高等數(shù)學(xué)背景下的高考命題探究
——2012年全國數(shù)學(xué)高考理科卷第22題

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(嘉定區(qū)第一中學(xué) 上海 201808)

高等數(shù)學(xué)背景下的高考命題探究
——2012年全國數(shù)學(xué)高考理科卷第22題

●楊思源

(嘉定區(qū)第一中學(xué) 上海 201808)

題目設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2x-3，定義數(shù)列{xn}如下：x1=2,xn+1是過點(diǎn)P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直線PQn與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(1)證明：2≤xn

(2)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式.

評(píng)析本題考查運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法論證遞推數(shù)列{xn}的單調(diào)性，并求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式；考查考生的推理論證能力和利用遞推關(guān)系式與待定系數(shù)法探求數(shù)學(xué)通項(xiàng)公式的能力.本題背景深刻，立意高遠(yuǎn)，它是高等數(shù)學(xué)背景下的一道居高臨下、深入淺出的高考試題.它的背景源于高等數(shù)學(xué)中用插值法求方程近似解，其原理如下：

假定實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f(x)=0在區(qū)間[a,b]有唯一的根ξ，且f′(x)=0和f″(x)=0在[a,b]內(nèi)無根，即各自保持符號(hào)不變.聯(lián)結(jié)曲線y=f(x)的2個(gè)點(diǎn)A(a,f(a))與B(b,f(b)),設(shè)弦AB與x軸交點(diǎn)為b1(其坐標(biāo)也可記為b1，下同)，b1作為根ξ的一次近似值.為了求出更接近的近似值，需分2種情況進(jìn)行討論.

(1)f(b1)與f(b)異號(hào)，如圖1所示.

聯(lián)結(jié)弦B1B，交x軸于b2，b2為ξ的二次近似值，依次進(jìn)行下去，可得ξ的一系列近似值.這時(shí)，取a作為0次近似值.

圖1 圖2

(2)f(b1)與f(a)異號(hào)，如圖2所示.

聯(lián)結(jié)弦AB1，交x軸于b2，b2為ξ的二次近似值，同情況(1)，依次可得ξ的一系列近似值.不過，這時(shí)應(yīng)取b作為ξ的0次近似值.

那么，從f(x)及f″(x)的符號(hào)上如何區(qū)分這2種情況呢？

容易看出，在情況(1)中，a在曲線y=f(x)凹面的一側(cè)，此時(shí)f(a)與f″(x)異號(hào)；而情況(2)是b在曲線凹面的一側(cè)，此時(shí)f(b)與f″(x)異號(hào).無論哪種情況，都是取f(x)的函數(shù)值與f″(x)異號(hào)的那個(gè)端點(diǎn)作為0次近似值.下面找出遞推規(guī)律.

(1)當(dāng)f(a)與f″(x)異號(hào)時(shí)，直線AB的兩點(diǎn)式方程為

令y=0，可得弦AB與x軸交點(diǎn)b1的坐標(biāo)

同理

…

一般地，有

(2)當(dāng)f(b)與f″(x)異號(hào)時(shí)，類似地可求得

…

一般地，有

在上述2種情況下，序列a(或b)，b1,b2,…,都是從曲線的凹面單調(diào)地收斂于根ξ.

圖3

在這個(gè)原理的背景下，命題者選擇了簡單的函數(shù)f(x)=x2-2x-3，其零點(diǎn)為-1和3.如圖3,函數(shù)f(x)=x2-2x-3在區(qū)間[2,4]上連續(xù)，f′(x)=2x-2>0，f″(x)=2>0,且f(2)=-3<0,f(4)=5>0.

此題滿足原理中的第1種情況，即

f(2)=-3<0,f″(x)>0.

若取x1=2，則第n+1次根的近似值滿足遞推關(guān)系

即

由原理知，滿足此種情況的數(shù)列{xn}：2≤xn

這樣第(1)小題便解決了.

當(dāng)然，此題也可用初等數(shù)學(xué)的方法作如下解答：

過點(diǎn)Q1(2,f(2))和點(diǎn)P(4，5)作一直線PQ1:

由2≤x1

由2≤x1

依次類推可得

式(3)與式(4)相除，得

故數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式為

利用函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)求分式線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式，也是借助于高等數(shù)學(xué)中的線性微分方程的特征根法而得到的一種方法，其原理說明如下：

解引入待定參數(shù)λ，使

當(dāng)a1=λ時(shí)，an=λ(n∈N*)；

當(dāng)a1≠λ時(shí)，an≠λ(n∈N*),此時(shí)可求出

(由αγ≠β可知λ≠α).

當(dāng)(γ-α)2+4β≠0時(shí)，有

從而

由此可求出an.

仍成立，因此

不難看出，本題的產(chǎn)生源于方程近似解的線性插值法和利用函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.本題以高等數(shù)學(xué)的知識(shí)為背景，居高臨下，深入淺出進(jìn)行高考命題，讓考生運(yùn)用初等數(shù)學(xué)的思維方法來解決，不僅有利于揭示初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，更有利于考生進(jìn)入高校進(jìn)一步的學(xué)習(xí)與深造，也有利于教師的專業(yè)知識(shí)的可持續(xù)發(fā)展.

[1] 李師正.多項(xiàng)式代數(shù)[M].濟(jì)南：山東教育出版社，1983：265-267.