兩兩PQD序列部分和之和的弱大數(shù)律

沈建偉

(浙江科技學(xué)院 理學(xué)院,杭州 310023)

兩兩PQD序列部分和之和的弱大數(shù)律

沈建偉

(浙江科技學(xué)院 理學(xué)院,杭州 310023)

利用隨機(jī)變量的截尾方法和兩兩PQD序列的矩不等式,得到了矩條件下兩兩PQD序列部分和之和的弱大數(shù)律,該結(jié)果去除了隨機(jī)變量對(duì)稱同分布的限制條件,推廣了若干已有的弱大數(shù)律。

兩兩PQD序列;部分和之和;弱大數(shù)律;截尾

隨機(jī)變量序列部分和之和的極限性質(zhì),在理論和實(shí)踐中均是有必要的。最初對(duì)部分和之和的研究,是Resnick[1]及Arnold等[2]在研究紀(jì)錄值的極限理論時(shí)發(fā)現(xiàn)的。而在實(shí)際問(wèn)題中,如隨機(jī)游動(dòng)、破產(chǎn)理論及時(shí)間序列理論中均有必要研究部分和之和?；诖?江濤等[3-4]得到了I.I.D.隨機(jī)變量序部分和之和的大數(shù)定律，宇世航[5-6]給出了對(duì)稱同分布NA序列部分和之和的弱大數(shù)定律和同分布NA序列部分和之和的強(qiáng)大數(shù)定律，查婷婷[7]給出了對(duì)稱同分布PA序列部分和之和的弱大數(shù)定律，俞周曉等[8]得到了分布對(duì)稱的PA序列部分和之和的弱大數(shù)定律并通過(guò)對(duì)PA列收斂速度的限制弱化了文獻(xiàn)[7]中定理的條件。本研究得到了兩兩PQD序列部分和之和的弱大數(shù)定律,去除了隨機(jī)變量分布對(duì)稱和同分布的限制條件。

1 引 理

定義1[9]稱隨機(jī)變量X和Y是PQD(Positively Quadrant Dependent)的，若對(duì)?x,y∈都有

P(X≤x,Y≤y)≥P(X≤x)P(Y≤y)。

稱隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1}是兩兩PQD的，若對(duì)?i≠j,Xi與Xj是PQD的。

引理1[9]設(shè)隨機(jī)變量X和Y是PQD的，則

1)EXY≥EXEY;

2)若f,g同為非降(或非增)函數(shù)，則f(X)與g(Y)仍為PQD的。

引理2[10]設(shè){Xn,n≥1}是均值為零的兩兩PQD序列,則

進(jìn)一步,由引理2及引理3可知

(1)

引理4[12]設(shè){Xn,n≥1}是任意隨機(jī)序列。如果存在某隨機(jī)變量X,使對(duì)任意x>0及n≥1,有P{|Xn|≥x}≤cP{|X|≥x},則對(duì)?β>0,?t>0有

E|Xn|βI(|Xn|≤t)≤c(E|X|βI(|X|≤t)+tβP{|X|>t}),

E|Xn|βI(|Xn|>t)≤cE|X|βI(|X|>t)。

2 主要結(jié)果

有：A?B?C。

有：A?B?C。

3 定理的證明

定理1的證明 先證：A?B。

又因?yàn)閮蓛蒔QD序列的對(duì)稱化序列仍是兩兩PQD序列，故只需對(duì)對(duì)稱化序列證明定理成立即可。

不失一般性,不妨設(shè){Xi,i≥1}為分布對(duì)稱的同分布兩兩PQD序列,且設(shè)條件B中的bk=0,k≥1;則只需證：對(duì)?ε>0,有

(2)

記Yi=-n1/pI(Xin1/p)。

由{Xi,i≥1}的對(duì)稱性可知,{Yi,i≥1}仍是對(duì)稱的,故EYi=EiYi=0。

由于{Xi,i≥1}為兩兩PQD序列,故由引理1知{iYi,i≥1}仍為兩兩PQD序列。

注意到

:=I1+I2

(3)

由{Xi,i≥1}的同分布性及條件A可知:

(4)

存在N0>0,當(dāng)k>N0時(shí),有

(k+1)1+δP(|X1|>n1/p)<β。

(5)

由Markov不等式,式(1),{Xi,i≥1}的同分布性,式(5)可得

cn1-2/plog2n{E|Y1|2+1}≤

cnlog2nP(|X1|>n1/p)+cn1-2/plog2nE|X1|2I(|X1|≤n1/p)+cn1-2/plog2n

(6)

對(duì)于I21,由條件A可知

I21→0,n→∞。

(7)

I22=cn1-2/plog2nE|X1|2I(|X1|≤n1/p)=

cn1-2/plog2n+cβn1-2/p(n+1)2/p-1-δlog2n≤

cn1-2/plog2n+cn-δlog2n

由0

n1-2/plog2n→0,n→∞。

(8)

同理,對(duì)于?δ>0,可得

n-δlog2n→0,n→∞。

(9)

由式(8),式(9)可知

I22→0,n→∞。

(10)

I23→0,n→∞。

(11)

由式(7),式(10),式(11)可知

I2→0,n→∞。

(12)

由式(3),式(4),式(12)可知式(2)成立，即條件B成立。

再證:B?C。

即條件C成立。

定理1證畢。

定理2的證明 先證：A?B。

沿用定理1的符號(hào)與表達(dá)式,由定理1中A?B的證明過(guò)程知,只需證明:

I1→0,I2→0。

(13)

由Markov不等式,式(1),引理4可得

cnlog2nP(|X|>n1/p)+cn1-2/plog2nE|X|2I(|X|≤n1/p)+cn1-2/plog2n

(14)

對(duì)于I21=cnlog2nP(|X|>n1/p),由條件A可知

I21→0,n→∞。

(15)

對(duì)于I22=cn1-2/plog2nE|X|2I(|X|≤n1/p);I23=cn1-2/plog2n,類同于定理1中的討論,有

I22→0,n→∞;I23→0,n→∞。

(16)

由式(14),式(15),式(16)可知I2→0,n→∞。即條件B成立。

再證:B?C。同定理1的證明。

定理2證畢。

[1] Resnick S I. Limit laws for record values [J].Stochastic Processes and their Applications,1973,1(1):67-82.

[2] Arnold B C, Villasenor J A. The asymptotic distributions of sums of records [J].Kluwer Academic Publishers,1999,1(3):351-363.

[3] 江濤,林日其.I.I.D.隨機(jī)變量部分和之和的極限定理[J].淮南工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),2002,22(2):73-78.

[4] 江濤,蘇淳,唐啟鶴.I.I.D.隨機(jī)變量部分和之隨機(jī)和的極限定理[J].中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào),2001,31(4):394-399.

[5] 宇世航.同分布NA序列部分和之和的弱大數(shù)定律[J].哈爾濱師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2004,20(4):21-24.

[6] 宇世航.同分布NA序列部分和之和的強(qiáng)大數(shù)定律[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2008,43(4):62-66.

[7] 查婷婷.同分布PA序列部分和之和的弱大數(shù)定律[J].安徽建筑工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,17(4):94-96.

[8] 俞周曉,王文勝.PA序列部分和之和的弱大數(shù)定律[J].杭州師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2012,11(2):181-184.

[9] Lehmann E L. Some concepts of dependence [J].The Annals of Mathematical Statistics, 1966,37(5):1137-1153.

[10] 陸鳳彬.兩兩PQD序列的完全收斂性和強(qiáng)大數(shù)定律[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2003,16(4):29-33.

[11] 劉慶.兩兩PQD序列的大數(shù)定律[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版,2011,38(2):140-143.

[12] 吳群英.混合序列的概率極限理論[M].北京:科學(xué)出版社,2006.

WeaklawoflargenumbersforsumofpartialsumsofpairwisePQDsequenceofrandomvariables

SHEN Jianwei

(School of Sciences, Zhejiang University of Science and Technology, Hangzhou 310023, China)

The weak law of large numbers for sum of partial sums of pairwise PQD sequence of random variables is obtained under the moment conditions by the truncation methods of random variables and moment inequalities of pairwise PQD sequence. The available results which eliminate the restriction of symmetric random variable and identical distribution extend to some known theorems.

pairwise PQD sequence; sum of partial sums; weak law of large numbers; truncation

O211.4

A

1671-8798(2013)06-0409-05

10.3969/j.issn.1671-8798.2013.06.002

2013-06-04

沈建偉(1972— ),男,浙江省蕭山人,講師,碩士,主要從事概率極限理論研究。