1時,有 p1=6m1+1,p2=6m2+1,p3=6m3+1.

    因為p2-p1=p3-p2,所以6×(m2-m1)=6×(m3-m2),即m2-m1=m3-m2.

    當(dāng)素數(shù)函數(shù)變量 mi≤-1時,p1=|6m1+1|=-6m1-1,p2=|6m2+1|=-6m2-1,p3=|6m3+1|=-6m3-1.

    因為p2-p1=p3-p2,所以6×(m1-m2)=6×(m2-m3),即m1-m2=m2-m3.

    這說明,當(dāng)幾個素數(shù)是等差素數(shù)時,其素數(shù)函數(shù)的變量是等差數(shù)列.

    3.10 形如q2+2的素數(shù)函數(shù)F(q)

    由于F(q)=q2+2是素數(shù),所以q是奇數(shù).

    當(dāng)q≡1(mod 3)時,q2≡1(mod 3),這時只有q=1時,q2+2是素數(shù)3,其余都是能被3整除的合數(shù);

    當(dāng)q≡2(mod 3)時,q2≡1(mod 3),這時q2+2全是能被3整除的合數(shù);

    當(dāng)q≡0(mod 3)時,q2≡0(mod 3),這時q2+2有素數(shù)也有合數(shù).

    所以形如q2+2的素數(shù),除了q=1外,其它素數(shù)都出現(xiàn)在能被3整除的奇數(shù)q中,即q≡0(mod 3).

    因為 -(q2+3)/6≤-1,所以q2≥3.

    因為q都出現(xiàn)在能被3整除的奇數(shù)中,所以q≤-3×(2n+1),q≥3×(2n+1),n≥0,q,n∈Z.

    因為此函數(shù)的變量都是奇數(shù),所以,我們將它稱作奇變量素數(shù)函數(shù)F(q).

    4 結(jié)語

    (1)素數(shù)除了2是偶數(shù)外,其余素數(shù)都是奇數(shù).奇素數(shù)除了3之外,都分布在能被6整除的偶數(shù)的兩旁,即6k+1或6k-1.素數(shù)可以通過素數(shù)函數(shù)V(m)=|6m+1|和V(u)=|4u+1|進行計算.

    (M,U 是素數(shù)函數(shù)變量集合,a,b≥1,a,b∈ N).

    (2)素數(shù)分類的方法很多,最好的分類方法是以下兩種:

    第一種是用奇數(shù)3進行分類:

    i)3 3≡0(mod 3)

    ii)6m+1 (6m+1)≡1(mod 3)(m是正整數(shù))

    iii)2和6|m|-1 (6|m|-1)≡2(mod 3)(m是負(fù)整數(shù))

    第二種是用偶數(shù)4進行分類:

    i)4u+1 (4u+1)≡1(mod 4)(u是正整數(shù))

    ii)2 2≡2(mod 4)

    iii)4|u|-1 (4|u|-1)≡3(mod 4)(u是負(fù)整數(shù))

    [1]潘承洞,潘承彪.初等數(shù)論[M].第2版.北京:北京大學(xué)出版社,2003.

    [2]閔嗣鶴,嚴(yán)士健.初等數(shù)論[M].第3版.北京:高等教育出版社,2003.

    [3][美]羅森.初等數(shù)論及其應(yīng)用[M].夏鴻剛,譯.北京:機械工業(yè)出版社,2009.

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