具有循環(huán)群和二面體群對稱性的藝術(shù)圖案自動生成

占小根，陳鋼金

具有循環(huán)群和二面體群對稱性的藝術(shù)圖案自動生成

*占小根1，陳鋼金2

(1.井岡山大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江西，吉安 343009；2.安遠中等職業(yè)技術(shù)學(xué)校，江西，贛州 342100)

結(jié)合對稱群、動力系統(tǒng)和等變映射理論，構(gòu)造具有旋轉(zhuǎn)循環(huán)群和二面體群對稱性的等變性映射，給出生成具有旋轉(zhuǎn)對稱性藝術(shù)圖案的自動化方法，該方法可生成大量美觀的藝術(shù)圖案。

二等變映射；動力系統(tǒng)；循環(huán)群；二面體群

藝術(shù)圖案可視化(Visualization of Aesthetic Pattern，VAP)研究的是運用數(shù)學(xué)原理和計算機技術(shù)來生成美觀的藝術(shù)圖案[1-3]，它是隨計算機技術(shù)發(fā)展而興起的一個新興課題。VAP圖案經(jīng)仿真后可制成精美的工藝品，被廣泛地應(yīng)用在瓷磚、地毯、印刷等裝飾行業(yè)，因而VAP研究具有可觀的經(jīng)濟價值和廣闊的應(yīng)用前景。

具有群對稱性的幾何空間是VAP研究的重要方法[4-5]，基于動力系統(tǒng)、分形、混沌、迭代函數(shù)系統(tǒng)(IFS)等理論，大量文獻研究了各類VAP方法[6-9]。等變映射是VAP的重要途徑，它和不變映射構(gòu)成了生成VAP圖案的基本方法。文獻[10]基于Field等的方法[2]，用不變映射的方法研究了具有循環(huán)群和二面體群對稱性的藝術(shù)圖案生成方法。但由于構(gòu)造的映射需滿足比較苛刻的條件，不利于實現(xiàn)VAP。利用群的封閉性，本文提出一種普適性方法，任何的映射都可用來構(gòu)造循環(huán)群和二面體群的等變映射，它可以快速有效地生成美觀的藝術(shù)圖案。

1 基本概念和定理

步驟(4)：對區(qū)域中的每個點按步驟(1)~ (3)處理，最終完成區(qū)域的VAP圖案繪制。

3 VAP圖案的參數(shù)設(shè)置

4 小結(jié)

基于動力系統(tǒng)、群論和等變映射原理，本文給出一種簡便的、可快速生成具有循環(huán)群和二面體群對稱性藝術(shù)圖案的自動化方法，并給出一組良好的參數(shù)設(shè)置策略。該方法可以生成豐富的、具有旋轉(zhuǎn)對稱性的藝術(shù)圖案，可廣泛應(yīng)用于裝飾和設(shè)計領(lǐng)域。

圖1 具有D3對稱性的VAP圖案

圖2 具有C4對稱性的VAP圖案

圖3 具有D5對稱性的VAP圖案

Fig.4 A VAP pattern with D5 symmetry

[1] Peitgen H O, Jürgens H, Saupe D. Chaos and fractals: New Frontiers of Science [M]. New York: Springer- Verlag, 1992.

[2] Field M J, Golubitsky M. Symmetry in chaos [M]. New York: Oxford University Press, 1992.

[3] 孫博文. 電腦分形藝術(shù)[M]. 哈爾濱:黑龍江美術(shù)出版社, 1999.

[4] Armstrong V E, Groups and Symmetry [M]. New York: Springer-Verlag, 1987.

[5] Peter S S. Handbook of Regular Patterns [M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1980.

[6] Jones K C, Reiter C A. Chaotic attractors with cyclic symmetry revisited [J]. Computer & Graphics, 2000, 24:271-282.

[7] Carter N C, Eagles R L, Grimes S M. et al. Chaotic attractors with discrete planar symmetries [J]. Chaos, Solitons & Fractals, 1998,9:2031-2054.

[8] Chen N, Sun J S, Ming T. Visualizing the complex dynamics of families of polynomials with symmetric critical points [J]. Chaos, Solitons & Fractals, 2009, 42:1611-1622.

[9] Reiter C A, Dumont J P, Heiss F J,et al. N-dimensional chaotic attractors with crystallographic symmetry [J]. Chaos, Solitons & Fractals, 2001,12:761-784.

[10] 魯堅,吳海燕,涂廣毅. 動力系統(tǒng)生成循環(huán)群和二面體群演化對稱性圖像[J].計算機與現(xiàn)代化, 2012, 1(6): 61-63.

[11] Field M J. Dynamics and Symmetry [M]. Imperial College Press, 2007.

AUTOMATIC GENERATION OF AESTHETIC PATTERNS WITH THE SYMMETRY OF CYCLIC AND DIHEDRAL GROUP

*ZHAN Xiao-gen1，CHEN Gang-jin2

(1. School of Mathematics and Physics, Jinggangshan University, Ji’an, Jiangxi 343009, China;2. Secondary Vocational and Technical Schools of Anyuan, Ganzhou, Jiangxi 342100, China)

Combining with symmetry group, dynamical system and equivariant mapping theories, equivariant mappings with the symmetry of cyclic and dihedral groups are constructed to generate aesthetic patterns automatically. This method can be employed to yield fruitful artistic patterns.

equivariant function; dynamical system; cyclic group; dihedral group

O19；O 123.5

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2013.04.003

1674-8085(2013)04-0012-03

2013-04-17；

2013-05-02

*占小根(1980-)，男，江西上饒人，助教，碩士，主要從事數(shù)字圖象研究(E-mail:63088664@qq.com);

陳鋼金(1980-)，男，江西贛州人，主要從事計算機圖形學(xué)研究(E-mail:474256297@qq.com).