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    低矮房屋風(fēng)壓時(shí)程的概率分布

    2013-10-30 08:15:00玲,黃鵬,顧明,全
    關(guān)鍵詞:角下偏度時(shí)程

    陶 玲,黃 鵬,顧 明,全 涌

    (同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200092)

    低矮房屋的風(fēng)荷載與風(fēng)壓有關(guān),且低矮房屋的風(fēng)壓脈動(dòng)性很大,其極值的大小和出現(xiàn)的頻率決定了房屋圍護(hù)結(jié)構(gòu)的抗風(fēng)能力.風(fēng)壓時(shí)程的概率分布是研究極值風(fēng)壓特性的首要條件,也是風(fēng)工程研究者一直關(guān)注的問(wèn)題.早在20世紀(jì)60年代,Davenport[1]就提出脈動(dòng)風(fēng)壓服從正態(tài)(Normal)分布的假設(shè).1980年,Stathopoulos[2]通過(guò)對(duì)一系列低矮房屋的風(fēng)洞試驗(yàn),得出峰值因子小的風(fēng)壓時(shí)程符合正態(tài)分布,峰值因子較大的風(fēng)壓時(shí)程不太符合正態(tài)分布,而是較符合 Weibull分布,但是 Weibull分布的參數(shù)較難確定.到了2002年,Sadek等[3]則通過(guò)概率圖相關(guān)系數(shù)(probability plot correlation coefficient,PPCC)方法[4]對(duì)各種可能的概率分布進(jìn)行了比較,最終篩選出極值I型(Gumbel)分布、正態(tài)分布和Gamma分布,又對(duì)該三種分布進(jìn)行比較,得出概率分布的低端符合正態(tài)分布,而整個(gè)風(fēng)壓時(shí)程則和 Gamma分布很吻合.2007年,Tieleman等[5]再次驗(yàn)證了風(fēng)壓時(shí)程和Gamma分布吻合得很好,且給出了Gamma分布三參數(shù)的矩估計(jì)方法,大大簡(jiǎn)化了Gamma分布參數(shù)的估計(jì)過(guò)程.但是Sadek等[3]和Tieleman等[5]關(guān)于Gamma分布的分析都基于風(fēng)壓時(shí)程偏度都較?。ㄔ?.20以下)的情況,而實(shí)際的時(shí)程偏度有時(shí)會(huì)較大.

    本文對(duì)一低坡度低矮房屋進(jìn)行了剛性模型測(cè)壓試驗(yàn),通過(guò)引進(jìn)廣義極值(GEV)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)(Lognorm)分布和Gamma分布,將偏度從0.20~2.90的時(shí)程用該三種分布進(jìn)行擬合比較,發(fā)現(xiàn)對(duì)于偏度較小的時(shí)程,對(duì)數(shù)正態(tài)分布擬合得最好,偏度較大的時(shí)程,廣義極值分布擬合得最好.最后對(duì)面積平均后的時(shí)程進(jìn)行了概率分布分析.

    1 試驗(yàn)概況

    本次試驗(yàn)是在同濟(jì)大學(xué)TJ-2風(fēng)洞完成的.選取低矮房屋的長(zhǎng)度、寬度和高度分別為21.6m,12.0 m和6.6m,屋面坡度為4.8°,其測(cè)壓試驗(yàn)?zāi)P蜑閯傂阅P停ㄒ?jiàn)圖1),用有機(jī)玻璃板和ABS板制成,具有足夠的剛度和強(qiáng)度,使得在參考高度1m處的試驗(yàn)風(fēng)速達(dá)12m·s-1時(shí)模型不會(huì)發(fā)生變形,也不會(huì)出現(xiàn)明顯的振動(dòng)現(xiàn)象,以保證測(cè)壓試驗(yàn)的精度.模型的幾何縮尺比為1/40,與實(shí)物在外形上保持幾何相似,風(fēng)速比設(shè)為1/3,則相應(yīng)的時(shí)間比為3/40.試驗(yàn)時(shí)將模型放置在轉(zhuǎn)盤(pán)中心,通過(guò)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤(pán)模擬不同風(fēng)向,本次采樣的風(fēng)向角為0°和45°.為了和低矮房屋的環(huán)境相對(duì)應(yīng),試驗(yàn)的大氣邊界層流場(chǎng)模擬為B類(lèi)地貌風(fēng)場(chǎng)[6],風(fēng)場(chǎng)模擬結(jié)果如圖2所示,平均風(fēng)速剖面指數(shù)α=0.16,模型頂部(對(duì)應(yīng)實(shí)際6.6m)紊流度約為24%.試驗(yàn)中掃描閥掃描頻率設(shè)置為312.5Hz,一次采樣57.6s(對(duì)應(yīng)實(shí)際12.6min).整個(gè)屋面布點(diǎn)357個(gè),本文要討論的屋面測(cè)點(diǎn)分成三個(gè)區(qū)域,每個(gè)區(qū)域的5個(gè)測(cè)點(diǎn)及A和B區(qū)域用于面積平均的測(cè)點(diǎn)如圖3所示.

    圖1 測(cè)壓試驗(yàn)中的剛性模型Fig.1 Rigid pressure measurement model

    2 數(shù)據(jù)處理方法

    2.1 風(fēng)壓時(shí)程概率分布

    由于Sadek等[3]已經(jīng)驗(yàn)證了對(duì)于較小偏度的風(fēng)壓時(shí)程概率分布和Gamma分布較接近,因此本文先探討Gamma分布,然后引進(jìn)廣義極值分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布進(jìn)行討論.

    (1)Gamma分布

    基于風(fēng)壓時(shí)程的非正態(tài)性,Sadek等[3]通過(guò)PPCC方法對(duì)多種分布函數(shù)進(jìn)行了測(cè)試,確定了低矮建筑表面不同區(qū)域風(fēng)壓時(shí)程的最優(yōu)概率分布為三參數(shù)Gamma分布,而低端較適合正態(tài)分布.其三參數(shù)Gamma分布函數(shù)為

    式中:μ,a,γ分別為位置參數(shù)、比例參數(shù)及形狀參數(shù),Γ為Gamma函數(shù).x>μ表示分離區(qū)域的吸力必須乘以-1.Tieleman等[5]給出了Gamma分布三參數(shù)的矩估計(jì)為

    式中:X,σ和S分別為風(fēng)壓時(shí)程的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和偏度.這里注意S始終為正值,當(dāng)風(fēng)壓系數(shù)位于吸力區(qū)域,偏度S為負(fù)時(shí),須乘以-1,來(lái)得到正值,當(dāng)偏度S太小時(shí),形狀參數(shù)γ就會(huì)過(guò)大,Γ函數(shù)就會(huì)趨于無(wú)窮大.這種情況下,矩估計(jì)的方法就失效,只有用PPCC方法.而時(shí)程的概率分布也很符合正態(tài)分布,可以用正態(tài)分布去擬合.

    (2)廣義極值分布

    由于Sadek等[3]驗(yàn)證了極值I型分布和風(fēng)壓時(shí)程概率分布擬合得不是很好,但極值I型分布是廣義極值的特殊形式,故而本文嘗試了廣義極值分布,其概率密度函數(shù)為

    式中:γ是形狀參數(shù),μ是位置參數(shù),a是比例參數(shù),可采用以下概率權(quán)重矩方法[7]得到.值得注意的是,當(dāng)γ=0時(shí),該分布即為極值I型分布,當(dāng)γ<0時(shí),該分布為極值II型分布,極值I型分布和極值II型分布均為無(wú)極限分布.當(dāng)γ>0時(shí),該分布為極值III型分布,也是Weibull分布的一種形式,這種分布是有極限的.樣本x的分布函數(shù)F(x)=P(X≤x)的概率權(quán)重矩可表示為

    式中:i,j,k均為實(shí)數(shù),當(dāng)j和k均為0時(shí),上式即為普通的x 的i階原點(diǎn)矩,E 表示數(shù)學(xué)期望.M1,j,k是用來(lái)估計(jì)分布參數(shù)的常用形式,其中又有 M1,0,k和M1,j,0兩種方法.本文采用 M1,j,0的方法,則對(duì)于廣義極值分布,有

    為極值樣本序列,求極大值時(shí),按照從小到大排列.

    (3)對(duì)數(shù)正態(tài)分布

    對(duì)于兩參數(shù)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布,Sadek等[3]經(jīng)過(guò)測(cè)試,發(fā)現(xiàn)其和風(fēng)壓時(shí)程的概率分布吻合得不好,但是陳斌[8]通過(guò)L矩方法估計(jì)參數(shù)證明三參數(shù)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布卻吻合得較好.其概率密度函數(shù)為

    式中:a為比例參數(shù),μ為位置參數(shù),γ在下文的PPCC比較中,按照形狀參數(shù)處理.其參數(shù)可以通過(guò)L矩方法[9]估計(jì).

    式中:M1,0,0,M1,1,0和 M1,2,0為0階、1階和2階概率權(quán)重矩,計(jì)算式同上文;E0=2.04665340,E1=-3.65443710;E2= 1.83967330,E3=-0.20360244,F(xiàn)1= -2.0182173,F(xiàn)2=1.2420401,F(xiàn)3=-0.2174801;Ф(X)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(高斯分布)x≤X的概率.這種方法只有在τ3≤0.93時(shí)才有效.

    2.2 比較方法

    PPCC[3]是用擬合的值和原始時(shí)程之間的相關(guān)性來(lái)估計(jì)分布參數(shù).相關(guān)系數(shù)的定義如下:

    式中:σx和σy分別表示變量x和y的標(biāo)準(zhǔn)差.相關(guān)系數(shù)是用最小二乘法分析兩個(gè)變量之間關(guān)系的緊密程度,取值在0~1之間,當(dāng)它達(dá)到1時(shí),表示兩個(gè)變量之間最緊密,成線性關(guān)系.

    對(duì)于三參數(shù)分布,給定若干個(gè)形狀參數(shù),其中PPCC達(dá)到最大的值即為該分布的最優(yōu)形狀參數(shù),廣義極值分布的形狀參數(shù)選取如圖4所示.當(dāng)選定了形狀參數(shù),位置參數(shù)和比例參數(shù)通過(guò)最小二乘法可以確定.該最大值PPCC也為該分布和原始時(shí)程之間的相關(guān)性衡量指標(biāo).

    圖4 GEV分布的PPCC隨形狀參數(shù)的變化Fig.4 Variation of the PPCC of GEV distribution with the shape parameters

    3 數(shù)據(jù)處理結(jié)果分析

    3.1 測(cè)點(diǎn)的各種分布比較

    屋面在45°風(fēng)向角下的偏度分布如圖5所示,可以看出偏度都是負(fù)值,而偏度的正負(fù)值僅表示偏的方向,下文僅討論它的大小.從圖中可知,在45°風(fēng)向角下,平屋面的屋角出現(xiàn)了錐形渦,錐形渦的兩翼偏度較大,最大達(dá)到3.00以上,而沿著渦軸上的偏度最小,在0.50以下,所以屋面的不同區(qū)域偏度分布差異較大.0°風(fēng)向角下的偏度分布要均勻些,都是小于2.00的,限于篇幅,圖示沒(méi)有給出.考慮到不同風(fēng)向角下可能會(huì)產(chǎn)生的差別,根據(jù)屋面的偏度分布圖選取了45°風(fēng)向角下的屋面較小偏度區(qū)域(A)和較大偏度區(qū)域(C)以及0°風(fēng)向角下的中等偏度區(qū)域(B)(見(jiàn)圖3),對(duì)其時(shí)程的各種概率分布進(jìn)行比較.各區(qū)域PPCC的比較如表1所示.先看A區(qū)域的各測(cè)點(diǎn),其偏度都在0.50以下,這三種分布的PPCC都在0.99000以上,可以說(shuō)吻合得很好,通過(guò)圖6a則可以更清楚地看出,對(duì)數(shù)正態(tài)分布和Gamma分布更好,其PPCC始終是大于0.99700的.再看B區(qū)域的各測(cè)點(diǎn),注意這是在0°風(fēng)向角下,但是其偏度的大小是和45°風(fēng)向角下幾乎相同,為0.50~1.50.對(duì)于該區(qū)域的各點(diǎn),這三種分布的PPCC也均較好.通過(guò)圖6b可知廣義極值分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布略好,這兩種分布的PPCC均都是在0.99800以上的.C區(qū)域的各測(cè)點(diǎn)偏度越來(lái)越大,當(dāng)偏度超過(guò)2.00時(shí),三種分布的PPCC均小于0.99000了.從圖6c也能清楚地看出當(dāng)偏度超過(guò)1.50時(shí),原始時(shí)程的概率分布和三種分布的相關(guān)性均急劇下滑,相比較而言,廣義極值分布占有優(yōu)勢(shì).這樣就不難得出,當(dāng)偏度較小時(shí),對(duì)數(shù)正態(tài)分布擬合得最好.當(dāng)偏度很大時(shí),這三種分布都不能很好地?cái)M合時(shí)程的概率分布,廣義極值分布要好些,且隨著偏度的增大,廣義極值分布的優(yōu)勢(shì)更明顯.為了更清楚地看出這三種分布的優(yōu)劣,圖7給出了各區(qū)域的代表測(cè)點(diǎn)風(fēng)壓時(shí)程各種分布的概率密度比較及原始時(shí)程和擬合值的比較.文中的風(fēng)壓系數(shù)大多是負(fù)值,為了方便比較,全部轉(zhuǎn)為相反數(shù).圖中的結(jié)論和上文的分析是一致的,值得注意的是,從圖7e中可以看出,原始風(fēng)壓時(shí)程的概率密度輪廓參差不齊,這就意味著不可能找到一條完美的曲線和它擬合.

    圖5 屋面的偏度分布圖(45°風(fēng)向角)Fig.5 Skewness distribution over the roof(45°wind direction angle)

    3.2 面積平均后風(fēng)壓時(shí)程的概率分布

    對(duì)于B區(qū)和C區(qū)不同面積的時(shí)程進(jìn)行即時(shí)平均,得到其面積平均后的風(fēng)壓時(shí)程,對(duì)其概率分布也進(jìn)行了比較,如表2所示.從表中可知,B區(qū)面積平均后的時(shí)程偏度變化不是很大,與單個(gè)測(cè)點(diǎn)一樣,和三種分布吻合得均很好.值得一提的是,45°風(fēng)向角下的C區(qū)單個(gè)測(cè)點(diǎn)的時(shí)程大多偏度較大(見(jiàn)表1),而面積平均后時(shí)程的偏度大大減小,為0.70~1.20,不同的測(cè)點(diǎn)數(shù)面積平均后的時(shí)程,和三種分布吻合得均很好,PPCC均在0.99000以上.其中9個(gè)測(cè)點(diǎn)面積平均后的時(shí)程概率密度比較、原始時(shí)程和擬合值的比較及累計(jì)概率比較如圖8所示,從圖中可見(jiàn),這三種分布和面積平均后的時(shí)程概率密度均擬合得較好.

    表1 單個(gè)測(cè)點(diǎn)風(fēng)壓系數(shù)時(shí)程的PPCC比較Tab.1 PPCC comparison of single tap pressure coefficient time series

    表2 面積平均后時(shí)程的PPCC比較Tab.2 PPCC comparison of area-average pressure coefficient time series

    圖8 C區(qū)域45°風(fēng)向角下9個(gè)測(cè)點(diǎn)面積平均后時(shí)程的各種分布概率密度及累計(jì)概率比較(S=0.89)Fig.8 Comparison of probability density and accumulative probability among different distribution of 9taps area-average time series of C region at 45°wind direction angle(S=0.89)

    4 結(jié)論

    (1)對(duì)于斜風(fēng)向下的屋面,偏度分布很不均勻,錐形渦渦軸上的偏度較小,為0.50以下,而兩翼的偏度較大,達(dá)到3.00以上.

    (2)偏度較小的時(shí)程和Gamma分布、廣義極值分布及對(duì)數(shù)正態(tài)分布均吻合得較好,當(dāng)偏度增大到1.50以上時(shí),這三種分布和風(fēng)壓時(shí)程本身的概率分布誤差較大,且隨著偏度的增大,誤差也增大.偏度小于0.80時(shí),對(duì)數(shù)正態(tài)分布擬合得最好.偏度大于0.80時(shí),廣義極值分布擬合得最好.

    (3)面積平均后的時(shí)程偏度都不是很大(小于1.50),與Gamma分布、廣義極值分布及對(duì)數(shù)正態(tài)分布都吻合得較好.

    (4)不同區(qū)域在相同風(fēng)向角下偏度不同,相同區(qū)域在不同風(fēng)向角下偏度也會(huì)不同,而風(fēng)壓時(shí)程的概率分布和偏度緊密相關(guān),故而風(fēng)壓時(shí)程的概率分布是不能以區(qū)域劃分的.

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