新型4－SPS/PPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

衛(wèi)江

（陜西廣播電視大學(xué)工程管理系，陜西西安 710119）

0 引言

少自由度并聯(lián)機(jī)器人由于其驅(qū)動(dòng)元件少、造價(jià)低、結(jié)構(gòu)緊湊、誤差小、精度高等優(yōu)點(diǎn)。近年來成為機(jī)構(gòu)學(xué)領(lǐng)域中研究的熱點(diǎn)。

程佳［1］研究一種3轉(zhuǎn)動(dòng)1移動(dòng)的4-TPS/PS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的受力特性，推導(dǎo)出該機(jī)構(gòu)上平臺(tái)與各驅(qū)動(dòng)支鏈之間的關(guān)系式，得到該機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)支鏈不承受側(cè)向力，側(cè)向力主要由從動(dòng)支鏈承受;隨后王宣銀［2］利用拉格朗日方程建立了該機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程，并通過逆動(dòng)力學(xué)模型研究了該機(jī)構(gòu)的控制策略。LI［3］研究了一種3平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)，給出了3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的速度與加速度的性能圖譜。劉劍敏［4］研究了一種用于作物清選的兩轉(zhuǎn)動(dòng)兩平移的四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)能方便的調(diào)節(jié)振幅和振動(dòng)方向，并給出了該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解與正解。吳孟麗［5］分析了一種非對(duì)稱的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并利用雅克比矩陣條件數(shù)為指標(biāo)評(píng)價(jià)了該機(jī)構(gòu)與SKM400機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能。王庚祥［6］基于構(gòu)型演變與螺旋理論提出了一種新型的空間3轉(zhuǎn)動(dòng)1移動(dòng)的4-SPS/CU并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并對(duì)其進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。程世利［7］通過分析Stewart平臺(tái)的位姿變量之間的耦合關(guān)系，提出了一種研究該機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解問題的新方法。郭希娟［8-11］通過對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析評(píng)價(jià)了多種機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能，并且證明了Hessian矩陣對(duì)機(jī)構(gòu)加速度性能有著重要的作用，該原理同樣適用于串聯(lián)機(jī)構(gòu)。

基于此研究背景，本文提出了一種新型的具有2移動(dòng)和2轉(zhuǎn)動(dòng)的空間四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)——空間4-SPS/PPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)。通過對(duì)該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析導(dǎo)出了該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)Jacobian矩陣，并在此基礎(chǔ)上研究了該機(jī)構(gòu)的靜力學(xué)，評(píng)價(jià)了該機(jī)構(gòu)的靈巧度與剛度特性。

4-SPS/PPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)可以直接作為四軸并聯(lián)機(jī)床與坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的原型，也可直接用于該環(huán)境下的定位機(jī)構(gòu)。

1 4-SPS/PPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

4-SPS/PPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型及其坐標(biāo)系的建立如圖1所示。該機(jī)構(gòu)具有4個(gè)驅(qū)動(dòng)支鏈l1，l2，l3，l4（SPS支鏈），以及一個(gè)恰約束從動(dòng)支鏈l5（PPU支鏈）。該4個(gè)驅(qū)動(dòng)支鏈均由兩個(gè)球面副（S副）和一個(gè)移動(dòng)副組成。其中各驅(qū)動(dòng)分支從下平臺(tái)算起，與下平臺(tái)相連的球面副為第一運(yùn)動(dòng)副，移動(dòng)副為第二運(yùn)動(dòng)副，與上平臺(tái)相連的球面副為第三運(yùn)動(dòng)副;該恰約束從動(dòng)支鏈由兩個(gè)移動(dòng)副（P副）和一個(gè)萬向鉸（U副）組成，其中萬向鉸的中心位于上平臺(tái)的質(zhì)心，位于下平臺(tái)的移動(dòng)副與Y軸重合。OXYZ和Pxyz分別是與下平臺(tái)和上平臺(tái)的固連坐標(biāo)系，O點(diǎn)位于B1B2B3B4組成的邊長(zhǎng)為2b的正方形中心，X軸平行于B1B4，Y軸平行于B1B2，Z軸垂直下平臺(tái)向上;P點(diǎn)位于A1A2A3A4組成的邊長(zhǎng)為2a的正方形中心，x軸平行于A1A4，y軸平行于A1A2，z軸垂直上平臺(tái)向上。

圖1 4-SPS/PPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

2 4-SPS/PPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算

采用修正的Kutzbach-Grübler公式計(jì)算4-SPS/PPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度［12］:

式中:

M——機(jī)構(gòu)自由度數(shù);

d——機(jī)構(gòu)的階數(shù);

n——包括機(jī)架的構(gòu)件數(shù)目;

g——運(yùn)動(dòng)副的數(shù)目;

fi——第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度;

v——并聯(lián)約束因子，是去除了計(jì)算在內(nèi)的公共約束的因素后的冗余約束的數(shù)目;

ξ——機(jī)構(gòu)中存在的局部自由度。

根據(jù)圖1，4條驅(qū)動(dòng)支鏈的運(yùn)動(dòng)副軸線在坐標(biāo)系OXYZ中可以用螺旋統(tǒng)一表示為

式中:ri、ki——第1運(yùn)動(dòng)副相對(duì)坐標(biāo)系OXYZ的位置;

ui、vi、wi——第 2 運(yùn)動(dòng)副軸線的方向余弦;

li、mi、ni——第 3 運(yùn)動(dòng)副相對(duì)于坐標(biāo)系OXYZ的位置。

下標(biāo)i=1，2，3，4，為該機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)支鏈序號(hào)。

式（2）中的7個(gè)運(yùn)動(dòng)螺旋，其中6個(gè)線性無關(guān);且沒有與該螺旋系相逆的反螺旋。即該螺旋系沒有對(duì)上平臺(tái)產(chǎn)生任何約束，得出4-SPS/PPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)沒有公共約束，所以d=6。

恰約束從動(dòng)支鏈l5運(yùn)動(dòng)副軸線在坐標(biāo)系OXYZ中螺旋表示為:

式（3）螺旋系的4個(gè)運(yùn)動(dòng)螺旋線性無關(guān)，設(shè)與該螺旋系相逆的反螺旋為:

式（4）的約束螺旋系限制了上平臺(tái)繞Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)與沿X軸的移動(dòng)，且該機(jī)構(gòu)無冗余約束，即v=0;觀察整個(gè)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的布置情況，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)各驅(qū)動(dòng)支鏈均存在局部自由度，即ξ=4。

根據(jù)式（1）計(jì)算該機(jī)構(gòu)自由度:

即上平臺(tái)具有沿Y軸和Z軸的移動(dòng)自由度，繞X軸與Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。

3 4-SPS/PPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析

3.1 4-SPS/PPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置分析

Ai點(diǎn)在坐標(biāo)系Pxyz的坐標(biāo)為A1= [a，-a，0]T，A2=[a，a，0]T，A3= [ -a，a，0]T，A4= [ -a，-a，0]T;Bi點(diǎn)在坐標(biāo) 系OXYZ中 的 坐 標(biāo) 為B1= [b，-b，0]T，B2=[b，-b，0]T，B3= [b，-b，0]T，B4= [b，-b，0]T。上平臺(tái)相對(duì)固定平臺(tái)的位姿可以用坐標(biāo)系Pxyz和坐標(biāo)系OXYZ之間的旋轉(zhuǎn)變換矩陣R及兩坐標(biāo)系之間的平移向量n來表示，其中沿X軸的移動(dòng)與繞Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)被恰約束從動(dòng)支鏈限制。即:

其中sβ =sinβ，cβ =cosβ，其余類似。

當(dāng)給定上平臺(tái)的位置和姿態(tài)后，各驅(qū)動(dòng)支鏈的向量可表示為:

根據(jù)式（5）可以求得該機(jī)構(gòu)的位置約束方程為:

式中，li為桿長(zhǎng)。位置正解是已知結(jié)構(gòu)參數(shù)a、b和4個(gè)輸入桿長(zhǎng)（l1，l2，l3，l4），求解上平臺(tái)的位置（y，z，α，β）。位置反解是已知結(jié)構(gòu)參數(shù)a，b和上平臺(tái)的位置（y，z，α，β），求解桿長(zhǎng)li（i=1，2，3，4）。

3.2 4-SPS/PPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的速度分析

式（8）為該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)Jacobian矩陣。

當(dāng)det（J）≠0時(shí)，該機(jī)構(gòu)的速度正解為:

3.3 4-SPS/PPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的加速度分析

當(dāng)J-1為非奇異矩陣，則有:

其中為該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的Hessian矩陣H，即:

4-SPS/PUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的Hessian矩陣為一個(gè)4×4×4的三維矩陣，其中該矩陣中的每個(gè)元素為:

通過式（10）、（11）可以求得機(jī)構(gòu)加速度的逆解和正解。

4 4-SPS/PPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的Jacobian矩陣條件數(shù)

Jacobian矩陣條件數(shù)是衡量并聯(lián)機(jī)構(gòu)靈巧度的一項(xiàng)重要指標(biāo)，它是一個(gè)無量綱數(shù)。根據(jù)3.2節(jié)中式（7）為廣義輸出速度 與上平臺(tái)廣義輸出速度 之間的關(guān)系。對(duì)式（7）兩邊取偏差:

式（14）與式（7）相減得:

對(duì)式（15）與式（9）兩邊取Frobenius范數(shù)以及根據(jù)范數(shù)的相容原理有:

速度的輸入相對(duì)偏差與輸出速度之間有下列關(guān)系:

式（18）中‖J‖‖J-1‖為4-SPS/PPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的Jacobian矩陣條件數(shù)，它是一個(gè)大于或等于1的數(shù)，即:

Jacobian矩陣條件數(shù)g越大，該矩陣的逆矩陣J-1的精度越低，g越小，該機(jī)構(gòu)的靈巧度越好，當(dāng)g=1時(shí)，機(jī)構(gòu)處于最佳的運(yùn)動(dòng)傳遞性能，此時(shí)機(jī)構(gòu)具有各項(xiàng)同性［13］。

5 數(shù)值計(jì)算

不妨設(shè)4-SPS/PPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)上平臺(tái)質(zhì)心P的運(yùn)動(dòng)軌跡為:

1）當(dāng)該機(jī)構(gòu)的上平臺(tái)邊長(zhǎng)a=1 m，下平臺(tái)邊長(zhǎng)b=2.5 m時(shí)，該機(jī)構(gòu)Jacobian矩陣的條件數(shù)隨時(shí)間的變化曲線如圖2。

圖2 4-SPS/PPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)Jacobian矩陣條件數(shù)

2）當(dāng)該機(jī)構(gòu)的上平臺(tái)邊長(zhǎng)a=1.5 m，下平臺(tái)邊長(zhǎng)b=3 m時(shí)，該機(jī)構(gòu)Jacobian矩陣的條件數(shù)隨時(shí)間的變化曲線如圖3。

由圖2與圖3可知，當(dāng)4-SPS/PPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)不同時(shí)，該機(jī)構(gòu)Jacobian矩陣的條件數(shù)有明顯區(qū)別，即結(jié)構(gòu)參數(shù)影響了該機(jī)構(gòu)的靈巧度。且該機(jī)構(gòu)具有良好的活動(dòng)性。

圖3 4-SPS/PPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)Jacobian矩陣條件數(shù)

6 結(jié)論

1）提出了一種新型的兩轉(zhuǎn)動(dòng)兩平移的4-SPS/PPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)，采用螺旋理論計(jì)算了4-SPS/PPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度。討論了該機(jī)構(gòu)的位置反解與正解，研究了該機(jī)構(gòu)的速度與加速度。導(dǎo)出了Jacobian矩陣與Hessian矩陣。

2）在該機(jī)構(gòu)速度分析的基礎(chǔ)上，利用對(duì)速度方程兩邊取偏差的方法推導(dǎo)出該機(jī)構(gòu)的Jacobian矩陣條件數(shù)，通過數(shù)值分析研究了該機(jī)構(gòu)靈巧度在不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下隨時(shí)間變化的規(guī)律，驗(yàn)證了結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)該機(jī)構(gòu)靈巧度的影響。

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