環(huán)面鏈環(huán)的多項(xiàng)式

陶志雄

(浙江科技學(xué)院 理學(xué)院，杭州 310023)

環(huán)面鏈環(huán)的多項(xiàng)式

陶志雄

(浙江科技學(xué)院 理學(xué)院，杭州 310023)

紐結(jié)或者鏈環(huán)多項(xiàng)式的計(jì)算通常牽涉遞歸問題。研究利用二次方程的韋達(dá)定理來解決這些遞歸問題，從而得到環(huán)面鏈環(huán)T(2,m)的Conway多項(xiàng)式和Jones多項(xiàng)式的表達(dá)式。

Conway多項(xiàng)式；Jones多項(xiàng)式；環(huán)面鏈環(huán)

環(huán)面紐結(jié)T(m,n)(m,n互素)的Jones多項(xiàng)式早已由Jones本人利用Hecke代數(shù)及辮子群理論等給出了公式和證明[1]。公式的給出過程非常艱難和復(fù)雜，目前沒有幾何化的證明[2]。據(jù)筆者的調(diào)查，沒有任何環(huán)面鏈環(huán)的Jones多項(xiàng)式表達(dá)式的研究結(jié)果。本研究主要關(guān)注環(huán)面紐結(jié)T(2,m)的多項(xiàng)式表示。約定環(huán)面鏈環(huán)或者環(huán)面紐結(jié)T(2,m)總表示其有|m|個(gè)與m同號(hào)的交叉，利用二次方程的韋達(dá)定理等方法給出環(huán)面紐結(jié)T(2,m)的Conway多項(xiàng)式和Jones多項(xiàng)式的表達(dá)式，即有：

定理1若T(2,m),m≠0是兩個(gè)分支方向相同的環(huán)面鏈環(huán)，則

這里[x]表示取整數(shù)，sign(x)表示x的符號(hào)。第二個(gè)公式也適合環(huán)面紐結(jié)的情形。

定理2若T(2,m)是2個(gè)分支的方向相同的環(huán)面鏈環(huán)，則其Jones多項(xiàng)式為：

注：如果2個(gè)分支的方向相反，那么可以參考文獻(xiàn)[3]和[4]來修改和利用定理2的結(jié)果。

1 基本知識(shí)

2)若3個(gè)紐結(jié)或鏈環(huán)L+,L-,L0僅在一處不同，而且不同處如圖1所示，

圖1 鏈環(huán)(紐結(jié))L+,L-,L0Fig.1 Links(knots)L+,L-and L0

則2個(gè)多項(xiàng)式分別滿足：

那么，這2個(gè)多項(xiàng)式都是紐結(jié)與鏈環(huán)不變量，分別稱為Conway多項(xiàng)式和Jones多項(xiàng)式。

命題[1-2]環(huán)面紐結(jié)T(p,q)(p,q互素)的Jones多項(xiàng)式為:

2 定理1的證明

(1)

若設(shè)α+β=z,αβ=-1，可知道α,β滿足方程：x2-zx-1=0，解方程得

于是原方程(1)可改寫為:

(2)

但原方程(1)也可以改寫為:

(3)

(2)×β-(3)×α得

這樣

利用上面的證明，可以得到一個(gè)環(huán)面鏈環(huán)的Conway多項(xiàng)式的賦值公式,即

3 定理2的證明

首先計(jì)算m≥0時(shí)的V(T(2,m);t)。

t-1V(T(2,m);t)-tV(T(2,m-2);t)=(t1/2-t-1/2)V(T(2,m-1);t)，
V(T(2,m);t)=(t1/2-t-1/2)tV(T(2,m-1);t)+t2V(T(2,m-2);t)

設(shè)α+β=(t1/2-t-1/2)t,αβ=-t2，可知道α,β滿足方程：

x2-(t1/2-t-1/2)tx-t2=0，

解方程得

α=t3/2,β=-t1/2。

于是原方程可改寫為

V(T(2,m);t)-αV(T(2,m-1);t)=β(V(T(2,m-1);t)-αV(T(2,m-2);t))=

βm-2(V(T(2,2);t)-αV(T(2,1));t)，

(4)

但原方程也可以改寫為：

V(T(2,m);t)-βV(T(2,m-1);t)=α(V(T(2,m-1);t)-βV(T(2,m-2));t)=

αm-2(V(T(2,2))-βV(T(2,1)))，

(5)

(4)×β-(5)×α得

V(T(2,m);t)(β-α)=βm-1(V(T(2,2);t)-αV(T(2,1));t)-αm-1(V(T(2,2);t)-βV(T(2,1));t)=

βm-1(-t5/2-t1/2-t3/2)-αm-1(-t5/2-t1/2+t1/2)=

(-1)mtm/2(1+t+t2)+t3m/2+1。

這樣

顯然上述等式適合任何m≥0的整數(shù)。對(duì)于m<0，由于T(2,m)的鏡面像是T(2,-m)，且V(T(2,m);t)=V(T(2,-m);t-1)，

尤其是：

使用常規(guī)的遞推方法及環(huán)面紐結(jié)情形的Jones多項(xiàng)式，也可以得出上述環(huán)面鏈環(huán)的Jones多項(xiàng)式。

由于V(T(2,1))=1，V(T(2,2))=-t5/2-t1/2，當(dāng)m>2時(shí)，

t-1V(T(2,2n))-tV(T(2,2n-2))=(t1/2-t-1/2)V(T(2,2n-1))，
V(T(2,2n))=t2V(T(2,2n-2))+t(t1/2-t-1/2)V(T(2,2n-1))
……
V(T(2,2))=t2V(T(2,0))+t(t1/2-t-1/2)V(T(2,1))

[1] Jones V F R. Hecke algebra representations of braid groups and link polynomials[J]. Annals of Mathematics,1987,126(2)：335-388.

[2] Adams C C. The knot book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots[M]. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society,2004.

[3] Lickorish W B R, Millett K C. The reversing result for the Jones polynomial[J]. Pacific Journal of Mathematics,1986,124(1):173-176.

[4] Murasugi K. Knot Theory and Its Applications[M]. Boston, Basel, Berlin: Birkh?user, 1996.

[5] 陶志雄. 顛倒分支定向的鏈環(huán)的Jones多項(xiàng)式[J]. 浙江科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，23(6):443-444.

[6] Kauffman L H. On knots(Annals of Mathematics Studies 115)[M]. Princeton: Princeton University Press,1987.

Polynomialsofatoruslink

TAO Zhixiong

(School of Sciences, Zhejiang University of Science and Technology, Hangzhou 310023, China)

Knot or link polynomial calculations often involve recursion problems. This paper solves these problems by using Vieta’s formulas for the quadratic equation. From this way, it gives expressions of the Conway polynomial and the Jones polynomial of a torus linkT(2,m).

Conway polynomial; Jones polynomial; torus link

O189.24

A

1671-8798(2013)06-0405-04

10.3969/j.issn.1671-8798.2013.06.001

2013-06-01

浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(LY12A01025);浙江省自然科學(xué)基金青年基金資助項(xiàng)目(LQ13A010018)

陶志雄(1961— )，男，浙江省紹興人，副教授，博士，主要從事幾何拓?fù)鋵W(xué)研究及大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。