Mathematica對(duì)“通信電子線路”教學(xué)的促進(jìn)作用

陳惠濱，黃艷洋，陳建容

(集美大學(xué)信息工程學(xué)院，廈門福建361021)

0 引言

“通信電子線路”是電子信息類專業(yè)的核心課程，該課程中除了高頻小信號(hào)放大電路之外，主要涉及到電子元器件非線性工作過(guò)程。元器件的非線性工作過(guò)程一般采用復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型描述。因此，如何把電路的工作過(guò)程，抽象成數(shù)學(xué)模型描述是學(xué)生必須掌握的能力?；跀?shù)學(xué)模型進(jìn)行理論分析和求解，通常采用手工推導(dǎo)演算的方法，不僅費(fèi)時(shí)費(fèi)力，而且容易產(chǎn)生錯(cuò)誤。為了克服以上不足，筆者在教學(xué)過(guò)程中引入了Mathematica輔助分析方法。

Mathematica軟件是美國(guó)Wolfram Research公司開(kāi)發(fā)的數(shù)學(xué)分析軟件，具有數(shù)值計(jì)算、符號(hào)計(jì)算和圖像處理等強(qiáng)大功能，使用非常方便［1-2]。它集成豐富的內(nèi)部函數(shù)，用戶通過(guò)輸入簡(jiǎn)單的命令即可快速地進(jìn)行方程求解、微分、積分運(yùn)算和解微分方程等。Mathematica軟件和Matlab相比，其功能毫不遜色，在科研和教學(xué)中有著廣泛應(yīng)用。筆者在“通信電子線路”教學(xué)中理論分析過(guò)程引入Mathematica軟件，不僅可以防止復(fù)雜手工推導(dǎo)演算出現(xiàn)錯(cuò)誤，還有助于加深學(xué)生對(duì)電子線路工作原理的理解。本文通過(guò)對(duì)波形振蕩電路中幾個(gè)具體問(wèn)題的Mathematica解決方法，來(lái)說(shuō)明該軟件在“通信電子線路”教學(xué)中所起的作用。

1 Mathematica在振蕩電路中應(yīng)用

利用正反饋原理構(gòu)成的反饋振蕩電路是目前應(yīng)用最廣的一類振蕩器。正反饋振蕩電路是一個(gè)由主網(wǎng)絡(luò)和反饋網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的閉合回路。要保證該閉合回路接通電源后從無(wú)到有建立起振蕩波形，環(huán)路增益的復(fù)頻域函數(shù)T(jω)必須滿足起振條件、平衡條件和穩(wěn)定條件［3-4]。其中，平衡條件是求解振蕩頻率的關(guān)鍵步驟，起振條件是設(shè)計(jì)電路元件參數(shù)的重要依據(jù)，穩(wěn)定條件能確定選頻網(wǎng)絡(luò)。

RC電路構(gòu)建的正弦波振蕩電路，具有電路簡(jiǎn)單，經(jīng)濟(jì)方便等優(yōu)點(diǎn)，但選頻作用較差，一般用于頻率較低、穩(wěn)定性要求不高的場(chǎng)合。其中，以RC串并聯(lián)選頻網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建的文氏振蕩電路最為典型，文獻(xiàn)［3] 對(duì)于該部分電路環(huán)路增益函數(shù)T(jω)的推導(dǎo)過(guò)程沒(méi)有詳細(xì)展開(kāi)。學(xué)生對(duì)于該電路的起振條件、平衡條件和穩(wěn)定條件無(wú)法深刻理解。我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中結(jié)合文獻(xiàn)［4] 的分析方法講解，可以彌補(bǔ)文獻(xiàn)［3] 對(duì)該部分理論分析的不足。

RC移相式振蕩器是產(chǎn)生正弦波的另外一種重要方法，它是利用三階以上RC電路可產(chǎn)生±180°相位差，構(gòu)建正反饋電路，產(chǎn)生正弦波。文獻(xiàn)［3] 對(duì)該部分電路的介紹較為簡(jiǎn)略，文獻(xiàn)［4] 未涉及該部分內(nèi)容。為了彌補(bǔ)上述文獻(xiàn)對(duì)該問(wèn)題討論的不足，本文探討了RC移相式振蕩器的起振條件和平衡條件。由于RC高通電路與負(fù)反饋放大器構(gòu)成的環(huán)路增益的相位變化與RC高通電路相位變化相同，呈下降趨勢(shì)，相位滿足穩(wěn)定條件，因此對(duì)于相位穩(wěn)定條件不必過(guò)多討論。

2 RC移相式振蕩電路

RC移相式振蕩器如圖1所示。圖中的R1、Rf及運(yùn)算放大器構(gòu)成反相放大器，即輸出電壓VO和輸入電壓Vi反相，其等效輸入阻抗為R1。由C1、R2、C2、R3、C3和R1構(gòu)成三階高通網(wǎng)絡(luò)為反饋電路，最多可以產(chǎn)生270°相移。在某一頻率點(diǎn)的相移為180°。此時(shí)VO經(jīng)移相網(wǎng)絡(luò)，加之運(yùn)放輸入端滿足虛地條件，在R1端便形成正反饋。

在圖1中，反饋網(wǎng)絡(luò)輸出端與放大器輸入端直接相連。因此，放大器輸入端輸入阻抗是反饋網(wǎng)路的負(fù)載。將RC移相式振蕩器閉合回路從圖1反饋電路的×處斷開(kāi)，且保留V產(chǎn)生，可以得到等效的圖2電路，其中反饋網(wǎng)路輸出端負(fù)載等效為放大器輸入阻抗Ri=R1。

圖1 RC移相式振蕩器

圖2 移相式振蕩器等效電路

根據(jù)環(huán)路增益T(jω)的定義，有

令圖2中的Z0=1/(jωC1)+Ri，Z1=1/(jωC2)+R3//Z0，現(xiàn)設(shè)R1=R2=R3=R，且C1=C2=C3=C，則T(jω)可用以下Mathematica程序來(lái)描述:

Simplify［T]

程序中的Mathematica復(fù)數(shù)符號(hào)用I表示，變量T代表T(jω)。

通過(guò)熱鍵“shift+enter”執(zhí)行程序，可以得到化簡(jiǎn)后變量T的表達(dá)式:

即環(huán)路增益

如要滿足平衡條件，應(yīng)令上式的虛部為0，即有j(1－6C2R2ω2)=0，解得產(chǎn)生正弦波角頻率為ωosc電路要起振，上電至波形穩(wěn)定這段時(shí)間要滿足起振條件:

由此，可求得Rf/R＞29。選擇Rf為負(fù)溫度系數(shù)熱敏電阻，隨著Rf上消耗功率增加，Rf值減小，直到|T(jωosc)|=1，振蕩器最終進(jìn)入平衡狀態(tài)，且滿足幅值穩(wěn)定條件:T(jωosc)/V＜0。

3 改進(jìn)型RC移相式振蕩電路

對(duì)圖1所示的RC移相式振蕩器進(jìn)行改進(jìn)后如圖3所示。同理，由C1、R2、C2、R3和C3構(gòu)成的反饋網(wǎng)絡(luò)在某一頻率點(diǎn)時(shí)，相移滿足180°。此時(shí)VO經(jīng)移相網(wǎng)絡(luò)，在C3端產(chǎn)生的反饋電壓Vf與Vi同相，形成正反饋。圖3電路可以等效為圖4電路，其中反饋網(wǎng)路輸出端負(fù)載等效為放大器輸入阻抗Zi=1/(jωC3)。

圖3 改進(jìn)型RC移相式振蕩器

圖4 改進(jìn)型RC移相式振蕩器等效電路

根據(jù)定義，其環(huán)路增益為

令Z0=1/(jωC2)+［1/(jωC3)] //R3，假設(shè)R1=R2=R3=R，且C1=C2=C3=C，可以用以下Mathematica程序描述T(jω)。

Simplify［T]

通過(guò)熱鍵“shift+enter”執(zhí)行程序，可以得到變量T表達(dá)式:

即環(huán)路增益:

令T(jω)表達(dá)式的虛部為0，滿足平衡條件，即j(1－3C2R2ω2)=0，此時(shí)產(chǎn)生正弦波角頻率為ωose電路要起振，上電至波形穩(wěn)定這段時(shí)間要滿足起振條件:

由此可求得Rf/R＞12。選擇Rf為負(fù)溫度系數(shù)熱敏電阻。一旦出現(xiàn)|T(jωosc)|=1，振蕩器進(jìn)入平衡狀態(tài)，且滿足幅值穩(wěn)定條件:T(jωosc)/V＜0。

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)“通信電子線路”課程特點(diǎn)，以RC移相式振蕩電路為例，利用數(shù)學(xué)分析軟件Mathematica求環(huán)路增益表達(dá)式，對(duì)RC移相式振蕩電路的起振條件、平衡條件及穩(wěn)定條件進(jìn)行分析。這些分析可以作為文獻(xiàn)［3] 和［4] 中RC移相式振蕩電路工作原理推導(dǎo)的有效補(bǔ)充，以彌補(bǔ)對(duì)此部分內(nèi)容介紹過(guò)于簡(jiǎn)略的不足。將該部分教學(xué)過(guò)程中的盲點(diǎn)在課堂上展開(kāi)深入探討，以從理論層面上進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)于振蕩電路工作原理的理解。

［1] 唐，鄧建松，彭冉冉.Mathematica使用指南［M] .北京:科學(xué)出版社，2002.

［2] 路洪艷，從守民，劉保通，等.Mathematica在大學(xué)物理教學(xué)中的應(yīng)用［J] .淮北:淮北煤炭師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010，4:020.

［3] 謝嘉奎，宜月清.電子線路:非線性部分(第四版)［M] .北京:高等教育出版社，1988.

［4] 童詩(shī)白，華成英.模擬電子技術(shù)基礎(chǔ)(第四版)［M] .北京:高等教育出版社，2001.