攝動連續(xù)矩陣方程解的下界

王 春， 陳東彥， 王 影， 孫 飛， 孫 璐

(1.黑龍江科技學院 理學院，哈爾濱 150027;2.哈爾濱理工大學 應用科學學院，哈爾濱 150008;3.黑龍江科技學院 工程訓練與基礎(chǔ)實驗中心，哈爾濱 150027)

0 引言

代數(shù)Riccati和Lyapunov矩陣方程的求解問題廣泛應用于系統(tǒng)穩(wěn)定性分析、時滯系統(tǒng)的控制器的設計、最大成本估算、數(shù)值算法的收斂性等許多控制難題中，具有重要的理論和實用價值。針對離散和連續(xù)Riccati矩陣方程的研究已取得一些成果[1－3]。但由于在實際情況中存在不可避免的建模誤差等問題，因而，估計不確定Riccati矩陣方程解的界更具有實用價值。目前，已有對攝動離散矩陣方程的研究[4－5]，但針對攝動連續(xù)矩陣方程的研究較少，其中，文獻[6]利用矩陣不等式等估計了攝動連續(xù)Riccati方程解矩陣的界，文獻[7]利用矩陣運算等性質(zhì)給出了攝動連續(xù)矩陣方程的界。因此，筆者在文獻[6]的基礎(chǔ)上，利用矩陣不等式及特征值的性質(zhì)等估計了攝動連續(xù)Riccati和Lyapunov矩陣方程解矩陣的下界。

1 問題描述

考慮攝動連續(xù)Riccati矩陣方程:和攝動連續(xù)Lyapunov矩陣方程:

其中，A∈n×n為漸近穩(wěn)定矩陣，Q∈n×n，Q=QT＞0和 R∈n×n，R=RT＞0均為對稱正定矩陣，(A+ΔA)穩(wěn)定，ΔA∈n×n為不確定矩陣，表示矩陣A的結(jié)構(gòu)攝動，且假設ΔA∈n×n滿足范數(shù)有界不確定性，即

其中，D∈n×s，E∈l×n為已知的常值矩陣，F(xiàn)∈s×l為相應維數(shù)的未知不確定矩陣，滿足FTF≤I，I為相應維數(shù)的單位矩陣。

文中，λi(X)為矩陣 X∈n×n的第 i(i=1，2，…，n)個特征值，設矩陣X=XT，X∈n×n的特征值按遞減順序排列，即 λ1(X)≥λ2(X)≥…≥λn(X)，XT表示矩陣X的轉(zhuǎn)置，tr X表示矩陣X的跡，det X表示矩陣X的行列式。

2 預備知識

引理1[8]設A，D，E和F是相應維數(shù)的矩陣，且FTF≤I，則對任意正定矩陣R＞0和任意滿足R －εDDT＞0的正數(shù) ε ＞0，有

成立。

引理2[9](Schur補引理) 矩陣這里W=WT和V=VT與不等式(i)或(ii)等價:

(i)V ＞0，W －SV－1ST＞0，

(ii)W ＞0，V －STW－1S ＞0。

引理3[10]對于任意的變量x∈n和矩陣X∈n×n，有

成立，從而有λn(X)In≤X≤λ1(X)In成立。

3 主要結(jié)果及證明

定理1 設矩陣P為方程(1)的唯一正定對稱解矩陣，則P滿足不等式:

其中，對任意的ε＞0和η＞0滿足下列不等式成立:

移項可得，

如果對任意的η＞0滿足I－ηR＞0，則有下列不等式成立

由引理1，對任意的滿足I－ηR－εDDT的正數(shù)ε＞0有

從而有，

使用引理2，可以得到

從而由式(3)可得

則有

則可得P的下界

證畢。

推論1 設矩陣P為方程(1)的唯一正定對稱解矩陣，則P滿足不等式:

這里的矩陣 M1為 M1[= ηQ－η2A(Ι－ηR－

推論2 設矩陣P為方程(2)的唯一正定對稱解矩陣，則P滿足不等式:

其中，對任意的ε＞0和η＞0滿足I－εDDT＞0及

定理2 攝動連續(xù)Lyapunov矩陣方程(2)中，設矩陣Q=QT是正定矩陣，A是穩(wěn)定的，A+ΔA為非奇異矩陣，則其唯一的正定對稱解矩陣P具有下界:

其中，對任意的 ε＞0滿足 Q－εDDT＞0，且矩陣N為

證明 令矩陣 U=[(A+ΔA)－1Q(A+，即可得

然后用U－1分別左乘和右乘式(2)，得

對式(4)兩端加

可以得到

則可得到

從而有

將式(6)代入式(5)，可得

而由引理1，有

即有

利用引理3中X≤λ1(X)I，得

從而可得解矩陣P的下界為

證畢。

推論3 設矩陣P為方程(2)的唯一正定對稱解矩陣，則P滿足不等式:

這里的矩陣 M2為，矩陣 N與定理2同。

4 數(shù)值算例

例1 在方程(1)中，設ΔA∈n×n滿足范數(shù)有界不確定性，且

利用定理1，取 ε=0.7，η=0.055，得方程(1)解的下界為

該結(jié)果與文獻[6]相比具有更小的保守性。

5 結(jié)束語

文中對攝動連續(xù)Riccati和Lyapunov矩陣方程的解的下界進行了估計。其中攝動參數(shù)滿足范數(shù)有界不確定性，利用矩陣不等式和Schur補引理等知識，得到了解矩陣的下界，且根據(jù)該結(jié)果，可以對攝動連續(xù)矩陣方程的解進行估計，最后利用數(shù)值算例說明了所得結(jié)果比已有結(jié)果具有更小的保守性。攝動參數(shù)滿足非結(jié)構(gòu)不確定性等其他不確定性的攝動連續(xù)和攝動離散Riccati矩陣方程的解的上下界問題，將是進一步的研究課題。

[1]張端金，楊成梧.離散代數(shù)Riccati方程解的上下界研究[J].信息與控制，1998，27(1):23－25，31.

[2]段福興，沈 軼.離散代數(shù)Riccati方程解的上下界[J].應用數(shù)學，2000，13(2):95－97.

[3]周喜華，肖志濤.基于連續(xù)Riccati方程解的界的估計[J].吉首大學學報:自然科學版，2008，29(3):26－28.

[4]陳東彥，侯 玲.攝動離散矩陣Lyapunov方程解的估計[J].控制理論與應用，2006，23(5):830－832.

[5]王 春，陳東彥，王 影，等.攝動離散Riccati矩陣方程解上界估計[J].遼寧工程技術(shù)大學，2012，31(6):905－908.

[6]王 春.攝動連續(xù)Riccati矩陣方程解矩陣界的估計[J].科技導報，2010，28(19):59－61.

[7]畢海云.代數(shù)Lyapunov方程與Riccati方程解的估計[D].哈爾濱:哈爾濱理工大學，2008:27－37.

[8]MOHEIMANI S O R，PETERSEN I R.Optimal quadratic guaranteed cost control of a class of uncertain time-delay systems[J].IEEE Proceedings Control theory Application，1997，144(2):183－188.

[9]KREINDLER E，JAMESON A.Conditions for nonnegativeness of portioned matrices[J].IEEE Transactions on Automatic Control，1972，17(1):147－148.

[10]RUGH W J.Linear system theory[M].Upper Saddle River，NJ，USA:Prentice-Hall，1993:237 －241.