3-RPS并聯(lián)機(jī)器人剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)分析

丁九華，莫 曄

（沈陽大學(xué)a.機(jī)械工程學(xué)院，b.信息工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110044）

并聯(lián)機(jī)器人以多閉環(huán)機(jī)構(gòu)為主體結(jié)構(gòu)，具有結(jié)構(gòu)剛度大、穩(wěn)定性好和承載能力強(qiáng)等顯著特點(diǎn)，并且其末端的運(yùn)動(dòng)誤差不是所有關(guān)節(jié)的誤差累積，從而提高了運(yùn)動(dòng)精度.除此之外，它還易于實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的冗余驅(qū)動(dòng)等.正因?yàn)槿绱耍⒙?lián)機(jī)器人在高精度、高速度、重載等工作領(lǐng)域有較高的應(yīng)用價(jià)值.

并聯(lián)機(jī)器人的應(yīng)用研究領(lǐng)域主要包括裝配生產(chǎn)線、并聯(lián)機(jī)器人機(jī)床、飛行模擬器、空間飛行器對(duì)接機(jī)構(gòu)及其地面試驗(yàn)設(shè)備、衛(wèi)星天線換向裝置、海軍艦艇觀測臺(tái)、天文望遠(yuǎn)鏡跟蹤定位系統(tǒng)以及動(dòng)感娛樂平臺(tái)等.其中，對(duì)并聯(lián)機(jī)器人機(jī)床的研究一直以來是研究重點(diǎn).

然而，隨著機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展，尤其是向高速高精度應(yīng)用領(lǐng)域的拓展，對(duì)并聯(lián)機(jī)器人的速度和加速度的要求不斷提高，要求并聯(lián)機(jī)器人更加精密化和輕型化.而并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)的輕型化導(dǎo)致構(gòu)件的柔性加大，結(jié)構(gòu)固有頻率下降；高速化導(dǎo)致慣性力；激振頻率升高導(dǎo)致系統(tǒng)容易產(chǎn)生較大的彈性振動(dòng)和運(yùn)動(dòng)誤差.因此，并聯(lián)機(jī)器人連桿的結(jié)構(gòu)柔性是影響高速高精度機(jī)器人動(dòng)態(tài)性能的主要因素.

由于柔性并聯(lián)機(jī)器人是一個(gè)多閉環(huán)、多柔體與剛體混合的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，其建模方法遠(yuǎn)比剛性并聯(lián)機(jī)器人和柔性串聯(lián)機(jī)器人復(fù)雜［1］.目前，這方面的研究在國際上尚處于起步階段，相應(yīng)的理論和實(shí)驗(yàn)研究還很不成熟.而在傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法中，多將機(jī)械系統(tǒng)中的構(gòu)件考慮成剛體，在構(gòu)件運(yùn)動(dòng)的過程中沒有考慮結(jié)構(gòu)的彈性變形.因此不能反映出構(gòu)件剛體運(yùn)動(dòng)與彈性變形之間的耦合關(guān)系，也就不能反映出構(gòu)件真實(shí)的力學(xué)性能.而多柔體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究了剛體運(yùn)動(dòng)與物體變形的相互作用或耦合，以及這種耦合所導(dǎo)致的獨(dú)特的動(dòng)力學(xué)效應(yīng)［2］.應(yīng)用多柔體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的建模理論和分析方法，可以實(shí)現(xiàn)精確建模、虛擬設(shè)計(jì)、性能優(yōu)化、系統(tǒng)匹配、整機(jī)性能預(yù)測等.

高速運(yùn)動(dòng)的3-RPS型并聯(lián)機(jī)器人大多是在循環(huán)變化的載荷下工作的，而載荷的循環(huán)變化會(huì)導(dǎo)致機(jī)械手爪末端運(yùn)動(dòng)的周期波動(dòng)，這種現(xiàn)象的產(chǎn)生會(huì)對(duì)機(jī)器人的工作性能和操作精度產(chǎn)生惡劣的影響.有時(shí)可能會(huì)發(fā)生一系列低階諧振或共振現(xiàn)象，構(gòu)件承受的動(dòng)應(yīng)力值較高并呈現(xiàn)劇烈的往復(fù)振蕩變化，從而容易導(dǎo)致構(gòu)件的疲勞破壞［3］.若構(gòu)件的最大動(dòng)應(yīng)力超過材料的許用應(yīng)力，則會(huì)造成構(gòu)件的失效破壞.因此，研究柔性并聯(lián)機(jī)器人構(gòu)件的動(dòng)應(yīng)力是非常必要的，分析構(gòu)件的動(dòng)應(yīng)力也是了解柔性并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)的失效形式和疲勞壽命的基礎(chǔ)，對(duì)柔性并聯(lián)機(jī)器人的機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)和控制策略的制訂等都具有重要的意義.

本文主要利用ANSYS軟件生成了3-RPS型并聯(lián)機(jī)器人各條支鏈的上下連桿包含柔性體質(zhì)量、質(zhì)心、慣量、頻率及振型等信息的模態(tài)中性文件（.mnf文件），借助于多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)軟件ADAMS，將上下連桿的剛性體用柔性體來替換并進(jìn)行仿真分析，進(jìn)而得到了機(jī)械手末端的位移變化和各柔性連桿的應(yīng)力變化結(jié)果.通過與機(jī)器人的全剛體系統(tǒng)模型進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)此種方法所建立的剛?cè)狁詈隙囿w系統(tǒng)能夠更加準(zhǔn)確地模擬3-RPS機(jī)器人在帶載運(yùn)動(dòng)過程中的動(dòng)力學(xué)特性.能夠精確地考慮由機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過程中各連桿的慣性和彈性形變而導(dǎo)致加工軌跡的誤差，并獲得各支桿的受力狀態(tài).該種方法直觀而有效，為3-RPS并聯(lián)機(jī)器人的綜合性能評(píng)估和后續(xù)的結(jié)構(gòu)力學(xué)優(yōu)化奠定了良好的基礎(chǔ).

1 柔性體計(jì)算模型的建立

多體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模，可以應(yīng)用各種力學(xué)原理來實(shí)現(xiàn)，包括能量守恒定律、牛頓-歐拉方程、拉格朗日方程、哈米爾頓原理、凱恩方程等.其中，拉格朗日方程是基于能量的觀點(diǎn)來建立的，優(yōu)點(diǎn)是便于程序化，對(duì)正逆動(dòng)力學(xué)問題都容易建立模型，并且可以實(shí)現(xiàn)遞推形式的建模，還可以方便地加入控制反饋.采用拉格朗日方程建模的方法較為成熟，許多多體系統(tǒng)分析軟件采用的就是拉格朗日方程建模方法［4］.

1.1 柔性體的廣義坐標(biāo)

為了計(jì)算構(gòu)件彈性變形對(duì)其大范圍運(yùn)動(dòng)的影響，人們提出用混合坐標(biāo)來描述柔性體位形.首先，對(duì)柔性構(gòu)件建立浮動(dòng)坐標(biāo)系，將構(gòu)件的位形認(rèn)為是浮動(dòng)坐標(biāo)系的大范圍運(yùn)動(dòng)與相對(duì)于該坐標(biāo)系的變形的疊加.提出了用大范圍浮動(dòng)系的剛體坐標(biāo)與柔性體的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)（或模態(tài)坐標(biāo)）建立動(dòng)力學(xué)模型.在具體的建模過程中，先將構(gòu)件的浮動(dòng)坐標(biāo)系固化，彈性變形按某種理想邊界條件下的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)有限元進(jìn)行離散，然后仿照多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的方法建立離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型.

柔性體可看作有限元模型節(jié)點(diǎn)的集合，其變形可視為模態(tài)振型的線性疊加，如圖1所示.圖1中，點(diǎn)P為柔性體上一節(jié)點(diǎn)，P′為柔性體在運(yùn)動(dòng)過程中發(fā)生變形后的位置，B為柔性體坐標(biāo)系，G為基坐標(biāo)系.

物體坐標(biāo)系B在基坐標(biāo)系G中的位置為x＝（x，y，z），而方向用歐拉角表示為ψ＝（φ，θ，ψ），模態(tài)坐標(biāo)q＝｛q1，q2，...，qM｝T（M 為模態(tài)坐標(biāo)數(shù)），則柔性體的廣義坐標(biāo)為

式中，i＝1，2，…，M.

圖1 柔性體上節(jié)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)示意圖Fig.1 Moving schematic of flexible-body on node P

1.2 柔性體的運(yùn)動(dòng)微分方程

柔性體上節(jié)點(diǎn)P的位置向量可表示為

式中，波浪符號(hào)表示位置矢量為非對(duì)稱矩陣；矩陣B定義為將歐拉角對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)變?yōu)榻撬俣鹊霓D(zhuǎn)換矩陣.從而可以得到動(dòng)能和勢能的表達(dá)式為

運(yùn)用拉格朗日乘子法建立柔性體的運(yùn)動(dòng)微分方程：

式中，K為模態(tài)剛度矩陣；D為模態(tài)阻尼矩陣；fg代表廣義重力；Q為廣義外力；λ為約束方程的拉格朗日乘子和為柔性體的廣義坐標(biāo)及其時(shí)間導(dǎo)數(shù)；M 和為柔性體的質(zhì)量矩陣及其對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為質(zhì)量矩陣對(duì)柔性體廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)，它是一個(gè)（M＋6）×（M＋6）×（M＋6）維張量，M 為 模態(tài)的維數(shù).

2 并聯(lián)機(jī)器人剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型的建立

本文所研究的3-RPS并聯(lián)機(jī)器人的三維模型如圖2所示.它由一個(gè)動(dòng)平臺(tái)S1-S2-S3、三條支鏈Ri-Pi-Si（i＝1，2，3）和一個(gè)靜平臺(tái)R1-R2-R3組成.其中，動(dòng)平臺(tái)通過球面副（S副）與各支鏈的上連桿相連接，靜平臺(tái)通過轉(zhuǎn)動(dòng)副（R副）與各支鏈的下連桿相連接，各支鏈上下連桿之間通過移動(dòng)副（P副）連接在一起.通過驅(qū)動(dòng)三根上連桿，使它們改變與下連桿的接觸長度，從而改變動(dòng)平臺(tái)在空間的位姿.該并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)平臺(tái)可以實(shí)現(xiàn)空間兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度和一個(gè)移動(dòng)自由度共3個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng).

圖2 3-RPS并聯(lián)機(jī)器人三維模型Fig.2 Three dimentional model of 3-RPS parallel robot

在有限元分析軟件ANSYS中，對(duì)機(jī)器人的各條支鏈連桿進(jìn)行柔性化.指定材料屬性，選擇單元類型、單元屬性、網(wǎng)格參數(shù)進(jìn)行網(wǎng)格劃分.根據(jù)各條支鏈連桿在ADAMS環(huán)境中與其他部件的約束關(guān)系，分別定義了外聯(lián)點(diǎn)，外聯(lián)點(diǎn)可以使柔性體在此處與模型中的其他構(gòu)件建立起正確的連接關(guān)系［5］.利用ANSYS軟件生成柔性體的剛?cè)狁詈戏抡媪鞒倘鐖D3所示.

圖3 剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)仿真流程Fig.3 Simulation procedure of rigid-flexible system

外聯(lián)點(diǎn)定義好后，需要編制ANSYS循環(huán)命令，利用beam 4單元，將承載區(qū)域進(jìn)行剛化，然后利用ADAMS與ANSYS的接口就可以生成模態(tài)中性文件（.mnf文件）.在ADAMS／View中讀入ANSYS中生成的模態(tài)中性文件，將多剛體動(dòng)力學(xué)模型中的上下連桿替換為柔性體，即生成了3-RPS并聯(lián)機(jī)器人的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型［6］.

3 并聯(lián)機(jī)器人剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)仿真分析

3.1 手爪末端測點(diǎn)的位移變化

本文選取并聯(lián)機(jī)器人的螺紋加工工況為例，對(duì)其整機(jī)的作業(yè)過程進(jìn)行完整的動(dòng)力學(xué)分析.由于并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解求解簡單，正解求解復(fù)雜，因此這里采用了在機(jī)器人手爪末端施加點(diǎn)驅(qū)動(dòng)的方式來迫使其進(jìn)行螺旋運(yùn)動(dòng)［7］.在此基礎(chǔ)上，測出各條支鏈上下連桿之間相對(duì)位移變化曲線.而這些測得的曲線恰好是該并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行螺旋運(yùn)動(dòng)所需的各個(gè)移動(dòng)副的輸入條件.接下來，通過把所測得的曲線轉(zhuǎn)換成樣條曲線的方式，將其作為各條支鏈上移動(dòng)副的驅(qū)動(dòng)，就實(shí)現(xiàn)了該并聯(lián)機(jī)器人的正解過程.

并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型的建立還需要對(duì)其本體施加符合實(shí)際工況的負(fù)載.而其在進(jìn)行螺紋加工的過程中所承受的載荷主要是與機(jī)械手速度切線方向相反的作用力，大小為3 000N.這里利用ADAMS的函數(shù)工具在機(jī)器人的手爪末端點(diǎn)施加如式（7）～式（9）所示的三個(gè)方向的作用力.其中，MARKER＿P為機(jī)器人手爪的末端測點(diǎn)，MARKER＿G為位于靜平臺(tái)圓心位置的接地點(diǎn).通過將機(jī)器人手爪末端測點(diǎn)的速度進(jìn)行分解進(jìn)而可以得到在全局坐標(biāo)系下機(jī)器人工作過程中所受到的作用力.

機(jī)器人在帶載工作過程中由于載荷的作用會(huì)使各條支鏈上的連桿產(chǎn)生變形，變形量的大小對(duì)于并聯(lián)機(jī)器人的加工精度有著決定性的影響［8］.通過對(duì)全剛性體模型和剛?cè)狁詈夏Ｐ瓦M(jìn)行仿真分析，可以得到點(diǎn)焊機(jī)器人兩種模型在豎直方向上末端測點(diǎn)的位移曲線及其變形量，如圖4所示.

圖4 末端測點(diǎn)在豎直方向上的位移及其誤差Fig.4 Displacement and error of measuring point along the vertical direction

從圖4a可以看出，在相同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和載荷工況作用下，兩種模型的仿真曲線存在著一定的誤差.該誤差正是各支鏈上的柔性連桿所導(dǎo)致的末端測點(diǎn)位移的變化量.并且對(duì)應(yīng)于不同的時(shí)刻，變化量的大小有正負(fù)之分.圖4b是機(jī)器人末端測點(diǎn)在兩種模型仿真下的誤差曲線.結(jié)合圖4可以得到如下結(jié)果：

（1）從位移變化曲線可以發(fā)現(xiàn)，考慮了柔性體的剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)所測得的末端手爪的位移曲線與多剛體系統(tǒng)相比波動(dòng)現(xiàn)象明顯，但總體趨勢仍能保持在多剛體系統(tǒng)所測得的位移曲線附近；

（2）從誤差變化曲線可以看出，在機(jī)器人的起始運(yùn)行階段振動(dòng)相對(duì)劇烈，隨著運(yùn)動(dòng)趨于平穩(wěn)，手爪末端在豎直方向上的位移誤差呈現(xiàn)周期變化，周期約為4.2s；

（3）在機(jī)器人的整個(gè)工作過程中，柔性連桿所導(dǎo)致的手爪末端在豎直方向上的最大位移誤差約為0.2mm，并在零線附近上下振蕩.

表1分別給出了三種不同時(shí)刻末端測點(diǎn)的坐標(biāo)值及其在豎直方向上的誤差值.

表1 三種不同時(shí)刻末端測點(diǎn)在豎直方向上的坐標(biāo)和誤差Table 1 Coordinate and error of measuring point along the vertical direction under three different times

3.2 各支鏈上下連桿的應(yīng)力

用各支鏈的柔性體連桿模型進(jìn)行并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)仿真，得到機(jī)器人各連桿在整個(gè)工作過程中的最大應(yīng)力.機(jī)器人相應(yīng)的時(shí)刻及其最大應(yīng)力點(diǎn)的變化曲線如圖5所示.

從圖5a可以看出，最大應(yīng)力值發(fā)生在各條支鏈下連桿的根部，此時(shí)對(duì)應(yīng)于1.8s時(shí)機(jī)器人的構(gòu)型，最大Von Mises應(yīng)力約為202.64MPa，小于連桿材料碳鋼的屈服極限282MPa，可知下連桿是安全的.圖5b是下連桿根部受力最大位置1 732號(hào)節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力變化曲線.從圖中可以看出，在并聯(lián)機(jī)器人的整個(gè)作業(yè)過程中，該節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力波動(dòng)范圍在70～200MPa之間，平均應(yīng)力值在135MPa左右.

圖5 機(jī)器人連桿的應(yīng)力分布及變化曲線Fig.5 Stress distribution and variation curve of connecting rods

通過仿真發(fā)現(xiàn)，目前的設(shè)計(jì)強(qiáng)度是足夠的，但同時(shí)應(yīng)當(dāng)注意的是，通過觀察動(dòng)力學(xué)仿真過程，發(fā)現(xiàn)隨著并聯(lián)機(jī)器人位姿的變化，下連桿的受力方向相應(yīng)地發(fā)生改變，但最大應(yīng)力位置仍發(fā)生在各條支鏈下連桿的根部.由于下連桿所承受的動(dòng)應(yīng)力值較高并呈現(xiàn)劇烈的往復(fù)振蕩變化，這會(huì)致使該位置的應(yīng)力能不斷積累，久而久之就會(huì)導(dǎo)致連桿結(jié)構(gòu)的疲勞破壞.因此，需要對(duì)下連桿根部進(jìn)行進(jìn)一步的疲勞試驗(yàn)和分析，來校核是否有必要對(duì)其進(jìn)行結(jié)構(gòu)改進(jìn)來改善由這種脈動(dòng)循環(huán)載荷所導(dǎo)致的零件疲勞失效.

4 結(jié) 語

本文將工程仿真中常用的兩個(gè)軟件ADAMS和ANSYS相結(jié)合，運(yùn)用聯(lián)合仿真的方法對(duì)3-RPS并聯(lián)機(jī)器人的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了系統(tǒng)建模和仿真分析.結(jié)合兩個(gè)軟件的優(yōu)勢，克服了它們單獨(dú)使用時(shí)的局限性，從而大大提高了分析效率和仿真精度.得到的結(jié)論如下.

（1）通過剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)仿真，得到了3-RPS并聯(lián)機(jī)器人手爪末端測點(diǎn)在豎直方向上的位移曲線和誤差變化曲線.其中，位移誤差呈現(xiàn)周期變化，周期為4.2s，最大誤差值為0.2mm.

（2）得到了機(jī)器人下連桿在整個(gè)工作過程中發(fā)生最大應(yīng)力的位置以及最大應(yīng)力點(diǎn)的變化曲線，結(jié)果表明，最大Von Mises應(yīng)力發(fā)生于連桿根部，值約為202.64MPa，小于材料的屈服強(qiáng)度282MPa.但是應(yīng)力的往復(fù)振蕩變化會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的疲勞失效.

（3）利用剛?cè)狁詈系姆椒▽?duì)多體系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，提高了對(duì)于在動(dòng)載作用下零件動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析的準(zhǔn)確性，能夠更加直觀、準(zhǔn)確地模擬并聯(lián)機(jī)器人的實(shí)際工作情況.

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