全國碩士研究生入學考試數學試卷客觀題及其解法分析

余勝春 (武漢科技大學理學院，湖北 武漢 430081)

全國碩士研究生入學考試數學試卷客觀題及其解法分析

余勝春 (武漢科技大學理學院，湖北 武漢 430081)

全國碩士研究生入學考試數學試卷客觀題所占的比例逐年增大。對全國碩士研究生入學考試數學試卷客觀題的常見形式和解法進行了分類總結，并指出其解題關鍵，給出了相應的范例。

數學；客觀題；解法

1 數學客觀題的分類

數學客觀題從題型上可分為填空題和選擇題2種。有些考試中還有一類“是非”判斷題，事實上，它是一種只提供2個備選項的選擇題。填空題是一類在某個正確、或可以通過補充使其正確的命題中空出一個關鍵性或結論性的空缺，讓其填充完整的題型；選擇題是一類已知一定的條件，并給出若干個(現(xiàn)在一般為4個)備選項，讓其選擇其正確選項的題型。選擇題它又可分為單項選擇題和多項選擇題，一般情形下，若無特別說明時為單項選擇題，即在所給的備選項中有且僅有一個正確選項。

數學客觀題從題義上可分為定性、定量及混合型3類：定性題要求從命題的條件出發(fā)，通過相關的定義、定理、性質及概念之間的內在聯(lián)系來確定所研究的對象是否具有某種性質、關系或結論，其偏重于概念的辨析及其相互關系、定理性質的推論以及對某些結論的歸納、猜測(此時無需論證)；定量題則要求從命題所給的條件出發(fā)，運用與其相關的結論(或公式、定理、法則)通過推理、計算來確定某些數學元素的數量關系，其偏重于基本的計算技能和比較簡單的推演；混合型客觀題則要求具有一定的綜合運用各方面知識的能力。

2 數學客觀題解法及其舉例

客觀題主要考查對基本概念的掌握程度、解題能力、運算技巧和熟練程度，一般可采用概念觀察法、推演歸納法、猜測驗證法、推理計算法、特例賦值法、圖像分析法、反例排除法等方法來求解。

1)概念觀察法 當客觀題題目內容涉及基本概念時，可考慮使用概念觀察法。

A、奇函數 B、偶函數 C、周期函數 D、單調函數

解填m。該題考查函數的奇偶性、可導性及其之間的關系，可用概念觀察法。由于f(-x)=-f(x)，即f(x)為奇函數，且f′(-x0)=m≠0，即f(x)在x=-x0處可導，由奇函數的對稱性可知f(x)在其對稱點x=x0可導，且奇函數的導函數一定為偶函數，故f′(x)=f′(-x0)=m。

2)推演歸納法 當客觀題的命題結論涉及自然數時，可試用推演歸納法求解。

例3設f(x)具有任意階導數，且f′(x)=[f(x)]2，則f(n)(x)=( )。

A、nfn+1(x) B、n!fn+1(x) C、(n+1)fn+1(x) D、(n+1)!fn+1(x)

解選B。因為f′(x)=[f(x)]2，則f″(x)=2f(x)f′(x)=2![f(x)]3，f?(x)=3·2f2(x)f′(x)=3![f(x)]4，………，f(n)(x)=n!fn+1(x)。

3)猜測驗證法 對于一些單項選擇題的結論可以逐一代入驗證時，可以事先依據題設條件提出猜測結論，再進行驗證，可以達到事半功倍的效果。

A、0 B、1 C、2 D、-1

4)推理計算法 這是針對一類要求直接得到計算結果的客觀題的解題方法，無論它是填空題還是單項選擇題。

則：

5)特例賦值法 在客觀題的命題條件中涉及到抽象函數或較為復雜的函數的計算，但無法計算或計算十分困難時，可試用特例賦值法。

A、M=NB、M≥NC、M≤ND、M-1=N

6)圖形分析法 當客觀題的命題條件中涉及到某些概念的幾何意義或幾何特性時，由于幾何圖形所具有的直觀性，更容易直觀揭示其內在規(guī)律和聯(lián)系。

解填Δy0時，故有Δy

例10曲線f(x)=x(x-1)(2-x)與X軸所圍成的圖形的面積可表示為( )。

圖1 例9圖形 圖2 例10圖形

解選A。該題考查定積分的幾何意義。y=x(x-1)(2-x)與X軸所圍成的圖形見圖2陰影部分所示，由于在區(qū)間(0,1)內f(x)<0，在區(qū)間(1,2)內f(x)>0，由定積分的幾何意義知正確選項為A。

7)反例排除法 反例排除法僅適用單項選擇題，因為單項選擇題所給的選項中有且有一個選項是正確答案。故當很難在所給的選項中直接選定正確的答案時，可通過舉反例或確定除某個選項以外的所有選項均出現(xiàn)錯誤時，則可以確定錯誤選項以外的選項為正確選項。

A、條件收斂 B、絕對收斂 C、不可能發(fā)散 D、有可能發(fā)散

例12下列各式中不等于零的是( )。

3 結 語

數學題的解法，法無定法，客觀題也是如此。有些題目常常需要多種方法的綜合運用才能奏效。只有多實踐、多總結，才能做到得心應手。

[1]尹水仿，余勝春.高等數學學習指導[M].北京：科學出版社，2010.

[2] 余勝春，張平芳.高等數學[M].北京：科學出版社，2012.

[3] 蔡子華.數學客觀題解[M].北京，科學出版社，2002.

2012-11-25

國家自然科學基金項目(61104127)。

余勝春(1963-)，男，副教授，現(xiàn)主要從事數學方面的教學與研究工作。

N4

A

1673-1409(2013)04-0106-03

[編輯] 洪云飛